1、信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-1 1 1页页页电子教案第三章第三章 离散系统的时域分析离散系统的时域分析3.1 LTI3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应 一、差分与差分方程一、差分与差分方程 二、差分方程的经典解二、差分方程的经典解 三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应3.2 3.2 单位序列响应和阶跃响应单位序列响应和阶跃响应 一、单位序列响应一、单位序列响应 二、阶跃响应二、阶跃响应3.3 3.3 卷积和卷积和 一、序列分解与卷积和一、序列分解与卷积和 二、卷积的图解二、卷积的图解 三、不进位乘法三、不进位乘法 四、卷积和的
2、性质四、卷积和的性质点击目录点击目录 ，进入相关章节，进入相关章节信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-2 2 2页页页电子教案第三章第三章 离散系统的时域分析离散系统的时域分析3.1 LTI3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应一、差分与差分方程一、差分与差分方程 设有序列设有序列f(k)，则，则，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2)等称为等称为f(k)的的移位序列移位序列。 仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分差分运算。运算。 1. 差分运算差分运算tttftfttfttftkfttfttt
3、)()(lim)()(lim)(limd)(d000离散信号的变化率有两种表示形式：离散信号的变化率有两种表示形式：kkkfkfkkf) 1()() 1()() 1() 1()()(kkkfkfkkf信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-3 3 3页页页电子教案3.1 LTI3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应（1）一阶前向差分定义一阶前向差分定义： f(k) = f(k+1) f(k)（2）一阶后向差分定义一阶后向差分定义： f(k) = f(k) f(k 1)式中，式中， 和和 称为差分算子，无原则区别。本书主要用称为差分算子，无原则区别。本书主要用
4、后向差分，简称为后向差分，简称为差分差分。（3）差分的线性性质差分的线性性质： af1(k) + bf2(k) = a f1(k) + b f2(k) （4）二阶差分定义二阶差分定义： 2f(k) = f(k) = f(k) f(k-1) = f(k) f(k-1) = f(k)f(k-1) f(k-1) f(k-2)= f(k) 2 f(k-1) +f(k-2)（5） m m阶差分阶差分: : mf(k) = f(k) + b1f(k-1) + bmf(k-m)因此，可定义：因此，可定义：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-4 4 4页页页电子教案3.1
5、LTI3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应2. 差分方程差分方程 包含未知序列包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为及其各阶差分的方程式称为差差分方程分方程。将。将差分差分展开为展开为移位序列移位序列，得一般形式，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m) 差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。件和激励，利用迭代法可求得其数值解。例例：若描述某系统的差分方程为：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2)
6、 = f(k)已知初始条件已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励激励f(k)=2k(k),求求y(k)。解解： y(k) = 3y(k 1) 2y(k 2) + f(k) y(2)= 3y(1) 2y(0) + f(2) = 2 y(3)= 3y(2) 2y(1) + f(3) = 10 一般不易得到解析形式的一般不易得到解析形式的(闭合闭合)解。解。 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-5 5 5页页页电子教案3.1 LTI3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应二、差分方程的经典解二、差分方程的经典解y(k) + an-1y(k-1) + a0y
7、(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m)与微分方程经典解类似，与微分方程经典解类似，y(k) = yh(k) + yp(k) 1. 齐次解齐次解yh(k) 齐次方程齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + + a0y(k-n) = 0其其特征方程特征方程为为 1 + an-1 1 + + a0 n = 0 ，即，即 n + an-1n 1 + + a0 = 0其根其根i( i = 1，2，n)称为差分方程的称为差分方程的特征根特征根。齐次解的形式取决于特征根齐次解的形式取决于特征根。当特征根当特征根为为单根单根时，齐次解时，齐次解yn(k)形式为：形式为： Ck当特征根当特征根
8、为为r重根重根时，齐次解时，齐次解yn(k)形式为：形式为： (Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+ C1k+C0)k 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-6 6 6页页页电子教案3.1 LTI3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应2. 特解特解yp(k): 特解的形式与激励的形式雷同特解的形式与激励的形式雷同(r1） 。 （1） 激励激励f(k)=km (m0） 所有特征根均不等于所有特征根均不等于1时时; yp(k)=Pmkm+P1k+P0 有有r重等于重等于1的特征根时的特征根时; yp(k)=krPmkm+P1k+P0 （2） 激励激励f(k)
