1、Poisson过程过程计数过程计数过程 称称实实随机过程随机过程N(t),t0是计数过程，是计数过程，如果如果N(t)表示直到表示直到t时刻为止发生的某随机事时刻为止发生的某随机事件数件数性质性质 N N( (t t) )是非负整数是非负整数 ,( )0t N t0,( )( )st N tN s 0,( )( )st N tN s 表示时间间隔表示时间间隔t-s内发生的随机事件数内发生的随机事件数实例实例1.电话交换台的呼叫次数电话交换台的呼叫次数2.放射性裂变的质点数放射性裂变的质点数3.发生故障而不能工作的机器数发生故障而不能工作的机器数4.通过交通路口的车辆数通过交通路口的车辆数5.来
2、到某服务窗口的顾客数来到某服务窗口的顾客数.以上实例中的呼叫,质点,机器,车辆,顾客等也统一叫做随机点Poisson过程过程定义定义若计数过程若计数过程 N(t),t0 满足满足.(0)0aN.( ),0bN t t 是平稳的独立增量过程是平稳的独立增量过程.0,( )ctN t 服从参数是服从参数是t t 的的Poisson分布分布,即即则称计数过程则称计数过程N(t),t0是参数是参数(强度强度,比率比率)为为 的的Poisson过程过程., 2 , 1 , 0,!)()(kketktNPtk定理定理 设设 N(t),t0 是参数为是参数为 的的Poisson 过程，则过程，则21)( )
3、,0,( ),0,( , )min( , ), , ,0( , )min( , ), , ,0NNNNmtt tDtt tRs tsts t s tCs ts t s t分布的服从参数为对poisson)()()(,0stsNtNts)2证明证明 1) 由定义,显然有. 0,)(,)(tttDttmNN又对s0, t 0,不妨设st,则有)()(E),(tNsNtsRN),min()()(E()()()()E(E)(E)()()(0()(E()()()()(0()(E222222tsstsstssstssNsNDsNtNsNsNsNtNNsNsNsNtNNsN)()(),(),(tmsmtsR
4、tsCNNNN2min( , )min( , )sts tsts t是独立增量是独立增量)()(ksNtNP)0()(kNstNP平稳性平稳性)(kstNP由定义由定义, 2 , 1 , 0,!)()(kkeststkts 0)2 对Poisson过程的等价定义过程的等价定义称计数过程称计数过程 N(t),t0 是参数为是参数为 的的Poisson过程，如果：过程，如果：等价性证明见教材等价性证明见教材page55-56(0)0( ),0()( )1()()( )2()NN t tP N ttN tttP N ttN tt 是平稳的独立增量过程Poisson过程的到达时间与到达时间间隔过程的到
5、达时间与到达时间间隔分布分布设设 N(t),t0 是参数为是参数为 的的Poisson过程，过程，则则N(t)表示时间区间表示时间区间0,t)内到达的随机点数内到达的随机点数.到达时间到达时间(序列序列)i令表示第表示第i个随机点的到达时刻个随机点的到达时刻,则称则称, 2 , 1,nn为Poisson过程的过程的到达时间序列到达时间序列.到达时间间隔到达时间间隔(序列序列)1nnnT令它表示第它表示第n-1个随机点与第个随机点与第n个个随机点的到达时间间隔随机点的到达时间间隔,则称则称, 2 , 1,nTn为为Poisson过程的过程的到达时间间隔到达时间间隔(序列序列)显然有nnTTT21
6、, 2 , 1n1231nn1TnT0t2T关于关于Poisson过程中的这两个序列的概率分布过程中的这两个序列的概率分布,有以下结论有以下结论1nnnT定理定理 (到达时间间隔分布到达时间间隔分布)设设N(t),t0 是参数为是参数为 的的Poisson过程，过程，,1,2,nT n 12,nT TT是其到达时间间隔序列，则是其到达时间间隔序列，则是相互独立同服从参数为是相互独立同服从参数为的指数分布的指数分布证明证明独立性独立性 由于poisson过程是平稳的独立增量过程12,nT TT所以相互独立.下证同分布下证同分布011tTPtFtT）（时，tetNPtTP10)(111022tTP
