1、23:201MEASUREMENTINFORMATION SIGNAL ANALYSIS IN MECHANICAL ENGINEERING 机械工程测试机械工程测试信息信息信号分析信号分析 机械科学与工程学院机械科学与工程学院 机械电子信息工程系机械电子信息工程系李锡文李锡文 轩建平轩建平 23:202课件资料下载：邮箱地址： “机械工程测试机械工程测试”每个字拼音的第一个字母每个字拼音的第一个字母 密码：111111注意下载时不要删除原始文件 23:203上次课内容回顾q时域分析主要内容时域分析主要内容 一、信号波形图一、信号波形图 二、时域分解二、时域分解 三、时域统计分析三、时域统计分
2、析 四、直方图分析四、直方图分析 五、时域相关分析五、时域相关分析信源信源被测对象被测对象应用应用被控对象被控对象传感器传感器一次仪表一次仪表传输调理传输调理二次仪表二次仪表信号分析信号分析 信号分析信号分析信号信号信号信号信号信号数字数字信号信号23:2042.2 频域分析按能否用明确的数学关系式描述分类时域分析时域分析信号信号确定性信号确定性信号非确定性信号非确定性信号周期信号周期信号非周期信号非周期信号简单周期信号简单周期信号复杂周期信号复杂周期信号准周期信号准周期信号瞬态非周期信号瞬态非周期信号平稳随机信号平稳随机信号非平稳随机信号非平稳随机信号各态历经信号各态历经信号非各态历经信号非
3、各态历经信号FS?FT?功率谱功率谱非高斯信号非高斯信号高阶谱分析高阶谱分析专题专题时频分析时频分析小波分析小波分析独立变量独立变量Hilbert-Huang变换变换23:205补充：信号分类q准周期信号：当若干个不同频率的周期信号叠加时，准周期信号：当若干个不同频率的周期信号叠加时，如果这些信号的周期的最小公倍数不存在，则叠加如果这些信号的周期的最小公倍数不存在，则叠加后的信号不再为周期信号，但该信号的频率描述还后的信号不再为周期信号，但该信号的频率描述还具有周期信号的特点，称为准周期信号。具有周期信号的特点，称为准周期信号。q瞬态信号：一般将持续时间短，有明显的开端和结瞬态信号：一般将持续
4、时间短，有明显的开端和结束的信号称为瞬态束的信号称为瞬态信号信号。瞬态信号的频谱特征为。瞬态信号的频谱特征为连连续谱续谱 。q随机信号随机信号: :工程中经常遇到的一种信号，其特点为：工程中经常遇到的一种信号，其特点为：1 1）时间函数不能用精确的数学关系式来描述；）时间函数不能用精确的数学关系式来描述；2 2）不能预测它未来任何时刻的准确值；）不能预测它未来任何时刻的准确值；3 3）对这种信号的每次观测结果都不同，但大量地重复试）对这种信号的每次观测结果都不同，但大量地重复试验可以看到它具有统计规律性，因而可用概率统计方法来验可以看到它具有统计规律性，因而可用概率统计方法来描述和研究。描述和
5、研究。23:206补充：信号分类q 随机现象随机现象-产生随机信号的物理现象。产生随机信号的物理现象。q 样本函效样本函效-表示随机现象的单个时间历程表示随机现象的单个时间历程x(t)，即对随机信号，即对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录。记作按时间历程所作的各次长时间观测记录。记作xi(t)，i表示第表示第i次观测次观测q 随机过程随机过程-在相同试验条件下随机现象可能产生的全体样本在相同试验条件下随机现象可能产生的全体样本函数的集合函数的集合(总体总体)。x(t) = x1(t), x2(t), , xi(t), , xN(t) 称为称为随机过程随机过程。q 一般而言，任何一个样本
6、函数都无法恰当地代表随机过程一般而言，任何一个样本函数都无法恰当地代表随机过程x(t)，随机过程在任何时刻，随机过程在任何时刻tk的统计特性需用其样本函数的的统计特性需用其样本函数的集合平均来描述。集合平均来描述。 时间平均时间平均按单个样本函数的时间历程进行平均计算。按单个样本函数的时间历程进行平均计算。横向横向 总体平均总体平均(集合平均集合平均)将全体样本函数在某时刻的值将全体样本函数在某时刻的值xi(t1)相加后再除相加后再除以样本函数的总数。以样本函数的总数。纵向纵向23:207补充：平稳随机信号q平稳随机信号平稳随机信号随机现象的统计特征参数不随时间随机现象的统计特征参数不随时间变
