数字信号课件：数字信号习题3.ppt

1、第三章习题讲解第三章习题讲解1,04( )0,nnx nn其他3设 4( )(2)h nR n令 ， ，6( )( )x nx n6( )( )h nh n试求 与 的周期卷积并作图。 ( )x n( )h n解：10( )( ) ()Nmy nx m h nm1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 01 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 11 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 10 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 10 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 00 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 11 2 1 2

2、3 4 5 0 3 4 5 06 7 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1n m/x n mhm1hm2hm3hm4hm5hm/h n m14 12 10 8 6 10 ( )y n4. 已知 如图P3-4（a）所示，为 ，试画出 ， ， ， ， ， 等各序列。 1,1,3,2( )x n5()xn66()( )xnR n33( )( )x nR n6( )x n55(3)( )x nR n77( )( )x nR n5()xn6( )x n66()( )xnR n55(3)( )x nR n33( )( )x nR n77( )( )x nR n5. 试求以下有限长序列的 点 （闭

3、合形式表达式）：NDFT0( )cos()( )Nx nan Rn(1) 10( )( )( )NnkNNnX kx n WRk解：002101()( )2NjnkjnjnNNnaeeeRk2100cos()( )NjnkNNnan eRk002211()()001( )2NNjknjknNNNnnaeeRk000022()()111( )211jNjNNjkjkNNeeaRkee0000002221 21 21 2()()()2221()2()NNNjjjjkjkjkNNNeeeaeee0000002221 21 21 2()()()222()( )()NNNjjjNjkjkjkNNNeee

4、Rkeee0000112200sin()sin()122( )112sin()sin()22NNjkjjkjNNNNNaeeRkkkNN210( )NjnknNNna eRk(2) ( )( )nNx na Rn10( )( )( )NnkNNnX kx n WRk解：21( )1NNjkNaRkae210( )nNjkNNnaeRk210( )( )NjnkNNnx n eRk2100()( )NjnkNNnnn eRk02( )jn kNNeRk(3) 0( )()x nnn00nN10( )( )( )NnkNNnX kx n WRk解：1( 2/)01()()NjNn kkx nXke

5、N6. 如图P3-6（a）画出了几个周期序列 ，这些序列可以表示成傅里叶级数 ()x n（1）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的 成为实数？ ( )X k（2）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的 （除 外）成为虚数？( )X k(0)X（3）哪些序列能做到 ，( )0X k 2, 4, 6,.k 为共轭对称序列，即满足实部偶对称，虚部奇对称（以 为轴）。( )x n0n 即 是以 为对称轴的偶对称( )x n0n 解:（1）要使 为实数，根据DFT的性质:( )X k( )( )Re( )ex nx nX k( )0Im( )0ox njX k( )x n( )x n( )()x nxn又

6、由图知， 为实序列，虚部为零，故 应满足偶对称： 故第二个序列满足这个条件 为共轭反对称序列，即满足实部奇对称，虚部偶对称（以 为轴）。( )x n0n 即 是以 对称轴的奇对称( )x n0n （2）要使 为虚数，根据DFT的性质:( )X k( )0Re( )0ex nX k( )( )Im( )ox nx njX k( )x n( )x n( )()x nxn 又由图知， 为实序列，虚部为零，故 应满足奇对称： 故这三个序列都不满足这个条件（3）由于是8点周期序列，其DFS:238104411( 1)( )11j kkjnkjkjkneX keee 当 时， 2, 4, 6,.k 1(

7、)0X k 序列2:32442041( )1jkjnkjkneXkee217800( )( )( )NjnknkNnnX kx n Wx n e序列1:当 时， 2, 4, 6,.k 1( )0X k 序列3:311( )( )(4)x nx nx n根据序列移位性质可知31141( 1)X ( )X ( )X ( )(1)1kj kj kjkkkekee 当 时， 2, 4, 6,.k 3( )0X k 综上所得，第一个和第三个序列满足 ( )0X k 2, 4,.k 8. 下图表示一个5点序列 。( )x n（1）试画出 ； ( )( )x nx n（2）试画出 ； ( )x n( )x

8、n（3）试画出 ； ( )x n( )x n( )( )x nx n ( )x n( )x n ( )x n( )x n9. 设有两个序列( ),05( )0,x nnx nn其他( ),014( )0,y nny nn其他 各作15点的DFT，然后将两个DFT相乘，再求乘积的IDFT，设所得结果为 ，问 的哪些点（用序号 表示）对应于 应该得到的点。( )f n( )f nn( )( )x ny n解: 序列 的点数为 ， 的点数为 ，故 的点数应为( )x n16N ( )y n215N ( )( )x ny n12120NNN 0n 4(1)nNL019(1)N ( )f n( )x n

9、( )y n又 为 与 的15点的圆周卷积，即L15。是线性卷积以15为周期周期延拓后取主值序列混叠点数为NL20155( )f n5n 14n ( )( )x ny n故 中只有 到 的点对应于 应该得到的点。154(1)LN()L1534(1)LN( )L10. 已知两个有限长序列为1,03( )0,46nnx nn1,04( )1,56ny nn试用作图表示 ， 以及 。( )x n( )y n( )( )f nx n( )y n-3 -2 -10 1 2 3 4 5 67 81 2 3 4 0 0 0-1 -1 -1 -1 -1 1 1-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1

10、-1 -1-1 -1 -1-1 1 1 -1 -1 -1 -1-1 1-1 1 1 -1 -1 -1 -1-1 -1 1 1 -1 -1 -1-1 -1 -1 1 1 -1 -1-1 -1 -1 -1 1 1 -1-1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1n m/x n m/y n m 77ymRn 771ymRn 772ymRn 773ymRn 774ymRn 775ymRn7ym 7ym 776ymRn0 4 -2 -10 -10 -8 ( )f n-4 11.已知 是N点有限长序列， 。现将长度变成rN点的有限长序列(