7、tFtT）（时，12tTPtesNstNPsTtTP10)()(1111112T1,T2的独立性的独立性平稳性平稳性时0t1tTPntnnnnnetNPsssNsstNPsTsTsTtTP10)(10)()(1,112111112211tTPtFnTn）（T1,T2Tn的独立性的独立性平稳性平稳性得证得证定理定理 (到达时间序列分布到达时间序列分布)设设N(t),t0 是是参数为参数为的的Poisson过程过程,则则其到达时间其到达时间,1,2,nn1(),0( )(1)!0,0nnttetftnt服从服从分布分布, ,密度为密度为证明证明的分布函数的分布函数,0时tn0)(tFn时0t)(t
8、PtFnn)(ntNPtn第第n个随机点的个随机点的到达时刻到达时刻tnkkekt!)(再求导数再求导数tnkknkktektkktetfn!)(!)()(1)!1()()!1()(!)(11nteektektnttnkknktk1(),0( )(1)!0,0nnttetftnt所以到达时间序列的密度函数为所以到达时间序列的密度函数为本题目还可以用特征函数证明本题目还可以用特征函数证明,见教材见教材Poisson过程中到达时间的条件分布过程中到达时间的条件分布问题问题: 设设 N(t),t0 是参数为是参数为 的的Poisson过程，过程，如果在如果在0，t)内仅有一个随机点到达内仅有一个随机
9、点到达,是其到是其到达时间达时间, ,则该随机点的到达时间则该随机点的到达时间服从怎样的概服从怎样的概率分布率分布?如果在如果在0，t)内仅有一个随机点到达，则该随内仅有一个随机点到达，则该随机点的到达时间机点的到达时间服从服从0,t上的均匀分布上的均匀分布. 即即tstNsP) 1)(t0事实上事实上,st时时,有有) 1)() 1)(,() 1)(tNPtNsPtNsP0)()(, 1)()(1sNtNsNPtet1)(,)(1tNsPtets1)(1)(stesetestst更一般有以下问题更一般有以下问题设设 N(t),t0 是参数为是参数为 的的Poisson过程过程,如果如果在在0
10、,t)内有内有 n 个随机点到达，则个随机点到达，则 n 个到达时间个到达时间n21服从怎样的概率分布服从怎样的概率分布?定理定理 设设 N(t),t0 是参数为是参数为 的的Poisson过程过程,如如果在果在0,t)内有内有 n 个随机点到达，则个随机点到达，则 n 个到达时个到达时间间和和 n 个相互独立同服从个相互独立同服从0,tn21上的均匀分布的随机变量上的均匀分布的随机变量U1,U2,Un的顺序统的顺序统计量计量 .)()2()1(有相同分布nUUU即即.),(),()()2()1(21具有相同分布与nnUUU证明证明的联合概率密度为由已知),(21nUUU，01),(21nnn
11、tuuuf其它tuuun,021的联合概率密度为所以)()2()1(nUUU，0!),(21)(nnntnuuuf其它tuuun210时，有互不相交，则当且各小区间使得取充分小的个到达时间对tuuunkhuuhuuhhhnnkkkkkkknn2121210), 2 , 1(,)()(),()()(11ntNPntNhuuPntNhuuPkkkknknkkkkk1212()1,()1,()1,()0)( )nnP N hN hN hN thhhP N tnnntnhhthnhhhhhtnneteehehehnn21)(21!/)(121的密度函数为所以),(21n，0!),(21nntnuuup
12、其它tuuun210.),(),()()2()1(21具有相同分布与即nnUUU例例 假设乘客按照参数为假设乘客按照参数为的的Poisson过程来到一个火车站乘坐某次火车，过程来到一个火车站乘坐某次火车，若火车在时刻若火车在时刻t启动，试求在启动，试求在0,t内到内到达火车站的乘客等待时间总和的数学达火车站的乘客等待时间总和的数学期望期望ktkk设是第 个乘客到达火车站的时刻，则其等待时间为解0N(t)t在 ， 内到达火车站的乘客数为( )()N tktk=1等待时间总和为EEY XEY利用全期望公式( )( )E()EE()( )N tN tkkttN tk=1k=10E()( )( )nk
13、ntN tnP N tn k=1011E()( )( )nnknkktN tnP N tn 01E()( )( )nknkntN tnP N tn( )01E()( )nknkntUP N tn( )01E( )nknkntUP N tn01()2!ntntntnten211()2(1)!ntntten22t7.复合复合poisson过程过程定义定义 设 N(t),t0 是参数为 的Poisson过程, Yk.k=1,2,是一列独立同分布的随机变量,且与N(t),t0独立0,)()(1tYtXtNkk令称 X(t),t0为复合Poisson过程.若将若将N(t)表示表示0,t)内的随机点数内的
