1、理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院1理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院2汇交力系汇交力系平行力系平行力系(力偶系是其中的特殊情况力偶系是其中的特殊情况 ) 一般力系一般力系(任意力系任意力系)力系按作用线分布分为：平面力系、空间力系力系按作用线分布分为：平面力系、空间力系平面力系：作用线分布在同一平面内的力系。平面力系：作用线分布在同一平面内的力系。空间力系：作用线分布在不同平面内的力系。空间力系：作用线分布在不同平面内的力系。力系按作用线汇交情况分为：力系按作用线汇交情况分为：理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院3 一、平面汇交
2、力系合成的几何法一、平面汇交力系合成的几何法cos2212221FFFFR)180sin(sin1RF1 1、两个共点力的合成、两个共点力的合成合力方向由正弦定理：合力方向由正弦定理：由余弦定理：由余弦定理：cos)180cos(由力的平行四边形法则作图（左），由力的平行四边形法则作图（左），也可用力的三角形来作图（右）。也可用力的三角形来作图（右）。2-12-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院4F3F2F1F4AF1F2F3F4FRabcdeabcdeF1F2F4F3FR各力矢与合力矢构成的多边形称为力多
3、边形。各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形。用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则。用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则。力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭边。力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭边。2、任意个共点力的合成、任意个共点力的合成力多边形力多边形:各分力矢首尾相连，各分力矢首尾相连，组成一个不封闭的力多边形。组成一个不封闭的力多边形。封闭边表示合力的大小和方向。封闭边表示合力的大小和方向。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院53、平面汇交力系平衡的几何法、平面汇交力系平衡的几何法R120niFFFFF 平面汇交力系平衡的必要和充
4、分条件是：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。该力系的合力等于零。上述方程的几何表达为：该力系的力多边形自行封闭。上述方程的几何表达为：该力系的力多边形自行封闭。用几何方法求平面汇交力系平衡时，要做出封闭的力多用几何方法求平面汇交力系平衡时，要做出封闭的力多边形，一般只适合三个力的平衡问题。边形，一般只适合三个力的平衡问题。结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和于各分力的矢量和( (几何和几何和) )，合力的作用线通过汇交点。，合力的作用线通过汇交点。 用用矢量式表示为：矢量式表示为：R1
5、2niFFFFF理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院6例例 已知压路机碾子重已知压路机碾子重P=20kN, r =60cm, 欲拉过欲拉过h=8cm的障碍的障碍物。求：在中心作用的水平力物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。的大小和碾子对障碍物的压力。577. 0)(tg22hrhrr又由几何关系：又由几何关系：选碾子为研究对象选碾子为研究对象取分离体画受力图取分离体画受力图解：解：当碾子刚离地面时当碾子刚离地面时NA=0,=0,拉力拉力F最大最大, ,这时这时拉力拉力F和自重及支反力和自重及支反力NB构成一平衡力系。构成一平衡力系。 由平衡的几何条件，力
6、多边形封闭，故由平衡的几何条件，力多边形封闭，故tgPFcosPNBF=11.5kN , NB=23.1kN所以所以理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院7由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。几何法解题步骤：几何法解题步骤：选研究对象；选研究对象；作出受力图；作出受力图； 作力多边形；作力多边形； 用几何方法求出未知数。用几何方法求出未知数。几何法解题不足：几何法解题不足： 一般只适合三个力时的平衡；做出的一般只适合三个力时的平衡；做出的 封闭多变形为三角形，可用三角形的封闭多变形为三角形，可用三角形的
7、 正弦和余弦定理求解；正弦和余弦定理求解； 不能表达各个量之间的函数关系。不能表达各个量之间的函数关系。 下面我们研究力系合成与平衡的另一种方法：下面我们研究力系合成与平衡的另一种方法： 解析法解析法。 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院8一、力在坐标轴上的投影和分解一、力在坐标轴上的投影和分解 X=Fx=Fcos Y=Fy=Fsin=Fcosb已知力可求投影已知力可求投影FFFXxcosFFFYybcos22yxFFF反之，已知投影可求反之，已知投影可求力的大小和方向力的大小和方向2-22-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法 理论力学理论力
8、学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院9二、合力投影定理二、合力投影定理合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。轴上投影的代数和。若以若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，则：表示力沿直角坐标轴的正交分量，则： ,xyFFxyFFF,xxyyFXiF i FYjF j而：而：xyFXiYjF iF j所以：所以：RxxiFF RyyiFF 合力的大小：合力的大小： 方向：方向： 作用点：作用点：cos(, ),cos(, )RyRxRRRRFFF iF jFF为该力系的汇交点为该力系的汇交点22()()Rxi
9、yiFFF理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院10三、平面汇交力系的平衡三、平面汇交力系的平衡 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。22()()0RxiyiFFF 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。该力系的合力等于零。0 ,0 xiyiFF 必有必有理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院110 xF 0yF 045coscos0CDASR045sinsin0CDASRP 例例 已知
10、已知 P=2kN =2kN 求求SCD , RA解解: : 1、取取AB杆为研究对象杆为研究对象2 2、画、画AB的受力图的受力图3 3、列平衡方程、列平衡方程由由EB= =BC=0.4m，312.14.0tgABEB解得：解得：kN 24. 4tg45cos45sin00PSCDkN 16. 3cos45cos0CDASR；4 4、解方程、解方程理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院12力对物体可以产生力对物体可以产生 移动效应移动效应-取决于力的大小、方向取决于力的大小、方向转动效应转动效应-取决于力矩的大小、方向取决于力矩的大小、方向 是代数量。是代数量。)(FMO当当
11、F=0=0或或h=0=0时，时， =0=0。)(FMO 是影响转动的独立因素。是影响转动的独立因素。)(FMO =2=2AOB= =Fh，2 2倍倍形面积。形面积。)(FMO 单位单位Nm或或kNm 。2-3 2-3 力对点的矩力对点的矩-+()OMFF h 一、力对点的矩一、力对点的矩MO(F)OhrFAB理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院13二、二、合合力矩定理力矩定理合力对某点之矩，等于所有各分力对同一点之矩的代数和。合力对某点之矩，等于所有各分力对同一点之矩的代数和。1()()nOROiiMFMFFFxFyxyOqxyA()sincosOyxMxFyFxFyFqq
12、F三、力矩的解析表达式三、力矩的解析表达式1()()nORiiyiixiMFx Fy F合力对坐标原点之矩合力对坐标原点之矩理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院14已知已知F1400 N, , r60 mm, a20，求力求力Fn对对O点的矩。点的矩。()cos78.93 N mOMF hFrFrtt()()()()cosOOOOMMMMFrFFFFFnFrFtFn理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院15一、平面力偶及其性质一、平面力偶及其性质2-42-4 平面力偶平面力偶由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成由两个大小相等、方向相反且不共线的平行
13、力组成的力系，称为力偶，记为的力系，称为力偶，记为( (F, , F) )。力偶的两力之间的垂。力偶的两力之间的垂直距离直距离d 称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院16大小：大小：R=Q+P方向：平行于方向：平行于Q、P且指向一致且指向一致作用点：作用点：C处处确定确定C点，由合力距定理点，由合力距定理( )( )BBMRMQQPR又ABQCBR代入CBACABQPCBAC整理得性质性质1：力偶没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。：力偶没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。两个同
14、向平行力的合力两个同向平行力的合力理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院17力偶无合力力偶无合力 R=F-F=01FFCACBCACB 0CBCACBddCB 若成立，且，必有处合力的作用点在无限远d两个反向平行力的合力两个反向平行力的合力 大小：大小：R=Q-P 方向：平行于方向：平行于Q、P且与较大的相同且与较大的相同 作用点：作用点：C处处 （推导同上）（推导同上）PQCACB理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院18( )( )()OOM FM FF x dF x F d 说明：说明： M是代数量，有是代数量，有+、； F、 d 都不独立，只有力偶矩
15、都不独立，只有力偶矩 是独立是独立量；量； M的值的值M=2ABC ； 单位：单位：N mMF d由于由于O点是任取的点是任取的MF d +性质性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。d理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院19 性质性质3：平面力偶等效定理：平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。转
