1、电磁感应习题课电磁感应习题课一、电磁感应一、电磁感应感应定理感应定理法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律tddmi 楞次定律楞次定律 反抗反抗产生机理产生机理动生电动势动生电动势 baildBv 方向：方向：Bv 洛仑兹力为非静电力洛仑兹力为非静电力感生电动势感生电动势sdtBl dEi 涡涡 涡旋电场提供非静电力，场的方向与磁场涡旋电场提供非静电力，场的方向与磁场随时间的变化率成左手系。随时间的变化率成左手系。自感自感LItILmiL 22IWLILdtdILmmi 互感互感MMM 2112212212121121IdtdIMIdtdIMmimi 或或磁场能量磁场能量 222121BHwm
2、dVwWVmm 在自感线圈中在自感线圈中221LIWm 二、电磁场二、电磁场位移电流位移电流tEtDjd sdtDsdDttIDd 同方向同方向与与tDId 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 soqsdD smlsdtBdtdldE ssdB0 soeolsdtDIdtdIl dH HBED ,电磁波电磁波电磁波是横波，偏振波，同相位，同频率，电磁波是横波，偏振波，同相位，同频率，vHE 成右手螺旋关系成右手螺旋关系波速波速1 v真空中真空中001 c电磁场中任一点电磁场中任一点HE 电磁场能量电磁场能量222121HEwwwme 能量密度能量密度能流密度能流密度EHS HES 电磁振荡电磁振荡L
3、C回路回路)cos(00 tqq)sin(00 tqdtdqiLCTLCfLC 2211 例例1 一单匝圆形线圈位于一单匝圆形线圈位于xoy平面内平面内,其中心位于原其中心位于原点点O,半径为半径为a,电阻为电阻为R.平平行与行与z轴有一匀强磁场轴有一匀强磁场,假假设设R极大极大,求求:当磁场依照当磁场依照B=B0e- t的关系降为零时的关系降为零时,通过该线圈的电流和电量通过该线圈的电流和电量.三、典型例题三、典型例题BzxyOa根据法拉第电磁感应定律根据法拉第电磁感应定律dtdmi teBdtdS 0 teSB 0teBa 02电动势为正电动势为正,说明它的方向与说明它的方向与B构成右手螺
4、旋关系构成右手螺旋关系.线圈中的感应电流线圈中的感应电流tieRBaRi 02感应电流的方向亦与感应电流的方向亦与B构成构成右手螺旋关系右手螺旋关系BzxyOi ia解解:在在0t 时间内时间内,通过线圈某一截面的电量为通过线圈某一截面的电量为tdeRBaidtqttt 0002 teRBa 102 tRmm 01mR1 当当B降为零时降为零时,通过线圈截面的总电量为通过线圈截面的总电量为RRBaidtqm0002 可见可见,q仅与磁通量的变化值仅与磁通量的变化值m有关有关,而与变化而与变化过程无关过程无关,即与即与B(t)无关无关. 例例2 一长直电流一长直电流I与直导线与直导线AB(AB=
5、l)共面，如图共面，如图所示。所示。AB以速度以速度 沿垂直于长直电流沿垂直于长直电流I的方向向右运动，的方向向右运动，求图示位置时导线求图示位置时导线AB中的动生电动势。中的动生电动势。IABd 解解rIo 2,(dlsin =dr) l AB= sinlddrdrctgIo 2dldctgIo sinln2 由于由于 AB0,所以所以 AB的方向由的方向由A指向指向B，B点电势高。点电势高。 dl cos 导线导线dlBBBdli,cos(),sin( )dlr例例3 在截面半径为在截面半径为R的圆的圆柱形空间充满磁感应强度柱形空间充满磁感应强度为为B的均匀磁场的均匀磁场,B的方向的方向沿
6、圆柱形轴线沿圆柱形轴线,B的大小随的大小随时间按时间按dB/dt=k的规律的规律均匀增加均匀增加,有一长有一长L=2R的的金属棒金属棒abc位于图示位置位于图示位置,求金属棒中的感生电动势求金属棒中的感生电动势.ROBcbaRR 解解: 作辅助线作辅助线oa、oc构成闭构成闭合回路合回路oabco.dROBcbaRR 0 oa 0 co acoabco BSoabdom BSSobdooabo BR21243 dtdmi dtdBR 33412 3342 Rk负号表示负号表示 i的方向与的方向与B构成左旋关系构成左旋关系,即感生电动即感生电动势的指向为势的指向为ab c.例例4 一长直导线载有
