1、一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时当重力与弹性力抵消时, ,物体处于平衡状态物体处于平衡状态, , 例例1. 1. 质量为质量为m m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, ,力作用下作往复运动力作用下作往复运动, ,xxO解解: :阻力的大小与运动速度阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开下拉物体使它离开平衡位置后放开, ,若用手向若用手向物体在弹性力与阻物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点取平衡时物体的位置为坐标原点, ,建立坐标系如图建立坐标系如图. .设时刻设时刻t t 物位移为物位移为x x( (t
2、t).).(1) (1) 自由振动情况自由振动情况. .弹性恢复力弹性恢复力物体所受的力有物体所受的力有: :( (虎克定律虎克定律) )xcf成正比成正比, ,方向相反方向相反. . 建立位移满足的微分方程建立位移满足的微分方程. .据牛顿第二定律得据牛顿第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2mn令则得有阻尼则得有阻尼自由振动方程自由振动方程: :阻力阻力txRdd(2)(2)强迫振动情况强迫振动情况. .若物体在运动过程中还受铅直外力若物体在运动过程中还受铅直外力作用，t pHFsin，令mHh 则得则得强迫振动方程强迫振动方程: :02222 xkdtdxndtxdpthxk
3、dtdxndtxdsin2222 二阶线性微分方程二阶线性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 时，时，当当0)( xf二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程时，时，当当0)( xf二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 二、线性微分方程的解的结构二、线性微分方程的解的结构1.1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构: :定定理理 1 1 如如果果函函数数)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个解解, ,那那末末2211yCyCy 也也是是( (
4、1 1) )的的解解. .（21, CC是是常常数数）问题问题: :一一定定是是通通解解吗吗？2211yCyCy )1(0)()( yxQyxPy例如例如xx22sin,cos1，xxxeee2, ，线性无关线性无关线性相关线性相关时，时，当当),( x两个函数在区间两个函数在区间I I上线性相关与线性无关的上线性相关与线性无关的充要条件充要条件: :112211221122( )( )0( )( )0( )( )0k y xk yxk y xk yxk y xk yx即有唯一零解的充要条件。)(),(21xyxy线性相关线性相关存在不全为存在不全为0 0的的21, kk使使0)()(2211
5、xykxyk1221( )( )y xkyxk ( ( 无妨设无妨设)01k)(),(21xyxy线性无关线性无关12( )( )y xyx常数常数1212( )( )0( )( )y xyxy xyx21, yy可微函数线性无关线性无关定理定理 2 2：如果：如果)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个线的两个线性无关的特解性无关的特解, , 那么那么2211yCyCy 就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解. .例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常数常数且且 xyy.sincos21xCxCy 12,ny yy是是n n阶齐次方程阶齐次方程 0)
6、()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的的n n个线性无关解个线性无关解, , 则方程的通解为则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCy若若2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构: :定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .解的叠加原理
7、解的叠加原理定理定理3, 3, 定理定理4 4 均可推广到均可推广到 n 阶线性非齐次方程阶线性非齐次方程. . 定理定理 5.5.)(,),(),(21xyxyxyn设是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n个线个线)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn性无关特解性无关特解, , 给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齐次方程的特解是非齐次方程的特解, ,则非齐次方则非齐次方程的通解为程的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解常数常数, , 则该方程的通解是则该方程的通解