9、=ak 当当a不等于特征根时不等于特征根时; yp(k)=Pak 当当a是是r重特征根时重特征根时; yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+P1k+P0)ak（3）激励）激励f(k)=cos(k)或或sin(k) 且且所有特征根均不等所有特征根均不等于于ej ； yp(k)=Pcos(k)+Qsin(k) 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-7 7 7页页页电子教案例例：若描述某系统的差分方程为若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k)已知初始条件已知初始条件y(0)=0，y(1)= 1；激励；激励f(k)=2
10、k，k0。求方程的全解。求方程的全解。 解解： 特征方程为特征方程为 2 + 4+ 4=0 可解得特征根可解得特征根1=2= 2，其齐次解，其齐次解 yh(k)=(C1k +C2) ( 2)k特解为特解为 yp(k)=P (2)k , k0代入差分方程得代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2= f(k) = 2k ，解得解得 P=1/4所以得特解：所以得特解： yp(k)=2k2 , k0故全解为故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) ( 2)k + 2k2 , k0 代入初始条件解得代入初始条件解得 C1=1 , C2= 1/4 3.1 LTI3.1
11、LTI离散系统的响应离散系统的响应信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-8 8 8页页页电子教案3.1 LTI3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应 y(k) = yx(k) + yf(k) , 也可以也可以分别分别用经典法求解。用经典法求解。 y(j) = yx(j) + yf(j) , j = 0, 1 , 2, , n 1设设激励激励f(k)在在k=0时接入系统时接入系统，通常以通常以y(1), y(2) , ，y(n)描述系统的描述系统的初始状态初始状态。 yf(1) = yf(2) = = yf
12、(n) = 0 所以所以 y(1)= yx(1) , y(2)= yx(2),，y(n)= yx(n) 然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的的初始值初始值yx(j)和和yf(j) ( j = 0, 1, 2 , ，n 1)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-9 9 9页页页电子教案3.1 LTI3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应例例：若描述某离散系统的差分方程为：若描述某离散系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k)已知激励已知激励f(k)=2k , k0，初
13、始状态，初始状态y(1)=0, y(2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解解：（：（1）yx(k)满足方程满足方程 yx(k) + 3yx(k 1)+ 2yx(k 2)= 0其初始状态其初始状态yx(1)= y(1)= 0, yx(2) = y(2) = 1/2首先递推求出初始值首先递推求出初始值yx(0), yx(1), yx(k)= 3yx(k 1) 2yx(k 2) yx(0)= 3yx(1) 2yx(2)= 1 , yx(1)= 3yx(0) 2yx(1)=3方程的特征根为方程的特征根为1= 1 ，2= 2 ，其解为其解为 y
14、x(k)=Cx1( 1)k+Cx2(2)k 将初始值代入将初始值代入 并解得并解得 Cx1=1 , Cx2= 2 所以所以 yx(k)=( 1)k 2( 2)k , k0信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-101010页页页电子教案3.1 LTI3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应 yf(k) + 3yf(k 1) + 2yf(k 2) = f(k) 初始状态初始状态yf(1)= yf(2) = 0递推求初始值递推求初始值 yf(0), yf(1)， yf(k) = 3yf(k 1) 2yf(k 2) + 2k , k0 yf(0) = 3yf(1)
15、2yf(2) + 1 = 1 yf(1) = 3yf(0) 2yf(1) + 2 = 1分别求出齐次解和特解分别求出齐次解和特解，得，得 yf(k) = Cf1(1)k + Cf2(2)k + yp(k) = Cf1( 1)k + Cf2( 2)k + (1/3)2k代入初始值代入初始值求得求得 Cf1= 1/3 , Cf2=1 所以所以 yf(k)= ( 1)k/3+ ( 2)k + (1/3)2k , k0 （2）零状态响应零状态响应yf(k) 满足满足信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-111111页页页电子教案3.2 3.2 单位序列响应和阶跃响应单
16、位序列响应和阶跃响应3.2 3.2 单位序列响应和阶跃响应单位序列响应和阶跃响应一、单位序列响应一、单位序列响应 由单位序列由单位序列(k)所引起的所引起的零状态响应零状态响应称为称为单位序列单位序列响应响应或或单位样值响应单位样值响应或或单位取样响应单位取样响应，或简称，或简称单位响应单位响应，记为记为h(k)。h(k)=T0,(k) 例例1 已知某系统的差分方程为已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k)求单位序列响应求单位序列响应h(k)。 解解 根据根据h(k)的定义的定义 有有 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = (k) （1） h(1) =
