1、7 几类重要的随机过程几类重要的随机过程之前按照参数和状态对随机过程进行了简单的分类之前按照参数和状态对随机过程进行了简单的分类.随机过程可以按照不同的标准进行分类随机过程可以按照不同的标准进行分类.本讲按照随机过程所具有的一些性质本讲按照随机过程所具有的一些性质,介绍几类重要介绍几类重要的随机过程的随机过程: 二阶矩过程二阶矩过程 正态过程正态过程 正交增量过程正交增量过程 独立增量过程独立增量过程 Wiener过程过程 Poisson过程过程1.二阶矩过程二阶矩过程定义定义若若S.P.X(t),tTS.P.X(t),tT的一、二阶矩存在，的一、二阶矩存在， 则称则称. .X(t),tT.X
2、(t),tT是是二阶矩过程二阶矩过程注注 二阶矩过程的均值函数与相关函数一定存在二阶矩过程的均值函数与相关函数一定存在可利用均值函数和相关函数讨论二阶矩阵过程可利用均值函数和相关函数讨论二阶矩阵过程的性质的性质.(下章内容下章内容)二阶矩过程的相关函数具有以下性质二阶矩过程的相关函数具有以下性质 定理定理 设设X(t),tTX(t),tT是二阶矩过程是二阶矩过程, ,则相关函数则相关函数R RX X(s,t)(s,t)有有 (1)(1)共轭对称性共轭对称性 R RX X(s,t)=R(s,t)=RX X(t,s)(t,s) (2)非负定性非负定性 对任意对任意 t1,t2,tnT,T,任意复数
3、任意复数 1 ,2, n有有0),(11lklnknlkXttR证明证明(1) RX(s,t)=EX(s)X(t)=EX(s)X(t)= RX(t,s)(2) lklnknlkXttR),(11lklnknlktt)X()(XE11_)X()(XE11_llnknlkktt)X( )X(E11_llnknlkktt)X()()X(E(11_lnknllkkttnlllnkkktt1_1)X()X(E0)(XE21nkkkt2.正态过程正态过程补充补充:n维正态随机变量分布及性质维正态随机变量分布及性质11()()21221( )(2 )( , )T12nn12xBxnX =(X ,X ,.,X
4、 )nfeBX =(X ,X ,.,X )BnNBx定义 设是 维随机变量，如果其联合概率密度函数为则称服从均值向量为 ，协方差矩阵为 的是 维正态分布.记X)( , ).12nnkkkk=1X ,X ,.,XNBYl Xl定理 设X=(则（1） =服从一维正态分布是常数2).Xm mnm（ ） 的（个分量服从 维正态分布3)mNC BCTn m（ ）Y=XC(C),服从 维正态分布 ( C, 正态过程定义正态过程定义 设设X(t),tT是是S.P. ,若对任意的若对任意的n1 及及t1,t2,tnTT, X(t1), X(t2), , X(tn),是是n维正态随机变量维正态随机变量, 则称则
5、称S.P.X(t),tT为为正态过程正态过程或或高斯过程高斯过程注意注意(1) 若若X(t),tT是一族正态随机变量是一族正态随机变量, 但但X(t),tT不一定是正态过程不一定是正态过程. (2) 正态过程的有限维分布由其均值函数正态过程的有限维分布由其均值函数 与相关函数完全确定与相关函数完全确定.(3) 正态过程是二阶矩过程正态过程是二阶矩过程.举例举例独立的独立的r.v.，且都服从正态分布，且都服从正态分布N(0,2 2),),是常数是常数设设S.P.( )cossin,X tAtBt tR试证明试证明 该过程是正态过程，并求它的有限维分布该过程是正态过程，并求它的有限维分布,其中其中
6、A,B为相互为相互3.正交增量过程正交增量过程定义定义 设设X(t),tT是二阶矩过程，若对任意的是二阶矩过程，若对任意的 t1t2 t3 t4TT 都有都有0)(X)(X)()(X)X(E34_12tttt则称则称S.P. X(t),tT是一是一正交增量过程正交增量过程.注注: 这里这里 =EXY可视为内积可视为内积 若若T取为有限区间取为有限区间a,b,对对astb ( )( )( )( )0E X sX aX tX s 特别的，当特别的，当X(a)=0时，有时，有( )( )( )0E X sX tX s 定理定理 设设X(t),ta,ba,b是正交增量过程是正交增量过程, 且且X(a)
7、=0,则则(2) X X(t)(t)是单调不减函数是单调不减函数),(min(),(tstsRXX,bats)()(),(min(),(min(),(2tmsmtsmtsDtsCXXXXX(1),bats4 独立增量过程独立增量过程设设X(t),tTT是一是是一是S.P. 如果对如果对3n 12,ntttT 21321( )( ),( )( ),( )()nnX tX tX tX tX tX t是相互独立的随机变量，则称是相互独立的随机变量，则称X(t),tT是是独立增量过程独立增量过程以及以及有有如果对于任意如果对于任意 stT,T,X(t)-X(s)X(t)-X(s)的分布仅依赖于的分布仅