7、化，即变化，即任意两个时刻的统计特征参数相等任意两个时刻的统计特征参数相等。否则。否则为为非平稳随机信号非平稳随机信号。q以均值为例，随机过程以均值为例，随机过程x(t) = x1(t), x2(t), , xi(t), , xN(t) ，若满足若满足 x(t1)= x(t2)= x(tN)= x，则，则x(t)为为平稳随机信号平稳随机信号23:208补充：各态历经随机信号q各态历经随机信号各态历经随机信号-如果平稳随机过程的如果平稳随机过程的任何一个任何一个样本函数的时间平均统计特征均相同样本函数的时间平均统计特征均相同，且，且等于总体等于总体统计特征统计特征。即任一单个样本函数的时间平均统
8、计特。即任一单个样本函数的时间平均统计特性等于该过程的集合平均统计特征。即任一个样本性等于该过程的集合平均统计特征。即任一个样本都可把整体的各种可能出现的情况显示出来。都可把整体的各种可能出现的情况显示出来。q描述描述各态历经各态历经随机信号的主要统计参数：随机信号的主要统计参数： 幅值域：均值、方差、均方值、概率密度函数等幅值域：均值、方差、均方值、概率密度函数等 时间域：自相关函数、互相关函数时间域：自相关函数、互相关函数 频率域：自功率谱密度函数、互功率谱密度函数、频率域：自功率谱密度函数、互功率谱密度函数、相干函数等相干函数等23:209补充：各态历经随机信号q各态历经随机信号各态历经
9、随机信号 以均值为例，随机过程以均值为例，随机过程x(t) = x1(t), x2(t), , xi(t), , xN(t) ，若满足若满足 x(t1)= x(t2)= x(tN)= x，则，则x(t)为为平稳随机信号平稳随机信号 如同时满足如同时满足 x1(t)= x2(t)= xN(t)= x，则，则x(t)为为各态历经随机信号。否则为非各态历经随机信号各态历经随机信号。否则为非各态历经随机信号23:2010补充：各态历经随机信号q各态历经过程的物理意义各态历经过程的物理意义 任一样本函数在足够长的时间区间内，包含了各任一样本函数在足够长的时间区间内，包含了各个样本函数所有可能出现的状态。
10、个样本函数所有可能出现的状态。 对各态历经过程，其对各态历经过程，其时间平均时间平均等于等于集合平均集合平均，各，各态历经过程的所有特性都可以用单个样本函数上态历经过程的所有特性都可以用单个样本函数上的时间平均来描述。随机信号在的时间平均来描述。随机信号在固定时刻的所有固定时刻的所有样本的统计特征样本的统计特征和和任何一个单一样本在时间任何一个单一样本在时间的统的统计特征是一致的计特征是一致的 工程中绝大多数随机过程都是各态历经的或近似工程中绝大多数随机过程都是各态历经的或近似为各态历经过程进行处理。为各态历经过程进行处理。23:20112.2 信号频域分析主要内容主要内容：主要内容：q1、时
11、域分析与频域分析关系、时域分析与频域分析关系q2、周期信号的时域分析、周期信号的时域分析-傅里叶级数展开傅里叶级数展开q3、周期信号的频域分析、周期信号的频域分析q4、非周期信号的频域分析、非周期信号的频域分析-傅里叶变化傅里叶变化FTq5、卷积、卷积 1、卷积定义、卷积定义 2、卷积的性质、卷积的性质 3、卷积与相关、卷积与相关 4、卷积定理、卷积定理23:2012典型实际信号1q人和一些动物发出声波的频率范围呼吸音和心脏声音呼吸音和心脏声音23:2013典型实际信号1q人和一些动物“听到”声波的频率范围23:2014典型实际信号2弓头鲸发出声音的联合时频分布曲线http:/www.bird
12、s.cornell.edu/brp/listen-to-project-sounds/soundfiles/BowSong2000.au23:2015典型实际信号323:2016典型实际信号423:2017 信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。来了解信号的特征。 8563ASPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz傅里叶傅里叶变换变换X(t)= sin(2nft)0 t0 f2.2 信号的频域分析23:2018信号频谱
13、信号频谱X(f)X(f)代表了信号在不同频代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。域信号波形更直观，丰富的信息。 时间时间幅值幅值频率频率时域分析时域分析频域频域分析分析时域分析与频域分析的关系23:2019 时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。信号的频率组成和各频率分量大小。 图例：受噪声干扰的多频率成分信号图例：受噪声干扰的多频率成分信号 时域分析与频域分析的关系23:
14、2020大型空气压缩机传动装置故障诊断大型空气压缩机传动装置故障诊断传感器传感器例：大型空压机传动装置故障诊断23:2021信号的频域分析周期信号周期信号非周期信号非周期信号时间时间 连续连续连续时间非连续时间非周期信号周期信号离散时间非离散时间非周期信号周期信号时域分析时域分析频域分析频域分析时间时间 离散离散时间时间 连续连续时间时间 离散离散连续时间周连续时间周期信号期信号离散时间周离散时间周期信号期信号频域分析频域分析23:2022周期信号q表达式：存在一个周期表达式：存在一个周期T0，q参数：周期，频率，角频率，基本周期，基波，谐参数：周期，频率，角频率，基本周期，基波，谐波波23:
15、2023周期信号判别q多个周期信号相加后信号周期判断多个周期信号相加后信号周期判断 两个周期信号相加两个周期信号相加(T1,T2) T1,T2之间是否有公倍数，即存在一个最小数之间是否有公倍数，即存在一个最小数T0，能同时，能同时被被T1,T2所整除所整除 n1T1=n2T2， n1/n2=T2/T1=有理数有理数 n1、n2均为整数均为整数 例：例：x1(t)=A1cos6t, x2(t)=A2cos10t,判断判断x3(t) = x1(t) +x2(t)的周期的周期整数的最小公倍数：两个个数的质因数的乘积，计算整数的最小公倍数：两个个数的质因数的乘积，计算36和和270的的最小公倍数最小公
16、倍数(540)，45和和60的最小公倍数的最小公倍数(90)？分数的最小公倍数：用各分子的最小公倍数作分子，各分母的最分数的最小公倍数：用各分子的最小公倍数作分子，各分母的最大公约数作分母，所得分数就是各分数的最小公倍数。大公约数作分母，所得分数就是各分数的最小公倍数。 23:2024狄义赫利条件(1) 在一个周期内，间断点的个数有限(2) 极大值和极小值的数目有限(3) 信号绝对可积满足上述条件的任何周期函数，都可以展成“正交函数(集)线性组合”的无穷级数。周期信号-时域分析23:2025:sin,cos, 100Nntntn:0Znetjn三角函数集（正弦型函数）三角函数集（正弦型函数）复
17、指数函数集复指数函数集正交函数集正交函数集周期信号时域分析：傅里叶级数展开q 如果正交函数集是三角函数集或指数函数集，则周期函数展如果正交函数集是三角函数集或指数函数集，则周期函数展成的级数就是成的级数就是“傅里叶级数傅里叶级数”。q 相应的级数通常被称为相应的级数通常被称为“三角形式傅里叶级数三角形式傅里叶级数”或或“指数形指数形式的傅里叶级数式的傅里叶级数”。q 傅里叶级数傅里叶级数工程上物理上的工程上物理上的应用相当广泛应用相当广泛。任一周期函数任一周期函数可可以利用傅里叶级数分解成许多不同振幅大小，不同频率高低以利用傅里叶级数分解成许多不同振幅大小，不同频率高低的正弦波与余弦波。而的正
18、弦波与余弦波。而非周期信号函数非周期信号函数则可以利用傅里叶积则可以利用傅里叶积分来分析。分来分析。23:2026三角函数三角函数1000)sincos(2)(nnntnbtnaatx设周期函数设周期函数x(t)的周期为的周期为T周期信号三角形式的FS展开a0是常数，表示直流分量；是常数，表示直流分量；n为正整数，为正整数，n=1, a1cos 0t+b1sin 0t，基波，基波 n=2, a2cos2 0t+b2sin2 0t，二次谐波，二次谐波 ancosn 0t+bnsinn 0t，n次谐波次谐波用一类时间函数的集合来描述周期，称为用一类时间函数的集合来描述周期，称为周期信号的时域分析周
19、期信号的时域分析系数系数an和和bn统统称为三角形式的称为三角形式的傅里叶级数系数傅里叶级数系数，简称为，简称为傅里叶傅里叶系数系数(FS)。系数系数an和和bn的的计算可由三角函数的正交特性求得。计算可由三角函数的正交特性求得。23:2027nnnabarctan设周期为设周期为T函数函数x(t)，展开成，展开成三角函数三角函数的无穷级数形式的无穷级数形式周期信号三角形式的FS展开100)cos(2)(nnntnAatx22nnnbaATdttxTa)(120NntdtntxTaTn,cos)(20NntdtntxTbTn,sin)(20T20n相位谱nA幅值谱2nA功率谱信号的基波、基频信