11、 )x n( )( )X kDFT x n( )y n( ),01( )0,1x nnNy nNnrN试求rN点 与 的关系。( )DFT y n( )X k解：由210( ) ( )( ),01NjnkNnX kDFT x nx n ekN得10( ) ( )( )rNnkrNnY kDFT y ny n W210( )kNjnNrnx n e10( )NnkrNnx n W, 0,1,.,1klr lNkXr210( )NjnkrNnx n e 在一个周期内，Y (k)的抽样点数是X (k)的r倍( Y (k)的周期为Nr)，相当于在X (k)的每两个值之间插入r-1个其他值（不一定为零）

12、，而当k为r的整数l倍时，Y (k)与X (k / r)相等。相当于频域插值210( )( ) 01NjnkNnX kx n ekN, 0,1,.,1klr lN( )kY kXr12. 已知 是N点的有限长序列， ，现将 的每两点之间补进 个零值点，得到一个rN点的有限长序列 ( )x n( ) ( )X kDFT x n( )x n1r ( )y n(),0,1,.,1( )0,x n rnir iNy nn其他试求rN点 与 的关系。 ( )DFT y n( )X k解：由10( ) ( )( ),01NnkNnX kDFT x nx n WkN10( ) ( )( )rNnkrNnY

13、kDFT y ny n W得10()NirkrNix ir r W01krN10( )NikNix i W故( )( )( )NrNY kXkRk 离散时域每两点间插入 r -1个零值点，相当于频域以N为周期延拓r次，即Y(k)周期为rN。10( )( ) 01NnkNnX kx n WkN01krN10( )( )NikNiY kx i W14.设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力 ，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms，试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理的信号的最高频率；（3）在一个记录中的最少点数。10Hz解:（1

14、）因为 ，而 ，所以001TF010FHz0110Ts即最小记录长度为0.1s。（2）因为 ，而31110100.1sfkHzT2shff152hsffkHz即允许处理的信号的最高频率为 。5kHz 又因N必须为2的整数幂，所以一个记录中的最少点数为 300.13 1010000.1TNT（ ）1021024N 19. 复数有限长序列 是由两个实有限长序列 和 组成的，且已知 有以下两种表达式： f n x n 01y nnN f nx njy n F kDFTf n 11111NNkkNNabF kjaWbW 21F kjN 其中 为实数。试用 求, a b F k ,X kDFT x n

15、,Y kDFT y n ,x n y n 111 11NNkkNNabF kjaWbW ( ) ( ) ( )( )F kDFT f nDFT x njy n解：由DFT的线性性 ( ) ( )DFT x njDFT y n( )( )X kjY k( ) ( )Re ( )X kDFT x nDFTf n( )epFk*1( )()( )2NNF kFNkRk由共轭对称性得*11111( )2 1111NNNNNkkN kN kNNNNababjjRkaWbWaWbW*11111( )2 1111NNNNNkkkkNNNNababjjRkaWbWa Wb W*1( )( )()( )2NNX

16、 kF kFNkRk1( )1NNkNaRkaW10( )NnknNNna WRk1( )1NkNNkNaWRkaW( )( )nNx na Rn( ) ( )Im ( )Y kDFT y nDFTf n1( )opFkj*1( )()( )2NNF kFNkRkj*11111( )21111NNNNNkkN kN kNNNNababjjRkjaWbWaWbW*11111( )21111NNNNNkkkkNNNNababjjRkjaWbWa Wb W1( )1NNkNbRkbW10( )NnknNNnb WRk1( )1NkNNkNbWRkbW( )( )nNy nb Rn*111( )2Nj

17、NjNRk111( )2NjNjN Rk ( )NRk( )( )x nn( ) ( )Re ( )X kDFT x nDFTf n( )epFk*1( )()( )2NNF kFNkRk 21F kjN *111( )2NjNjNRkj111( )2NjNjN Rkj ( )NNRk( )( )y nNn( ) ( )Im ( )Y kDFT y nDFTf n1( )opFkj*1( )()( )2NNF kFNkRk20. 已知序列 现对于x(n) 的 变换在单位圆上 等分抽样，抽样值为 试求有限长序列 , 点。 IDFT X k ,01,nx na u nazN 2jkkNNz WeX

18、 kX zN( )( ), 01nx na u na解：由101( )( )1nnX zx n zaz得11( )( )1kNkNz Wz WX kX zaz11kNaW1111NNkNNkNa WaaW1011NnkNNnaWa1011NnnkNNna Wa1( )( )1nNNIDFT X ka Rna ( )()( )kNnkNz WnX kNWznXX zx对在单位圆上 点等间隔抽样，得周期序列：( )X kIDFS的：( )()Nrxnx nrN( )( )( )NNX kX k Rk点 ( )( )x nIDFT X k1( )1nNNa Rna( )( )NNxn Rn ()(

19、)n rNNrau nrN Rn0( )n rNNraRn0( )rnNNraaRn26. 研究一个离散时间序列 ，由 形成两个新序列 和 ，其中 相当于以抽样周期为2对 抽样而得到，而 则是以2对 进行抽取而得到，即 x n x n pxn dxn pxn x n dxn x n , 0, 2, 4,0, 1, 3,px nnxnn 2dxnxn(a)若 如图P326 (a)所示，画出 和 。 x n pxn dxn(b) 如图P326 (b)所示， 画出 及 jX eDTFT x n jppXeDTFT xn jddXeDTFT xn()jX e , 0, 2, 4,0, 1, 3,px nnxnn 2dxnxn1()01()()sDjkjpkXeX eD()()jjDdpXeXe()jX e3454223454223232()jdXe2342()jpXe34