8、依赖于t-s，而与，而与s, t本身取本身取值无关，则称值无关，则称X(t),tT 为为平稳增量过程平稳增量过程如果如果S.P.X(t),tT既是平稳增量过程，又是既是平稳增量过程，又是独立增量过程，则称独立增量过程，则称X(t),tT 为为平稳的独平稳的独立增量过程立增量过程定理定理 独立增量过程的有限维分布函数由其一独立增量过程的有限维分布函数由其一维分布函数和增量分布函数确定维分布函数和增量分布函数确定 证明思路证明思路 由于随机变量的分布函数与特征函数一一对应由于随机变量的分布函数与特征函数一一对应. 只需证只需证 独立增量过程的有限维独立增量过程的有限维特征函数特征函数由其一维特征由
9、其一维特征 函数和增量特征函数确定函数和增量特征函数确定证明证明,121Ttttnn及对)(,),(),(21ntXtXtXn维随机变量的维随机变量的的特征函数为的特征函数为1212( , ,., ;,.,)nnt tt u uuE)()(11nntXutXuje令令)()(,),()(),(112211nnntXtXYtXtXYtXY则则nnYYYtXYYtXYtX2121211)(,)(,)(代入代入式式由题意知由题意知 Y1,Y2,Yn独立独立1212( , ,., ;,.,)nnt tt u uuE)()(11nntXutXujeE)()(2121211nnYYYuYYuYujeE)(
10、)(232121nnnnYuYuuuYuuujeE232121)()(nnnnYjuYuuujYuuujeeeEEE232121)()(nnnnYjuYuuujYuuujeee由Y1Y2,Yn的独立性)()()(322121nYnYnYuuuuuuun证毕证毕Wiener过程过程 (布朗运动布朗运动)称称实实S.P.W(t),t0是参数为是参数为2 2的的Wiener过程过程,如果如果(1)(0)0W(2)( ),0W t t 是平稳的独立增量过程是平稳的独立增量过程2(3)0,( )( ) (0,()st W tW sNts 补充说明：补充说明：1. 布朗运动描述浸没（或悬浮）在液体或者气体
11、中布朗运动描述浸没（或悬浮）在液体或者气体中微小颗粒的运动，该现象由英国植物学家微小颗粒的运动，该现象由英国植物学家Robert Brown首次发现；首次发现；2. Dr. Einstein与与1905年做出解释：微粒运动是由大年做出解释：微粒运动是由大量分子的连续碰撞造成的；量分子的连续碰撞造成的；3. 自自1918年开始，年开始，Dr. Wiener发表一系列论文对布朗发表一系列论文对布朗运动进行数学描述；运动进行数学描述；4. 布朗运动是量子力学、概率统计、金融证券等研布朗运动是量子力学、概率统计、金融证券等研究中最重要的随机过程：究中最重要的随机过程：例如：上证综合指数受到每笔成交的撞
12、击而上下波动，在短时例如：上证综合指数受到每笔成交的撞击而上下波动，在短时间内不考虑消息面的影响时，可用布朗运动进行近似描述间内不考虑消息面的影响时，可用布朗运动进行近似描述Wiener过程示意图：过程示意图：1. 微粒受空气分微粒受空气分子碰撞引起的布子碰撞引起的布朗运动：朗运动：2. 五个微粒受空五个微粒受空气分子碰撞引起气分子碰撞引起的布朗运动：的布朗运动：定理定理设设 W(t),t0是参数为是参数为2的的Wiener过程过程.则则2(1)0,( ) (0,)tW tNt 22(2)( )0,( ),0,( , )( , )min( , ), , ,0WWWWmtDtttRs tCs t
13、s t s t证明证明(1) 由定义由定义,显然成立显然成立.(2) 由由(1)易知有易知有0,)(, 0)(2tttDtmWW对对s0, 0, t 0,0,不妨设不妨设 st,t,则则)()(E),(tWsWtsRW),min()(E()()(E0)(E)()()(0()(E)()()()(0()(E22222tsssWsWDsWsWsWtWWsWsWsWtWWsW独立性),min(t)(),(),(2tsmsmtsRtsCWWWW定理定理 Wiener过程是正态过程过程是正态过程证明证明 设设 W(t),t0是参数为是参数为2的的Wiener过程过程. 则对任意的则对任意的n1,1,以及任
14、意的以及任意的nttt210W(t1), W(t2), , W(tn)是是n维随机变量维随机变量由由Wiener过程的定义知过程的定义知)()(,),()(),(1121nntWtWtWtWtW相互独立相互独立分布，服从)(0()()(121kkkkttNtWtW所以所以）（)()(,),()(),(1121nntWtWtWtWtW是是n维正态随机变量维正态随机变量.又由于又由于)()(,),()(),(1121nntWtWtWtWtW)(,),(),(21ntWtWtW100100110111所以所以)(,),(),(21ntWtWtW是是n维正态变量维正态变量.所以所以W(t),t0是正态过程是正态过程.作业作业 2.12.1设X(t)=Asin(t+), Y(t)=Bsin(t+), tR, 其中A, B, , 为实常数， 服从U0,2, 求RXY(s,t)作业作业 2.22.2设W(t), t0是参数为2的Wiener过程，求下列过程的协方差函数：(1) W(t) + At, t 0, 其中A为常数；(2) W(t)+ Xt, t 0, 其中X服从N(0,1), 且与W(t)，t 0相互独立下周上课前提交电子版至邮箱:
