1、Thursday, March 24, 20221第四节 控制系统根轨迹的绘制Thursday, March 24, 20222 前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质），这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下： 标注开环极点“ ”和零点 “ ”； 画出n-m条渐进线。其与实轴的交点（称为重心）和倾角分别为：.3, 2, 1, 0,) 12(;kmnkmnzpij 确定实轴上的根迹区间； 计算极点处的出射角和零点处入射角：）（）（矢量幅角从其他零点到该极点的矢量幅角从其他极点到该极点的出射角）（）（矢量幅角从其他零点到该零点的矢量幅角从各个极点到该零点的入射角Thursday, M
2、arch 24, 20223 计算根轨迹和虚轴的交点； 计算会合点和分离点：nd分离角0求解(s)N(s)D-(s)D(s)由N 利用前几步得到的信息绘制根轨迹。注意： 后两步可能不存在； 在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。Thursday, March 24, 20224一、 单回路负反馈系统的根轨迹 前面所讨论的根轨迹（180度根轨迹）是基于单回路负反馈系统的。例开环传递函数为： ，画根轨迹。16)3)(2()(2sssksGgk实轴上根轨迹区间是：-2，0；渐进线倾角： 与实轴的交点为：,43,4) 12(mnk24620mnzpij解 ：标出四个开环极点：0，-2，
3、 。有四条根轨迹。43jThursday, March 24, 20225-3+4j处的出射角 ：1234j4j012319 .141)90434()(113211tgtg根据对称性，可知-3-j4处的出射角 为：29 .1412与虚轴的交点：闭环特征方程为：050378234gkssss劳斯阵为：000075.3085 .1537075.30050837101234ggggkkkksssss当劳斯阵某一行全为零时，有共轭虚根。这时， 。2 .192gk辅助方程为： ，解得共轭虚根为：02 .19275.302s5 . 22, 1js即为根轨迹与虚轴的交点。Thursday, March 24
4、, 20226会合点与分离点（重根点）：分离角为2d由 得：0)()()()(sDsNsDsN0507424423sss 由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难，可采用下述近似方法：我们知道，分离点在负实轴-2，0区间上，所以当s在实数范围内变化时， 最大时为分离点。gk)50378(234sssskg6.2811.4915.5918.4720.020.0118.2814.578.58-2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2 sgdk可见分离点在-0.8-1.0之间，近似取-0.9。Thursday, March 24, 20227绘制根轨迹，如下图所示
5、。-4-3-2-1012-5-4-3-2-1012345Real AxisImag Axis5 . 2j5 . 2j9 . 09 .141Thursday, March 24, 20228解：开环零点 ，开环极点11 z, 5 . 0, 1 . 021pp根轨迹有两支。起点在极点处，终点一支在开环零点处。一支在无穷远处。实轴上根轨迹区间： 1, 5 . 0,1,(例4-4中已求得，分别为分离点=-0.33,会合点=-1.67，分离角分离点和会合点：2dA1 . 05 . 01绘制根轨迹。例4-7设开环系统传递函数为：试绘制根轨迹。)5 . 0)(1 . 0() 1()(sssksGgkThur
6、sday, March 24, 20229例4-8设系统开环传递函数为：)22)(3()2()(2sssssksGgk试绘制系统的根轨迹。解：开环零，极点分别为：21 zjppp1, 3, 0,4 , 321根轨迹有四支。渐近线倾角35,314) 12(k重心：13223014iizp实轴上根轨迹区间0 , 2,3,(实轴上无分离点和会合点。Thursday, March 24, 202210与虚轴的交点：闭环系统的特征方程为：02)6(85234ggksksss劳斯阵列：00200345060253406528101234ggggggggkkkkkkkksssss劳斯阵有一行全为0，表示有共
