1、第四节 矩阵的秩第二章二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法 一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念三、小结三、小结21 ,.mnAkkkm knkAkAk定定义义在在矩矩阵阵中中任任取取行行列列（）, ,位位于于这这些些行行列列交交叉叉处处的的个个元元素素, ,不不改改变变它它们们在在中中所所处处的的位位置置次次序序而而得得的的 阶阶行行列列式式，称称为为矩矩阵阵的的阶阶子子式式一、矩阵秩的概念 .kkmnmnAkCC矩矩阵阵的的阶阶子子式式共共有有个个2010( ).ArDrDArAR A 定定义义若若在在矩矩阵阵中中有有一一个个不不等等于于的的阶阶子子式式，且且所所有有阶阶子子式式（如如果果存存在在
2、的的话话）全全等等于于 ，那那末末称称为为矩矩阵阵 的的最最高高阶阶非非零零子子式式，数数 称称为为矩矩阵阵的的秩秩，记记作作并并规规定定零零矩矩阵阵的的秩秩等等于于零零( ).mnAR AA 由由定定义义可可知知矩矩阵阵的的秩秩是是中中非非零零子子式式的的最最高高阶阶数数()( )TR AR A ，阶阶可可逆逆矩矩阵阵设设An , 0 A,AA的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为,)(nAR .为为满满秩秩矩矩阵阵，故故称称可可逆逆矩矩阵阵可可逆逆矩矩阵阵的的秩秩等等于于阶阶数数.奇奇异异矩矩阵阵为为降降秩秩矩矩阵阵 ()min,m nR Am n 显显然然从而一个矩阵的秩是唯一确定的从而一
3、个矩阵的秩是唯一确定的.例例1.174532321的秩的秩求矩阵求矩阵 A解解中，中，在在 A，阶子式只有一个阶子式只有一个的的又又AA3. 03221 ，且且0 A. 2)( AR例例2 2，求该矩阵的秩，求该矩阵的秩已知已知 510231202231A, 022031 102120231 502320231 解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，, 0 , 0 510312223 512310221 , 0 , 0 . 0 . 2 AR例例32113203025.0004300000B 求求矩矩阵阵的的秩秩解解3B是是一一个个阶阶梯梯形形矩矩阵阵，其其非非零零行行有有 行行，.4阶子式全为零
4、阶子式全为零的所有的所有B, 0400230312 而而. 3)( BR问题：问题：经过变换矩阵的秩是否改变？经过变换矩阵的秩是否改变？证证二、矩阵秩的求法 1, .ABR AR B 定定理理若若则则 , m nA 任任何何矩矩阵阵总总可可以以经经过过有有限限次次初初等等行行变变换换把把它它变变成成阶阶梯梯形形矩矩阵阵. .).()( BRARBA 则则，经一次初等行变换变为经一次初等行变换变为先证明：若先证明：若. 0 )( rDrArAR阶子式阶子式的某个的某个，且，且设设.阶阶梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行的的行行数数是是唯唯一一确确定定的的时，时，或或当当BABAkrrriji 时，
5、分三种情况讨论：时，分三种情况讨论：当当BAjikrr ,.rrDDB相对应的子式相对应的子式中总能找到与中总能找到与在在,rrrrDDDkD 由由于于或或.)(0 rBRDr ，从而，从而因此因此行；行；行但不含第行但不含第中含第中含第）（行；行；行和第行和第中同时含第中同时含第）（行；行；中不含第中不含第）（jiDjiDiDrrr321.)(, 0)2(),1( rBRDDDBrrr 故故子式子式对应的对应的中与中与两种情形，显然两种情形，显然对对，对情形对情形)3(,rrjijirDkDrkrkrrD , 0 rD若若,非零子式非零子式阶阶行的行的中有不含第中有不含第行知行知中不含第中不
6、含第因因riAiDr.)(rBR , 0 rD若若.)(, 0rBRDDrr 也有也有则则).()(BRAR 因此因此 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变有限次初等行变换矩阵的秩仍不变 ).()(,BRARBA 也有也有经初等列变换变为经初等列变换变为设设 ( )( ).ABR AR B 若若 经经一一次次初初等等行行变变换换变变为为，则则, BA又又由由于于也也可可经经一一次次初初等等行行变变换换变变为为( )( ).R BR A 故故也也有有,BA经初等列变换变为经初等列变换变为设设).()(),(, BRARBABA
7、 则则即即经有限次初等变换变为经有限次初等变换变为若若综上综上,TTBA 经初等行变换变为经初等行变换变为则则),()( TTBRAR ),()(),()(TTBRBRARAR 且且).()(BRAR 证毕证毕 , m nrAE 任任何何矩矩阵阵总总可可以以经经过过有有限限次次初初等等行行变变换换把把它它变变成成阶阶梯梯形形矩矩阵阵, ,再再通通过过有有限限次次初初等等列列0 0变变换换便便可可化化为为标标准准形形. .0000又初等变换不改变矩阵的秩，又初等变换不改变矩阵的秩，且一个矩阵的秩是唯一确定的且一个矩阵的秩是唯一确定的.1显显然然标标准准形形中中 的的个个数数即即为为矩矩阵阵的的秩
8、秩从而一个矩阵的标准形也是唯一的从而一个矩阵的标准形也是唯一的.初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法： 将矩阵用初等行变换变成阶梯形矩阵，阶梯将矩阵用初等行变换变成阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例4的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式秩，并求秩，并求的的求矩阵求矩阵设设AAA,41461351021632305023 A对对 作作初初等等行行变变换换，变变成成阶阶梯梯形形矩矩阵阵：解解 41461351021632305023 A 05023351021632341461 41461351021632305023 A 0502
9、3351021134041461 1281216011791201134041461 41461351021632305023 A 84000840001134041461 00000840001134041461 由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知. 3)( AR . 的一个最高阶子式的一个最高阶子式求求 A , 3)( AR . 3阶阶的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为知知A3345340 . ACC的的阶阶子子式式共共有有个个阶梯形矩阵为阶梯形矩阵为的行的行则矩阵则矩阵记记),(),(42154321aaaBaaaaaA 的行阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，考察考察A
10、 000400140161( )3R B的前三行构成的子式的前三行构成的子式计算计算B .3阶非零子式阶非零子式中必有中必有故故 B.4 个个且共有且共有623502523 1106502523 116522 . 016 则这个子式便是则这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.A例例5 5 4321,6063324208421221bA设设 .)(的的秩秩及及矩矩阵阵求求矩矩阵阵bABA 解解 ( , ),BBA b 设设的的阶阶梯梯形形矩矩阵阵为为分析：分析：AA则则就就是是的的阶阶梯梯形形矩矩阵阵，).()(),(BRARbAB及及中可同时看出中可同时看出故从故从 46063332422084211221B 13600512000240011221 10000500000120011221 00000100000120011221. 3)(, 2)( BRAR三、小结(2)(2)初等变换法初等变换法1. 矩阵秩的概念矩阵秩的概念2. 求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)(1)利用定义利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);