7、交变一长直导线载有交变电流电流I=I0sin t,旁边有一旁边有一矩矩形线圈形线圈ABCD(于长直导线于长直导线共面共面),长为长为l1,宽宽l2,长边与长边与长直导线平行长直导线平行,AD边与导边与导线相距为线相距为a,线圈共线圈共N匝匝,全全线圈以速度线圈以速度v垂直与长直导垂直与长直导线方向向右运动线方向向右运动,求此时线求此时线圈中的感应电动势大小圈中的感应电动势大小.ABCDI2l1lav解解: 在在ABCD内取一内取一dS=l1dx的面元的面元,穿过该线圈的磁通量为穿过该线圈的磁通量为ABCDI2l1lav SdBm xdxdtdmi dxlxI102 alalnIl2102 tc
8、osIdtdI 0 vdtda talavIlNtalaIlNi sin112cosln220102010 例例5 长直导线中通有电流长直导线中通有电流I=Iocos t(Io 和和 为常为常量量) 。有一与之共面的三角形线圈有一与之共面的三角形线圈ABC,已知已知AB=a,BC=b。若线圈以垂直于导线方向的速度若线圈以垂直于导线方向的速度 向右向右平移平移,当当B点与长直导线的距离为点与长直导线的距离为x时时,求线圈求线圈ABC中的中的感应电动势。感应电动势。 解解 先求磁通：先求磁通： 将三角形沿竖直方向分为若干将三角形沿竖直方向分为若干宽为宽为dr的的矩形积分。矩形积分。 smBds c
9、os bxxrIo 2drbarbx)( tg =a/b m=ln)(2bxbxbxIbao xb ABC aIdrrln)(2bxbxbxIbaom dtdmi ,I=Iocos t, x(t),ln)(2bxbxbxdtdIbaoi dtdxln)(sin2bxbxbxtbaIoo )ln(cos2xbxbxtIbaoo ln)(bxbxbxdtdI xb ABC aIdrr例例6 OM、ON及及MN为金属导线，为金属导线，MN以速度以速度v 运动，运动， 并保持与上述两导线接触。磁场是不均匀的，且：并保持与上述两导线接触。磁场是不均匀的，且：导体导体MN在在t=0时时, x=0 xy0M
10、NvBtcoskxB 求：求：)(t dxxtgdS SdBd dxxtgtcoskx tdxcosx)ktg( 2 SSdB tcosx)ktg(dxtcosx)ktg(x 30231 Bdxx xyotcostvktgtsintvktg 233331 动生动生感生感生)txsintcosdtdxx(ktgdtd32331 例例7 (1)质量为质量为M,长度为长度为L的金属棒的金属棒ab从静止开始从静止开始沿倾斜的绝缘框架下滑沿倾斜的绝缘框架下滑,设设磁场磁场B竖直向上竖直向上,求棒内的求棒内的动生电动势与时间的函数动生电动势与时间的函数关系关系,假定摩擦可忽略不计假定摩擦可忽略不计.(2)
11、如果金属棒是沿光滑的金属框架下如果金属棒是沿光滑的金属框架下滑滑,结果有何不同结果有何不同.(设回路的电阻为设回路的电阻为R)ADBCB gmabvl解解: (1) 当当ab沿斜面下滑时沿斜面下滑时,沿斜沿斜面方向加速度面方向加速度 singa tsingv ldBv)( lcosvB tcossinBgl (2)当当ab沿光滑金属框架下滑时沿光滑金属框架下滑时,ab中有感应电流流中有感应电流流过过,根据楞次定律根据楞次定律,ab中感应电流的方向由中感应电流的方向由ba.ab在磁场中受到安培力的作用在磁场中受到安培力的作用ADBCB gmabvl沿斜面方向的运动方程为沿斜面方向的运动方程为dt
12、dvMcosIBlsinMg RcosvBlI dtdvMvRcoslBsinMg 222由由t=0、v=0，可求出可求出v与与t的关系的关系代入代入 l dBv cosvBl MRtlBeBlMgR 222cos1cossinADBCB gmabvl例例8 一电子在电子感应加速器中沿半一电子在电子感应加速器中沿半径为径为1m的轨道作圆周运动，如果电子的轨道作圆周运动，如果电子每转一周动能增加每转一周动能增加700ev，试计算轨道，试计算轨道内磁通量的变化率。内磁通量的变化率。解：电子每转一周，电场力做功等于动能增量解：电子每转一周，电场力做功等于动能增量则则eVl dEel700 Vl dE