8、是 ( ).( ).321,yyy设线性无关函数设线性无关函数都是二阶非齐次线都是二阶非齐次线性方程性方程)()()(xfyxQyxPy 的解的解, , 21,CC是任意是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例2.2.提示提示: :3231,yyyy都是对应齐次方程的解都是对应齐次方程的解, ,二者线性无关二者线性无关 . . ( (反证法可证反证法可证) )3322311)()()(yyyCyyCC3322311)()()(yyyCyyCD三、降阶法与常数变易法三、降阶
9、法与常数变易法1.1.齐次线性方程求线性无关特解齐次线性方程求线性无关特解-降阶法降阶法11(1)yy x设( )是方程的一个非零特解，12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy( ),v xu令则有则有, 0)(2(111vyxPyvy, 0)(2(111 uyxPyuy即即=0解得解得,1)(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydxxP 刘维尔公式刘维尔公式齐次方程通解为齐次方程通解为.1)(211211dxeyyCyCydxxP 0)(2(111 vyxPyvy的一阶方程（可
10、分离变量）的一阶方程（可分离变量） v2.2.非齐次线性方程通解求法非齐次线性方程通解求法-常数变易法常数变易法设对应齐次方程通解为设对应齐次方程通解为1122yc yc y(3)设非齐次方程通解为设非齐次方程通解为2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 令令0)()(2211 yxcyxc22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy (4)由于有两个待定函数由于有两个待定函数, , 所以要建立两个方程所以要建立两个方程: :12( ( ),( )c x cx 待定12,yc c为使中不含得得代入方程代入方程将将),2(,yyy
11、 )()()()()()()()()(222211112211xfyxQyxPyxcyxQyxPyxcyxcyxc )()()(2211xfyxcyxc (5)(4),(5)联立方程组联立方程组 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc, 0)(2121 yyyyxw系数行列式系数行列式=0=0,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 积分可得积分可得,)()()(211 dxxwxfyCxc,)()()(122 dxxwxfyCxc非齐次方程通解为非齐次方程通解为.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy
12、.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy解解, 01111 xxx对应齐方一特解为对应齐方一特解为,1xey 由刘维尔公式由刘维尔公式 dxeeeydxxxxx1221,x 对应齐方通解为对应齐方通解为.21xeCxCY 例例3,)()(21xexcxxcy 设原方程的通解为设原方程的通解为应满足方程组应满足方程组，)()(21xcxc 1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得解得 xxexcxc)(1)(2122)(Cexexcxx ，11)(Cxxc 原方程的通解为原方程的通解为. 1221 xxeCxCyx四、小结四、小结主要内容主要内容线性方程解的结构；线
13、性方程解的结构；线性相关与线性无关；线性相关与线性无关；降阶法与常数变易法；降阶法与常数变易法；补充内容补充内容可观察出可观察出一个特解一个特解0)()( yxQyxPy, 0)()()1( xxQxP若若;xy 特解特解, 0)()(1)2( xQxP若若;xey 特特解解, 0)()(1)3( xQxP若若.xey 特特解解 已知微分方程已知微分方程( )( )( )yP x yQ x yf x个解个解,e,e,2321xxyyxy求此方程满足初始条件求此方程满足初始条件3)0(, 1)0(yy的特解的特解 . .解解: :1312yyyy与是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解, ,且且x
14、xyyyyxx21312ee常数常数因而线性无关因而线性无关, ,故原方程通解为故原方程通解为)(e)(e221xCxCyxxx代入初始条件代入初始条件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.ee22xxy故所求特解为故所求特解为有三有三 一、一、 验证验证21xey 及及22xxey 都是方程都是方程0)24(42 yxyxy的解的解, ,并写出该方程的通并写出该方程的通解解 . .二、二、 证明下列函数是相应的微分方程的通解证明下列函数是相应的微分方程的通解: :1 1、),(ln212221是任意常数是任意常数ccxxcxcy 是方程是方程 0432 yyxyx的通解；的通解；
15、2 2、),(2)(12121是任意常数是任意常数cceececxyxxx 是是 方程方程xexyyyx 2的通解的通解 . .练练 习习 题题 三三、已已知知xexy )(1是是齐齐次次线线性性方方程程02)12()12( yyxyx的的一一个个解解, ,求求此此方方程程的的通通解解 . .四四、已已知知齐齐次次线线性性方方程程02 yyxyx的的通通解解为为xxcxcxYln)(21 , ,求求非非齐齐次次线线性性方方程程xyyxyx 2的的通通解解 . .练习题答案练习题答案一、一、2)(21xexCCy . .三、三、)12(21 xCeCyx. .四、四、221)(ln21lnxxxxCxCy . .