17、 h(2) = 0（1）递推求初始值）递推求初始值h(0)和和h(1)。 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-121212页页页电子教案3.2 3.2 单位序列响应和阶跃响应单位序列响应和阶跃响应 h(k)= h(k 1) + 2h(k 2) +(k) h(0)= h(1) + 2h(2) + (0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(1) + (1) = 1 (2) 求求h(k)。 对于对于k 0， h(k)满足齐次方程满足齐次方程 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = 0 其特征方程为其特征方程为 (+1) ( 2) = 0 所以所以 h(k
18、) = C1( 1)k + C2(2)k ， k0h(0) = C1 + C2 =1 , h(1)= C1+2C2 = 1 解得解得C1= 1/3 , C2=2/3 h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k , k0或写为或写为h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k (k) 方程（方程（1）移项写为）移项写为信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-131313页页页电子教案3.2 3.2 单位序列响应和阶跃响应单位序列响应和阶跃响应 例例2：若方程为：若方程为： y(k) y(k 1) 2y(k 2)=f(k) f(k 2)
19、 求单位序列响应求单位序列响应h(k) 解解 h(k)满足满足 h(k) h(k 1) 2h(k 2)=(k) (k 2)令只有令只有(k)作用时，系统的单位序列响应作用时，系统的单位序列响应h1(k) ,它满足它满足 h1(k) h1(k 1) 2h1(k 2)=(k) 根据线性时不变性，根据线性时不变性， h(k) = h1(k) h1(k 2) =(1/3)( 1)k + (2/3)(2)k(k) (1/3)( 1)k 2 + (2/3)(2)k2(k 2) 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-141414页页页电子教案3.2 3.2 单位序列响应和阶
20、跃响应单位序列响应和阶跃响应二、阶跃响应二、阶跃响应g(k)=T(k), 0由于由于0)()()(jkjjkik，(k) =(k) (k 1) = (k) 所以所以0)()()(jkjjkhihkg，h(k) = g(k) 11111212121akkaaaaakkkkj (k2k1 )两个常用的两个常用的求和公式：求和公式：2) 1)(121221kkkkjkkj信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-151515页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和3.3 3.3 卷积和卷积和一、卷积和一、卷积和1 . .序列的时域分解序列的时域分解012ik-1f(k
21、)f(-1)f(0)f(1)f(2)f(i)任意离散序列任意离散序列f(k) 可表示为可表示为 f(k)=+f(-1)(k+1) + f(0)(k) + f(1)(k-1)+ f(2)(k-2) + + f(i)(k i) + iikif)()(信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-161616页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和2 . .任意任意序列作用下的零状态响应序列作用下的零状态响应LTI系统LTI系统零状态零状态yf(k)f (k)根据根据h(k)的定义：的定义：(k) h(k) 由时不变性：由时不变性：(k - -i)h(k - -i)f (
22、i)(k- -i)由齐次性：由齐次性：f (i) hk- -i)由叠加性：由叠加性：f (k)yf(k)卷积和卷积和iikif)()(iikhif)()(ifikhifky)()()(信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-171717页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和3 . .卷积和的定义卷积和的定义已知定义在区间（已知定义在区间（ ，）上的两个函数）上的两个函数f1(k)和和f2(k)，则定义和则定义和 为为f1(k)与与f2(k)的的卷积和卷积和，简称，简称卷积卷积；记为；记为 f(k)= f1(k)*f2(k)注意注意：求和是在虚设的变量：求和是
23、在虚设的变量 i 下进行的，下进行的， i 为求和变为求和变量，量，k 为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为k 的函数。的函数。 iikfifkf)()()(21)(*)()()()(khkfikhifkyif信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-181818页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和例例：f (t) = a k(k), h(k) = b k(k) ，求求yf(k)。解解： yf(k) = f (k) * h(k)当当i k时，时，(k - i) = 0iikiiikbiaikhif)()()()(bakbbabababkbabkbakykkk
24、kiikkiikif,) 1(,11)()()(100(k)*(k) = (k+1)(k)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-191919页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和二、卷积的图解法二、卷积的图解法卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（1）换元换元： k换为换为 i得得 f1(i)， f2(i)（2）反转平移反转平移：由：由f2(i)反转反转 f2(i)右移右移k f2(k i)（3）乘积乘积： f1(i) f2(k i) （4）求和求和： i 从从 到到对乘积项求和对乘积项求和。注意：注意：k 为参变量。为参变量。下面举例说明。下面举例