20、号的基波、基频1000)sincos(2)(nnntnbtnaatx三角函数的正交特性三角函数的正交特性23:2028方波信号的三角形式FS展开q求下图所示的方波信号的三角形式求下图所示的方波信号的三角形式FS表示式表示式23:2029方波信号的三角形式FS展开23:2030系数计算方法，系数计算方法，n0是离散变量，离散频率是离散变量，离散频率ZndtetxTnXCTTtjnn220,)(1)(0设周期为设周期为T T的的函数函数x(t)，展开成展开成复指数函数复指数函数的无穷级数形式：的无穷级数形式：周期信号复指数形式的FS展开)0( ,212122nAbaCCnnnnn,2, 1 ,0)
21、()(000nenXeCtxntjnntjnn1000)sincos(2)(nnntnbtnaatx2cos000tjntjneetnjeetntjntjn2sin000注意是注意是An /223:2031周期矩形脉冲信号的FS展开q求周期矩形脉冲信号复指数形式的求周期矩形脉冲信号复指数形式的FS表示式表示式23:2032周期矩形脉冲信号的FS展开q设脉冲信号设脉冲信号E=10伏，伏，T0=1秒，秒， 0=0.2秒秒三角形式表示式三角形式表示式23:2033周期锯齿波信号的FS表示式q求周期锯齿波信号的三角形式的求周期锯齿波信号的三角形式的FS表示式表示式q分别求出分别求出a0, an, bn
22、的值的值23:2034周期锯齿波信号的FS表示式q求周期锯齿波信号的三角形式的求周期锯齿波信号的三角形式的FS表示式表示式q把把a0, an, bn的值代入公式得的值代入公式得23:2035周期锯齿波信号的FS表示式q求周期锯齿波信号的三角形式的求周期锯齿波信号的三角形式的FS表示式表示式q设设E= 时时23:2036周期信号的频域分析q 时域分析表明，时域分析表明，一个周期信号可用正弦型信号或复指数信号一个周期信号可用正弦型信号或复指数信号进行精确描述进行精确描述，不同形状的周期信号其区别仅仅在于，不同形状的周期信号其区别仅仅在于基频或基频或基本周期不同基本周期不同，组成成分中的，组成成分中
23、的各谐波分量的幅度和相位各谐波分量的幅度和相位不同不同q 任意波形的周期信号完全可用反映信号频率特性的复系数任意波形的周期信号完全可用反映信号频率特性的复系数X(n 0)来描述来描述 x(t)X(n 0)q 反映周期信号全貌特征的三个参数，反映周期信号全貌特征的三个参数，基频，各谐波分量的幅基频，各谐波分量的幅度和相位度和相位, 2 , 1 , 0)()(000nenXeCtxntjnntjnn)(0n相位谱)(0nX幅值谱2nC功率谱ZndtetxTenXnXCTTtjnnjn22)(00,)(1)()(0023:2037周期矩形脉冲信号的频谱23:2038周期锯齿波信号的频谱23:2039
24、周期锯齿波信号的频谱23:2040复指数信号的频谱q复指数信号复指数信号ej 0t，按定义按定义q频谱图如下频谱图如下101111)(2/2/)(02/2/0000000000nndteTdteeTnXTTtnjtjnTTtje23:2041正弦型信号的频谱q频谱图如下频谱图如下余弦信号频谱图余弦信号频谱图正弦信号频谱图正弦信号频谱图余弦信号余弦信号cos 0t正弦信号正弦信号sin 0t23:2042复杂周期信号频谱时域波形时域波形频谱图频谱图ttttx3cossin2cos1)(23:2043实例：周期信号FS展开23:2044周期信号傅里叶频谱特点q周期信号的傅里叶频谱特点：周期信号的傅
25、里叶频谱特点： 谐波性：谐波性：仅在一些离散频率点，基频及其谐波仅在一些离散频率点，基频及其谐波(n 0)上有上有值，各次谐波频率比为有理数。具有非周期性的离散频谱。值，各次谐波频率比为有理数。具有非周期性的离散频谱。 离散性：离散性：各次谐波在频率轴上取离散值，离散间隔为：各次谐波在频率轴上取离散值，离散间隔为： 0=2 / T 收敛性：收敛性：各次谐波分量随频率增加而衰减。各次谐波分量随频率增加而衰减。 Cn是双边谱是双边谱，正负频率的频谱幅度相加才是实际幅度。，正负频率的频谱幅度相加才是实际幅度。 信号的功率为信号的功率为nnC223:2045小结：连续周期信号FS展开2/2/00)(1
26、)(TTtjkdtetxTjkXktjkejkXtx0)()(00tT)(tx-0)(0jkXT20时域信号时域信号 频域信号频域信号连续的连续的周期的周期的非周期的非周期的离散的离散的正：正：反：反：23:2046FS的基本性质q 1、线性性质，合成信号有共同的周期，符合线性叠加性质、线性性质，合成信号有共同的周期，符合线性叠加性质23:2047求梯形信号的频谱q1、首先梯形信号时域分解、首先梯形信号时域分解)()()(21txtxtx23:2048求梯形信号的频谱q2、三角形周期信号的频谱函数、三角形周期信号的频谱函数q3、三角形周期信号的频谱函数、三角形周期信号的频谱函数 q4、根据线性
27、性质求梯形信号频谱函数、根据线性性质求梯形信号频谱函数 )21()(02001nSaTAnX221)2 .221(42)(2201nSanSanX441)(202nSanX441221)()()(2202010nSanSanXnXnXA为三角形高度，为三角形高度，2为底为底宽宽23:2049FS的基本性质q 2、时移性质、时移性质 若若 则则 可证明：周期信号在时域右移可证明：周期信号在时域右移t0，幅度频谱保持与移位前一样，幅度频谱保持与移位前一样，相位频谱变化相位频谱变化 -n 0t0 同理，同理，周期信号在时域左移周期信号在时域左移t0，幅度频谱保持与移位前一样，幅度频谱保持与移位前一样
28、，相位频谱变化相位频谱变化 +n 0t0)()(0nXtx)()(0000nXettxtjn23:2050矩形脉冲信号右移的离散频谱q求矩形脉冲信号右移求矩形脉冲信号右移 /2的离散频谱的离散频谱 移位前的离散频谱移位前的离散频谱 右移右移 /2的频谱函数的频谱函数 幅值频谱幅值频谱23:2051矩形脉冲信号右移的离散频谱q求矩形脉冲信号右移求矩形脉冲信号右移 /2的离散频谱的离散频谱 相位频谱相位频谱幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱23:2052FS的基本性质q3、对称性质、对称性质 包括频谱的对称性以及波形的对称性对频谱的影响包括频谱的对称性以及波形的对称性对频谱的影响q(1)信号为实函数
29、信号为实函数 已知已知 当周期信号为实函数，相应的幅度频谱对当周期信号为实函数，相应的幅度频谱对n 0是偶对称，是偶对称，相位频谱对相位频谱对n 0是奇对称，只需计算单边频谱是奇对称，只需计算单边频谱23:2053FS的基本性质q(2)信号为实偶函数信号为实偶函数(偶对称偶对称)，信号绕纵轴翻转后与原，信号绕纵轴翻转后与原波形一样波形一样 当周期信号为实偶函数，其当周期信号为实偶函数，其FS展开式只含有直流分量展开式只含有直流分量与余弦项，不存在正弦项与余弦项，不存在正弦项23:2054FS的基本性质q(3)信号为实奇函数信号为实奇函数(奇对称奇对称)，信号绕纵轴翻转后再绕，信号绕纵轴翻转后再
30、绕横轴翻转与原始波形一样横轴翻转与原始波形一样q 当周期信号为实奇函数，其当周期信号为实奇函数，其FS展开式只含有正弦项，不存在展开式只含有正弦项，不存在直流分量与余弦项。直流分量与余弦项。23:2055FS的基本性质q(4)半周期对称半周期对称 1)半周期偶对称半周期偶对称(半周期重叠半周期重叠)，将信号沿时间轴前后平移，将信号沿时间轴前后平移半周期等于原信号半周期等于原信号 其其FS展开式除直流分量外，只含有偶次谐波，而且是余弦分量。展开式除直流分量外，只含有偶次谐波，而且是余弦分量。 2)半周期奇对称半周期奇对称(半周期镜像半周期镜像)，将信号沿时间轴前后平移，将信号沿时间轴前后平移半周
31、期等于原信号的镜像半周期等于原信号的镜像 其其FS展开式只含有奇次谐波。展开式只含有奇次谐波。23:2056FS的基本性质 3)双重对称双重对称 若信号除了具有半周期镜像对称外，同时还是时间的偶函若信号除了具有半周期镜像对称外，同时还是时间的偶函数或奇函数，则数或奇函数，则FS展开式前者只有余弦奇次谐波，后者只展开式前者只有余弦奇次谐波，后者只有正弦奇次谐波有正弦奇次谐波23:2057FS的基本性质23:2058FS的基本性质23:2059第二次作业q已知信号已知信号x1(t)(图图(a)的频谱为的频谱为X1(n 0)，试写出图，试写出图(b)、(c)、(d)中信号的频谱中信号的频谱23:20
32、60第二次作业答案23:2061周期信号的频谱谱线的周期信号的频谱谱线的间隔为为T2022)(1)(0TTdtetxTnCCtjnn周期信号的频谱谱线的周期信号的频谱谱线的长度为为非周期信号-FT周期周期T T0 0增加对离散频谱的影响增加对离散频谱的影响23:2062非周期信号的时域表示q利用冲激信号表示非周期信号利用冲激信号表示非周期信号非周期信号表示为冲激信号的叠加非周期信号表示为冲激信号的叠加当当 0，则则k ， d ，求和变成积分求和变成积分上式表明，任何一个非周期信号可由一系列不同强度上式表明，任何一个非周期信号可由一系列不同强度x( )d ，作，作用于不同时刻的冲激信号的线性组合