16、向相同，则该两个力偶彼此等效。证证设物体的某一平面上设物体的某一平面上 作用一力偶作用一力偶(F,F)现沿力偶臂现沿力偶臂AB方向方向加一对平衡力加一对平衡力(Q ,Q ),Q , F 合成合成 R，再将再将Q ，F 合成合成 R，得到新力偶得到新力偶(R,R),将将R ,R 移到移到A,B点，则点，则(R, R)，取代，取代了原力偶了原力偶(F，F )，并与原力偶等效。，并与原力偶等效。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院20只要保持力偶矩大小和转向只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，的大小和相应力偶臂的长
17、短，而不改变它对刚体的作用效应。而不改变它对刚体的作用效应。由上述证明可得下列由上述证明可得下列两个推论两个推论：比较比较(F,F)和和(R,R)可得可得m(F,F)=2ABD=m(R,R) =2 ABC即即ABD= ABC，且它们转向相同。且它们转向相同。力偶可以在其作用面内任力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体意移动，而不影响它对刚体的作用效应。的作用效应。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院21力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如图所示的符号表示力才是力偶作用的唯一
18、量度。今后常用如图所示的符号表示力偶。偶。M为力偶的矩。为力偶的矩。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院221113MFdF d2224MF dF d M1(F1, F1)， M2(F2, F2)3434FFFFFF343412()MFdFF dF dF dMM在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶，合力偶在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。矩等于各个力偶矩的代数和。 二、二、平面力偶系的合成和平衡平面力偶系的合成和平衡理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院23 平面力偶系平衡的充要条件是平面力偶系平衡的充要条件
19、是: : 所有各力偶矩的代数和等于零。所有各力偶矩的代数和等于零。( (力偶只能和力偶平衡力偶只能和力偶平衡) ) 121nniiMMMMM即即: :10niiM即即理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院24 例例 在一钻床上水平放置工件在一钻床上水平放置工件, ,在工件上同时钻四个等直径在工件上同时钻四个等直径的孔的孔, ,每个钻头的力偶矩为每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平约束力端水平约束力? ? mN154321mmmmmN60)15(4 4321mmmmM02 . 04321mmmmNBN3002 . 060BNN 300BA
20、NN解解: : 各力偶的合力偶距为各力偶的合力偶距为根据平面力偶系平衡方程有根据平面力偶系平衡方程有: :由力偶只能与力偶平衡的性质，由力偶只能与力偶平衡的性质，力力NA与力与力NB组成一力偶。组成一力偶。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院25 例例 图示结构，已知图示结构，已知M=800N.m，求求A、C两点的约束力两点的约束力。18 2(N cm)0.255(N m)ACCCCMRdRR 0iM0 MMAC3137NCR 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院26 例例 图示杆系，已知图示杆系，已知m，l，求求A、B处约束力。处约束力。解：解：1 1
21、、研究对象二力杆、研究对象二力杆：AD2 2、研究对象：、研究对象： 整体整体ADNBRlmRNBAD思考：思考：CB杆受力情况如何？杆受力情况如何？BRCRmCRADNm作用在作用在AD杆上又如何？杆上又如何？理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院27解：解： 1、研究对象二力杆：研究对象二力杆：BC2 2、研究对象：、研究对象： 整体整体BRCRADNBRADNCRAD杆杆mlmlmRNBAD245sin0理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院28 例例 不计自重的杆不计自重的杆AB与与DC在在C处为光滑接触处为光滑接触, ,它们分别受力偶它们分别受力偶
22、矩为矩为M1与与M2的力偶作用的力偶作用 ，转向如图转向如图。问问M1与与M2的比值为多的比值为多大大，结构才能平衡结构才能平衡? ?60o60oABCDM1M2理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院29解解: : 取杆取杆AB为研究对象画受力图。为研究对象画受力图。 杆杆AB只只受力偶的作用而平衡且受力偶的作用而平衡且C处为光处为光滑面约束，则滑面约束，则A处约束力的方位可定。处约束力的方位可定。ABCM1RARCRA = RC = R,AC = a Mi = 0a R- M1 = 0M1 = aR (1)60o60oABCDM1M2理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院30取杆取杆CD为研究对象。因为研究对象。因C点约束方位已定点约束方位已定 , , 则则D点约束反力方位亦可确定，画受力图。点约束反力方位亦可确定，画受力图。60o60oDM2BCARDRC RD = RC = R Mi = 0-0.5aR + M2 = 0M2 = 0.5 aR (2)联立联立(1)(2)(1)(2)两式得两式得: :M1/M2=260o60oABCDM1M2理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院31