25、说明。iikfifkf)()()(21信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-202020页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和例例：f1(k)、 f2(k)如图所示，已知如图所示，已知f(k) = f1(k)* f2(k)，求，求f(2) =？解解：（1）换元）换元（2） f2(i)反转得反转得f2( i)（3） f2(i)右移右移2得得f2(2i)（4） f1(i)乘乘f2(2i)（5）求和，得）求和，得f(2) = 4.5iififf)2()()2(21012k-1f1( k )1.511.521f2( k )01233-2-2-1kiiiif2(i
26、)f2(2i)012i-1f1( i )f2( k- - i )11.523信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-212121页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和三、不进位乘法求卷积三、不进位乘法求卷积f(k)=所有两序列序号之和为所有两序列序号之和为k 的那些样本乘积之和。的那些样本乘积之和。如如k=2时时f(2)= +f1(-1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) + 例例 f1(k) =0， f1(1) ， f1(2) ， f1(3)，0 f2(k) =0， f2(0) ， f2(1)，0=+f1
27、(-1)f2(k+1) + f1(0)f2(k) + f1(1)f2(k-1)+ f1(2)f2(k-2) + + f1(i) f2(k i) + iikfifkf)()()(21信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-222222页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和f1(1) ， f1(2) ， f1(3)f2(0) ， f2(1)f1(1) f2(0) ，f1(2) f2(0) ，f1(3) f2(0) f1(1)f2(1) ，f1(2) f2(1) ，f1(3) f2(1) + f1(3) f2(1) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) f
28、1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(1) f2(0)f(k)= 0， f1(1) f2(0)， f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) ， f1(3) f2(1) ，0 排成乘法排成乘法信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-232323页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和例例 f1(k) =0， 2 ， 1 ， 5，0 k=1 f2(k) =0， 3 ， 4，0，6，0 k=03 ， 4， 0， 62 ， 1 ， 5解解15 ，20， 0， 303 ， 4， 0， 66 ，8， 0， 12
29、+ 6 ，11，19，32，6，30求求f(k) = f1(k)* f2(k)f(k) = 0，6 ，11，19，32，6，30 k=1教材上还提出一种列表教材上还提出一种列表法，本质是一样的。法，本质是一样的。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-242424页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和四、卷积和的性质四、卷积和的性质1. 满足乘法的三律满足乘法的三律：(1) 交换律交换律, (2) 分配律分配律,(3) 结合律结合律.2. f(k)*(k) = f(k) ， f(k)*(k k0) = f(k k0) 3. f(k)*(k) =kiif)(4
30、. f1(k k1)* f2(k k2) = f1(k k1 k2)* f2(k) 5. f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) 求卷积和是本章的重点。求卷积和是本章的重点。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-252525页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和例例1 如图复合系统由三如图复合系统由三个子系统组成，其中个子系统组成，其中h1(k) = (k)， h2(k) = (k 5)，求复合系统的，求复合系统的单位序列响应单位序列响应h (k) 。 解解 根据根据h(k)的定义，有的定义，有h1(k)h2(
31、k)h1(k)f(k)f(k)y(k)y(k)h(k)= (k)* h1(k) (k)* h2(k) * h1(k) = h1(k) h2(k) * h1(k) = h1(k) * h1(k) h2(k) * h1(k) = (k)* (k) (k 5) *(k) = (k+1)(k) (k+1 5)(k 5) = (k+1)(k) (k 4)(k 5)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-262626页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和例例2 如图复合系统由两个子系统级如图复合系统由两个子系统级联组成，其中联组成，其中h1(k) = 2cos(k)， h2(k) = ak(k)，激励激励f(k)= (k)a(k-1)，求复合系，求复合系统的零状态响应响应统的零状态响应响应yf (k) 。 h1(k)h2(k)f(k)f(k)y(k)y(k)解解yf (k) = f(k)* h1(k) * h2(k) = 2cos(k)*ak(k)*(k)a(k-1) = 2cos(k)*ak(k) - ak(k -1) = 2cos(k)* (k) = 2cos(k)