14、随机点数, Yk表示第表示第k个随机点个随机点所携带的某种所携带的某种(能能)量量,则总量为则总量为)(1)(tNkkYtX即即 X(t),t0为复合为复合Poisson过程过程定理定理 设设 X(t),t0为复合为复合Poisson过程过程.则则 X(t),t0的一维特征函数为的一维特征函数为)1)();(ufteut其中其中f(u)是是Yn(n=1,2,)的特征函数的特征函数 若22E)(,E)(,EnXnXnYttDYttmY则证明证明 由特征函数的定义可得X(t)的特征函数为 EE)()(1)()(tNnnYjutjuXtXeeuf)()(E)(EE01)(1mtNPmtNetNemY
15、juYjumnntNnn)()(E01mtNPemYjumnnYn与N(t)独立Yn独立同分布!/)() )(0metuftmmm)1)(0!/) )(uftmmtemutfe 由于特征函数与矩有关系nkjkkk,EX)0()(则对X(t)的特征函数求导数)1)()()()(ufttXeuf tuf)1)(222)()()()( ufttXeuftuf tuf所以)(E)(tXtmXntXYtjf tjfE/ )0(/ )0()(2)(2/ )0()(EjftXtX 22222222)E(E)/ )0(/ )0(nnYtYtjftjf t 所以222E)(E()(E)(nXYttXtXtD例例
16、1 设移民到某地区定居的户数是一设移民到某地区定居的户数是一Poisson过程，平均每周有过程，平均每周有2户定居，即户定居，即 =2. 如果每户的人口数是随机变量如果每户的人口数是随机变量一户一户4人的概率为人的概率为1/6，一户，一户3人的概率为人的概率为1/3，一户一户2人的概率为人的概率为1/3，一户，一户1人的概率为人的概率为1/6，且每户的人口数是相互独立的，求在五周内且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区的人口数的数学期望和方差移民到该地区的人口数的数学期望和方差643,252nnEYEY3215)5(,25)5(DXEX和和(2)kS中出现第次事件中出现第次事件 设
17、设1( ),0)N t t 2( ),0)N t t 是两个相互独立是两个相互独立的的Poisson过程，它们在单位时间内发生事件过程，它们在单位时间内发生事件的平均数分别为的平均数分别为1和和 .设设(1)kS代表第一过程代表第一过程1( ),0)N t t 中出现第次事件所需的时间，中出现第次事件所需的时间，代表第二过程代表第二过程2( ),0)N t t 所需的时间试求：所需的时间试求：(1)第一过程中出现第一次事件先于第二过第一过程中出现第一次事件先于第二过程出现第一次事件的概率，即程出现第一次事件的概率，即(1)(2)11()P SS(1)(2)1()kP SS(2)作业作业1解题思
18、路解题思路: 考虑两个随机变量的联合密度函数考虑两个随机变量的联合密度函数,再再计算有关的概率计算有关的概率(1)(2)11112()P SS(1)(2)1112()()kkP SS某中子计数器对到达计数器的粒子只是每隔某中子计数器对到达计数器的粒子只是每隔一个记录一次，假设粒子是按照比率一个记录一次，假设粒子是按照比率4个每分个每分钟的钟的Poisson 过程到达，令过程到达，令T是两个相继被记是两个相继被记录粒子之间的时间间隔（单位：分钟）录粒子之间的时间间隔（单位：分钟）试求试求：1）T的概率密度；的概率密度； 2）(1)P T 作业作业24416,01)( );2)50,0tTtetf
19、tet解题思路解题思路: 由由poisson过程是平稳的独立增量过程过程是平稳的独立增量过程.可知相继被记录的时间间隔是独立同分可知相继被记录的时间间隔是独立同分布的布的. 设有两个相互独立的、强度分别为设有两个相互独立的、强度分别为 和和 的的 Poisson过程过程 和和 ，试，试证在过程证在过程 中两个相邻事件间，过程中两个相邻事件间，过程 出现出现k个事件的概率为个事件的概率为121( ),0)N t t 2( ),0)N t t 1( ),0)N t t 2( ),0)N t t 121212()() ,0,1,2kpk作业作业3证明思路证明思路: 21( ),P N TkTN考虑概率其中 为过程(t)的相邻事件间隔。再应用全概率公式。