33、来表示。用于不同时刻的冲激信号的线性组合来表示。dttxtx)()()()()()(ktkxtxk)()( ,)()(lim)(0tutdttdutt23:2063非周期信号的时域分析q利用阶跃信号表示利用阶跃信号表示非周期信号非周期信号非周期信号表示为非周期信号表示为阶跃信号阶跃信号的叠加的叠加当当 0，则则k ， d ，求和变成积分求和变成积分上 式 表 明 ， 任 何 一 个 非 周 期 信 号 可 由 一 系 列 不 同 幅 度上 式 表 明 ， 任 何 一 个 非 周 期 信 号 可 由 一 系 列 不 同 幅 度x( )d =dx( )，作用于不同时刻的阶跃信号的线性组合来表示。，
34、作用于不同时刻的阶跃信号的线性组合来表示。23:2064非周期信号可以看成是周期T 趋于无限大的周期信号非周期信号的谱线间隔趋于无限小，变成了连续频谱；谱线的长非周期信号的谱线间隔趋于无限小，变成了连续频谱；谱线的长度趋于零。度趋于零。22)(lim)(lim)(0TTdtetxTnCCtjnTT解决方法dtetxCtjn)()(FT变换非周期信号-FT22)()(0TTdtetxTnCtjn上式为连续时间信号的傅里叶变换(CTFT)。时域时域频域频域C()频谱密度函数22)(1)(0TTdtetxTnCCtjnn23:2065频谱离散函数与频谱密度函数dtetxXnTXnXtjTT)()()
35、(lim)(2lim000频谱离散函数频谱离散函数与与频谱密度函数频谱密度函数的关系的关系周期信号的周期信号的FS展开式为展开式为 频域频域时域时域, 2 , 1 , 0,)(21lim)()(000neXenXtxntjnTntjn当当T，则则n 0 ， d ，求和变成积分：，求和变成积分：deXtxtj)(21)(ZndtetxTenXnXCTTtjnnjn22)(00,)(1)()(00频谱离散函数频谱离散函数频谱密度函数频谱密度函数23:2066非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换dtetxXtj)()(deXtxtj)(21)(变换
36、核变换核时域 频域频域 时域ICTFT：一个非周期信号是由频率为无限密集，幅度X()(d/2)等于无限小，无限多的复指数信号ejt的线性组合而成。CTFT：周期信号是离散频谱，表示的是每个谐波分量的复振幅。非周期信号的频谱是连续的频谱，表示的是每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅。X()是概率密度函数，是个复量。)(相位谱)(X幅值谱23:2067非周期信号的傅里叶变换是一对线性变换，它们之间存在一非周期信号的傅里叶变换是一对线性变换，它们之间存在一对一的关系对一的关系唯一性：唯一性：如果两个函数的如果两个函数的FTFT或或IFTIFT相等，则这两个函数必然相等。相等，则这两个函数必然相等。可
37、逆性：可逆性：如果如果 ，则必有，则必有 ， 反之亦然。反之亦然。)()(XtxX)()(1txXFFT存在的条件：满足下列狄里赫利条件1、充分充分条件：时域信号绝对可积，2、在任意有限区间内，信号x(t)只有有限个最大值和最小值3、在任意有限区间内，信号x(t)仅有有限个不连续点，而且在这些点都必须是有限值非周期信号FTdttx )(23:20682)(SaEX2)(SaEX例：典型非周期信号FT-矩形脉冲,/2( )0,/2Etx tt -/2 0 /2 tf (t)=)(tEGE(a)X()E=矩形脉冲面积 0 2 4 6 (b)()2 / 4 / 0(c)相位谱相位谱( (实函数实函数
38、) )42(21)0,( )0( )2(21)4(1),( )0kkXkkX 23:2069矩形脉冲信号矩形脉冲信号FTFT的特点：的特点：FTFT为为SaSa函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积FTFT的过零点位置为的过零点位置为)0(/2kk频域的能量集中在第一个过零点区间频域的能量集中在第一个过零点区间/2 ,/2带宽只与脉宽有关，与脉高带宽只与脉宽有关，与脉高E E 无关。带宽为无关。带宽为/2B信号等效脉宽信号等效带宽)0(/ )0(fF)0(/ )0(FfBf例：典型非周期信号FT-矩形脉冲 -/2 0 /2 tf (t)=)(tEGE(a)X(
39、)E 0 2 4 6 (b)脉宽越窄，信号变化越大，信号传输速度快、信息量大，讯道所占用脉宽越窄，信号变化越大，信号传输速度快、信息量大，讯道所占用的频带也越宽的频带也越宽23:2070例：典型非周期信号FT-矩形脉冲q如果将周期矩形信号的离散频谱按如果将周期矩形信号的离散频谱按T0X(n 0)作图，则作图，则q 当当T0，T0X(n 0)的图形与周期性的图形与周期性离散频谱的包络线完全一致，就为离散频谱的包络线完全一致，就为X( )q 若将有限长非周期信号看作周期信若将有限长非周期信号看作周期信号的一个周期进行延拓，则周期信号的一个周期进行延拓，则周期信号的离散频谱号的离散频谱T0X(n 0
40、)可以通过非周可以通过非周期信号的频谱密度期信号的频谱密度X( )，每隔，每隔 0进进行取样而得。即行取样而得。即T0X(n 0)= X( ) =n 0，T0越大，越大， 0越小，取样间隔也越小，越小，取样间隔也越小，谱线越密集谱线越密集23:2071单边指数信号：单边指数信号：)0( )()(atuetfatjaF1)(221)(aF() aarctgajaArgFArg22)()( |F()| 1/a () /2 -/2 0 0 t 0 1 f (t) (a) (b) (c) a -a 21a例：典型非周期信号FT-单边指数23:2072双边实指数衰减信号：双边实指数衰减信号：)0()(a
41、etfta222)(aaF222)(aaF0)( (实偶函数实偶函数) ) F() 2/a 0 t 0 1 f (t) (a) (b) a -a a1a -a 例：典型非周期信号FT-双边实指数23:2073直流信号：直流信号：0,0, 02limlim. 1 lim)(22000aadteeeFFatjtaataa功率信号的FT-直流信号),(, 1)(ttx功率信号，不满足可积条件，可借助广义函数理论，利用广义FT，通过求极限的方法求信号的频谱密度函数上式说明在上式说明在 =0处存在处存在 ( )，其冲激强度为其冲激强度为：222122atgdaa单位直流信号及其频谱单位直流信号及其频谱2
42、3:2074符号函数：双边直流信号，不满足绝对可积条件，但存在双边直流信号，不满足绝对可积条件，但存在FTFT。jdtetSgnFtj2)()(2)(F0, 2/0, 2/)( |F()|-a a (b)Sgn(t)1 0 t-1 (a)功率信号的FT-符号函数功率信号，不满足可积条件，可借助广义函数理论，利用广义FT，通过求极限的方法求信号的频谱密度函数; 0, 1; 0, 0; 0, 1)sgn(tttt23:2075冲激信号：冲激信号：EEedtetEtEFjtj0)()(强度为强度为E E 的冲激函数的频谱是的冲激函数的频谱是均匀谱均匀谱，白色频谱白色频谱。密度就是冲激的强度。密度就是
43、冲激的强度。频谱在任何频频谱在任何频率处的密度都率处的密度都是均匀的是均匀的2)(1EEF单位冲激信号与直流信号的频谱单位冲激信号与直流信号的频谱例：功率信号的FT-冲激信号23:2076阶跃信号：不满足绝对可积条件，但存在FT。jF1)()(原点处的冲激原点处的冲激来自来自u(tu(t) )中的中的直流分量直流分量 |F()| () 0 u(t) 1 0 t例：功率信号的FT-阶跃信号23:2077一般周期信号x(t)的FT，其基频为0ntjnenXtx0)()(0)(200tjneF则则周期信号的FT-推导周期信号可分解为幅度为周期信号可分解为幅度为X(n 0)的无限复指数信号的线性组合，
44、的无限复指数信号的线性组合，它的频谱密度等于强度为它的频谱密度等于强度为2 X(n 0) ，周期为，周期为 0的一系列冲激串的一系列冲激串 ( -n 0)的线性组合的线性组合.已知已知故故nnnXX)()(2)(0023:2078周期信号的FT-推导1周期信号的傅里叶级数的系数周期信号的傅里叶级数的系数Cn等于该周期信号单个脉等于该周期信号单个脉冲的傅里叶变换冲的傅里叶变换X( )在在n 0频率点的值频率点的值X(n 0)乘以乘以1/T0。可利用周期信号单个脉冲的傅里叶变换方便求出周期性可利用周期信号单个脉冲的傅里叶变换方便求出周期性信号的傅里叶级数的系数。信号的傅里叶级数的系数。)(1)(2
45、0000nXTnXCnnnnXX)()(2)(0023:2079一般周期信号的FT设周期为设周期为T T1 1的周期信号在第一个周期内的函数为的周期信号在第一个周期内的函数为f f0 0(t)(t)nnTtftf)()(10nnTttf)(*)(10nnTttf)()(10)()(10ttfT则则于是于是nTonFtFtfFF)()()()()(1101nnnF)()(1101FTf0(t)利用脉冲函数的筛利用脉冲函数的筛选特性选特性周期信号的FT-推导2利用冲激函数的利用冲激函数的卷积特性卷积特性周期信号可分解为幅度为周期信号可分解为幅度为F0(n 1)的无限复指数信号的线性组合，它的频谱密
46、的无限复指数信号的线性组合，它的频谱密度等于强度为度等于强度为 1F0(n 1) ，周期为，周期为 1的一系列冲激串的一系列冲激串 ( -n 1)的线性组合的线性组合.23:2080周期信号的FT-推导2周期信号的傅里叶级数的系数周期信号的傅里叶级数的系数Fn等于该周期信号单个脉冲的等于该周期信号单个脉冲的傅里叶变换傅里叶变换F0( )在在n 1频率点的值频率点的值F0(n 1)乘以乘以1/T1。可利用周期信号单个脉冲的傅里叶变换方便求出周期性信号可利用周期信号单个脉冲的傅里叶变换方便求出周期性信号的傅里叶级数的系数。的傅里叶级数的系数。)(1)(2101101nFTnFFnnnFF)()()
47、(11023:2081复习：单位冲激信号积分特性00( ) ( )(0)( ) ()()f ttff tttf t；2）单位冲激信号积分特性单位冲激信号积分特性（筛选）（筛选）)()()()()(000ttfdttftttf3）卷积特性卷积特性f ttftdf t( ) *( )( ) ()( ) 23:2082例：周期单位冲激序列例：周期单位冲激序列求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。解：画波形解：画波形, ,冲激信号的频谱为冲激信号的频谱为: : nTnTtt)()(1单位冲激函数的间隔为单位冲激函数的间隔为T1，用符号，用符号 T(t)
48、表示周期单表示周期单位冲激序列：位冲激序列：0)(F10t)(t1FT23:2083例：周期单位冲激序列可见，在周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位于可见，在周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位于 =0，1， 2 1， n 1， 的频率分量，且分量大小相等，均的频率分量，且分量大小相等，均等于等于1/T1。ntjnnTeFt1)( T(t)是周期函数，周期为是周期函数，周期为T1 ，求其傅里叶级数：，求其傅里叶级数：12211)(111TdtetfTFTTtjnntjnTeTt111)(0t)(tT11T1T 0nF11T111212FS23:2084周期单位冲激序列FT求求 T(t)的傅
49、里叶变换的傅里叶变换nnFTTnFt)(2)(111TFn 又nFTTnt)()(11可见，在周期单位冲激序列的傅里叶变换中只包含位于可见，在周期单位冲激序列的傅里叶变换中只包含位于 =0,1, 2 1, n 1, 频率处的冲激函数，其强度大小频率处的冲激函数，其强度大小相等，均等于相等，均等于 1 。0t)(tT11T1T 0)(F1111212FT23:2085nsssnFTF)(1)(信号理想抽样前后频谱的变化信号理想抽样前后频谱的变化f (t)F ()0t(a) -c 0 c)(tTs)(ss(1)(s) -Ts Tst(b)s0s fs (t)Fs()F(0)/Ts -Ts Tst(
50、c) -s -c 0 -c s -Ts Tst(d) -s -c 0 c s 抽样间隔发生变化抽样信号的FT23:2086按间隔按间隔Ts进行冲激串抽样后信号的傅里叶变换，是周进行冲激串抽样后信号的傅里叶变换，是周期函数，是原函数傅里叶变换的期函数，是原函数傅里叶变换的Ts分之一按周期分之一按周期2 /Ts所进行的周期延拓。所进行的周期延拓。f (t)F ()0t -c 0 c fs (t)Fs()F(0)/Ts -Ts Tst -s -c 0 c s 结论结论1： 时域时域时域离散时域离散频域频域周期周期结论结论2：抽样信号的FT23:2087周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号的FT0)(tf