7、轭虚根。令：7, 034506ggggkkkk辅助方程为：0144 . 52s61. 12, 1js出射角：0000101110116 .2645135905 . 0(1801801）（）：tgzpjnimjjic点对0216 .261cj，点Thursday, March 24, 202211绘制根轨迹图，见下图-4-3-2-1012-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5Real AxisImag Axis61. 1 j61. 1 j6 .26Thursday, March 24, 202212特殊情况：对于开环传递函数 有零极点相对消的情况。)(sGk-)(sR)(sC)
8、(sG)(sH如：1)(,)2)(1()(ssHssksGg则： ，引起特征方程阶数的下降。处理方法见下图：2)()()(sksHsGsGgk-)(sR)(sC)()(sHsG)(1sH)(1)()(1)(sGsGsHskk式中：)()(1)()()(ssHsHsGsGk以开环传递函数 绘制根轨迹可得 的极点。闭环 系统 的极点由 和 组合而成。 )(sGk)(s)(s)(s)(1sH由零极点相对消减少的极点由 的极点来补充。见下页图。)(1sHThursday, March 24, 202213)2)(1() 1()(sssksGgkThursday, March 24, 202214二、
9、多回路系统的根轨迹 简单处理办法：将多回路系统等效为单回路系统，再绘制180度根轨迹或参量根轨迹。三、 正反馈系统的根轨迹 以上我们讨论的都是闭环负反馈系统的根轨迹绘制准则。在实际的复杂系统中，可能有局部的正反馈的结构。正反馈系统的根轨迹绘制准则与负反馈系统根轨迹略有不同。如下图所示系统：+)(sR)(sC)(sG)(sH开环传递函数为：)()()(sHsGsGk闭环传递函数为：)()(1)()(sHsGsGsThursday, March 24, 202215相应的跟轨迹方程为：1)(sGk幅值条件和相角条件为：,.)2, 1, 0( ,2)(, 1)(kksGsGkk 与负反馈系统根轨迹比
10、较，幅值条件相同，相角条件不同。负反馈系统的相角条件 是180度等相角条件；而正反馈系统的相角条件 是0度等相角条件。) 12(kk2注意：q 负反馈系统根轨迹称为180度根轨迹或简称为根轨迹；q 正反馈系统根轨迹称为0度根轨迹。Thursday, March 24, 202216绘制0度根轨迹的基本准则：v 对称性和连续性同常规根轨迹；v 起点、终点和根轨迹支数同常规根轨迹；v 渐进线：与实轴的交点同常规根轨迹；但倾斜角不同，为： ，有n-m个角度。.2, 1, 0,2kmnkv 实轴上的根轨迹：其右方实轴上的开环零极点之和为偶数（包括0）的区域。v分离点、会合点和分离角：同常规根轨迹；Th
11、ursday, March 24, 202217v 与虚轴的交点：同常规根轨迹；v 闭环极点之和与之积：同常规根轨迹。v 出射角和入射角：1111njjmic）（）（出的矢量幅角其它开环极点到该极点的矢量幅角所有开环零点到该极点11112njmiic）（）（入的矢量幅角所有开环极点到该零点的矢量幅角其它开环零点到该零点Thursday, March 24, 202218例4-9：设单位正反馈系统的开环传递函数为：)5)(1()(sssksGgk，试绘制系统的根轨迹。v 起点在0，-1，-5处，终点在无穷远处。有3支根轨迹。v 渐进线：与实轴的交点23510mnzpij倾角：32, 02mnkv
12、 实轴上根轨迹区间：-5，-1，0， ）v 分离角（点）：,2d由 得：0)()()()(sDsNsDsN52. 3,48. 00512321,2解得：s,ss显然， ，不在根轨迹上。分离点为： 。48. 01s52. 32s解：Thursday, March 24, 202219)5)(1()(sssksGgkThursday, March 24, 202220比较正负反馈的根轨迹方程：若开环传递函数为： njjmiigkpszsksG11)()()(则正、负反馈的根轨迹方程分别为：1)()(11njjmiigpszsk1)()(11njjmiigpszsk可见，正反馈根轨迹相当与负反馈根轨
13、迹的 从 时的根轨迹。所以，可将正负反馈系统的根轨迹合并，得 时的整个区间的根轨迹，gk0gk请阅读p135,图4-29及下页比较图。Thursday, March 24, 202221 左图为正反馈（0度）根轨迹图；右图为负反馈（180度）根轨迹图；将例4-9的给出的开环传递函数分别绘制正负根轨迹图如下：)5)(1()(sssksGgk作业：4-3a，4-4,4-5Thursday, March 24, 202222小结v 手工绘制180度根轨迹的步骤(单回路负反馈系统和多回路系统根轨迹的绘制)；v 手工绘制0度根轨迹的步骤(单回路正反馈系统根轨迹的绘制)；v 180度根轨迹和0度根轨迹的关系；