13、l700 而而Vdtdl dEml700 例例9 两根足够长的平行直导线，两根足够长的平行直导线，横截面的半径都是横截面的半径都是 a=10mm，中心相距为中心相距为d=20cm，载有大载有大小相等方向相反的电流小相等方向相反的电流I=20A，设两导线内部磁通量可忽略不计。设两导线内部磁通量可忽略不计。1）计算每单位长度的自感系数，）计算每单位长度的自感系数，2）若将直导线分开到相距）若将直导线分开到相距40cm，求磁场对单位长度直导求磁场对单位长度直导线所做的功；线所做的功；3）位移后，单位）位移后，单位长度的磁能改变了多少？是增加长度的磁能改变了多少？是增加还是减少？还是减少？dIIxdx
14、lmd xdIIo1m 2m 解解: (1)设通过两直导线间设通过两直导线间长为长为l的面积的磁通量的面积的磁通量为为 m,取如图所示的取如图所示的坐标系坐标系,面元面元dS=ldx,则则 dSBdSBm21 ldxxIada 20 ldxxdIada 20 aadlnaadlnIl 20aadlnIl 0由自感系数的定义可得由自感系数的定义可得aadlnlILm 0单位长度的自感系数为单位长度的自感系数为aadlnlLL 00代入已知数据得代入已知数据得H.H.lnL 2110211120104670 BFIIox(2)设想左边直导线不动，将右设想左边直导线不动，将右边直导线拉开边直导线拉开
15、.移动过程中会受移动过程中会受到磁场力到磁场力F的作用的作用.由右手螺旋法由右手螺旋法则可知则可知,F沿沿x轴正方向轴正方向.xIIlIlBF 20 取取l=1m,则磁场对单位长度载流直导线所作功为则磁场对单位长度载流直导线所作功为 FdxA 4020202.dxxI 2220lnI J.51065 (3)当两直导线相距当两直导线相距40cm时时,每单位长度的自感系数为每单位长度的自感系数为dadlnL 00391047ln H.61051 2000021ILLWWWmmm 262010215121 .可见可见,位移时单位长度内的磁能是增加的位移时单位长度内的磁能是增加的.20021ILWm
16、20021ILWm J6100 . 6例例10 一圆形线圈一圆形线圈C1由由N1匝表面绝缘的细导线绕匝表面绝缘的细导线绕成，圆面积为成，圆面积为S，将此线圈放在另一半径为将此线圈放在另一半径为R的圆的圆形大线圈形大线圈C2的中心（的中心（ C2 比比C1的的尺寸大的多）两者尺寸大的多）两者同轴，大线圈由同轴，大线圈由N2匝表面绝缘的导线绕成。匝表面绝缘的导线绕成。1）求这两线圈的互感求这两线圈的互感M.2）当大线圈中的电流变化率为当大线圈中的电流变化率为dI/dt时，时，求小线圈求小线圈C1中的感应电动势中的感应电动势 .解：解：(1)设设C2通有电流通有电流I. 由于由于C2比比C1大的多，
17、大的多， C2在在C1处处产生的磁场可看作均匀磁场产生的磁场可看作均匀磁场.RINB202 穿过穿过C1的磁通链数为的磁通链数为RISNNm2021 RSNNIMm2021 (2)dtdIM dtdIRISNN2021 1C1NSR2C2N例例11 一根无限长圆柱形载流导线一根无限长圆柱形载流导线,半径为半径为R,试求该试求该导线导线 l 长度所储存的磁场能量及自感系数长度所储存的磁场能量及自感系数.解解: 根据安培环路定理根据安培环路定理Rr 202 RIrB 4222200024212RrIBwm rldrRrIdVwdWmm 2442220 drrRlI34204 drrRlIWRm 0
18、34204 1620lI 20821Il 80lL 例例12 一圆形极板的真空平行板电容器，板间距离一圆形极板的真空平行板电容器，板间距离为为d，两极板之间有一长宽分别为两极板之间有一长宽分别为a和和b的矩形线框的矩形线框,矩矩形线框的一边与圆极板的中心轴线重合，如图所示。形线框的一边与圆极板的中心轴线重合，如图所示。两极板上加上电压两极板上加上电压V12=Vocos t，求求矩形线框的电压矩形线框的电压V=?解解 板间板间电场：电场：tdVdVEo cos12 dtdEdtdDjod tdVoo sin 位移电流密度：位移电流密度：dV=?abB.2 r=ojd. r2rjBdo2 trdVooo sin2 smBds cos tdabVooo sin42 dtdmi tdabVooo cos422 V= idV=?abr lloIdlB内内 dr b0adr trdVooo sin2
