1、 第二章系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型数学模型的类型数学模型的类型建立数学模型的原则建立数学模型的原则时域时域频域频域复频域复频域微分方程、差分方程、状态方程微分方程、差分方程、状态方程频率特性，频率特性，bode图图传递函数、结构框图传递函数、结构框图在允许的误差范围内，尽量合理简化在允许的误差范围内，尽量合理简化2.1 2.1 控制系统的控制系统的时域时域数学模型数学模型列写控制系统的微分方程列写控制系统的微分方程控制器控制器执行机构执行机构对象对象传感器传感器输入输入输出输出各环节微分方程各环节微分方程各环节传递函数各环节传递函数系统传递函数系统传递函数传递函数定义：线性定常系
2、统、在零初始条件下，输传递函数定义：线性定常系统、在零初始条件下，输出变量与输入变量的出变量与输入变量的Laplace变换之比（复数域的数变换之比（复数域的数学模型）。学模型）。注意：只对注意：只对线性定常系统线性定常系统定义定义 只提供只提供零初始条件零初始条件下输入输出之间的动态描述下输入输出之间的动态描述2.2.1传递函数的定义传递函数的定义)()()( )()()(sRsGsCsRsCsGG(s)R(s)C(s)传递函数的性质传递函数的性质:(1) 只适用于线性定常系统；只适用于线性定常系统；(2) 与输入信号的大小和形式无关（完全取决于系统本身的结构参数）；与输入信号的大小和形式无关
3、（完全取决于系统本身的结构参数）；(3) 是系统的外部描述，不能反映内部变量特性；是系统的外部描述，不能反映内部变量特性；(4) 不能反映非零初始条件下的系统的运动（只是零状态响应）；不能反映非零初始条件下的系统的运动（只是零状态响应）；(5) 与脉冲响应一一对应。与脉冲响应一一对应。系统的传递函数与系统的微分方程是一一对应的系统的传递函数与系统的微分方程是一一对应的2.2.12.2.1传递函数的定义传递函数的定义例 2-2-1 求例2-1-1的传递函数。n解11)()()( )()() 1( )()(d)(dd)(d 2ioio2ioo2o2RCsLCssUsUsGsUsURCsLCstut
4、uttuRCttu LC2.2.12.2.1传递函数的定义传递函数的定义2.2.2 2.2.2 关于传递函数的几点说明关于传递函数的几点说明(2/3)n4. 传递函数的几种表达式传递函数的几种表达式n传递函数的有理分式形式：传递函数的有理分式形式：n传递函数的零极点表达式：传递函数的零极点表达式：n传递函数的时间常数形式传递函数的时间常数形式nnnnnmmmmasasasasbsbsbsbsDsNsG 122111110)()()()()()()()()()(2121nmpspspszszszsksDsNsG ) 1() 12)(1() 1() 12)(1()()()(222221222221
5、 sTsTsTsTsssssKsDsNsGkvl 2.2.32.2.3基本环节及其传递函数基本环节及其传递函数基本环节基本环节从动态方程、传递函数和运动特性的角度看，从动态方程、传递函数和运动特性的角度看，不宜再分的最小环节。不宜再分的最小环节。)()(trtc)()()(2)(222trtcdttdcTdttcdT典型环节：典型环节：(1) 比例环节比例环节 c(t)=kr(t)(2) 惯性环节惯性环节 Tdc(t)/dt+c(t)=r(t)(3) 积分环节积分环节 Tdc(t)/dt=r(t)(4) 一阶微分一阶微分 c(t)=r(t)+Tdr(t)/dt(5) 二阶微分二阶微分(6)振荡
6、环节振荡环节 (7)延迟环节延迟环节)(d)(d2d)(d)(222trttrttrtc小结小结传递函数传递函数1) G(S)=K2) G(S)=1/(Ts+1)4) G(S)=Ts+15) G(S)=2s2+2s+16) G(S)=1/(T2s2+2Ts+1)3) G(S)=1/Ts7) G(S)=e -s2.2.4 电气网络的运算阻抗与传递函数电气网络的运算阻抗与传递函数运算阻抗概念：CsCLsLRR1, , 运算阻抗简单的代数运算，避免了列解微分方程复阻抗 j运算阻抗 sn例例2-3-1 绘制下面电路绘制下面电路(控制系统控制系统)的框图的框图解解 (1)先从输出量先从输出量 U2(s)
7、开始列写系统方程式开始列写系统方程式)()(1)( )()(1)()()(1)( )(1)(311121132322222sUsURsIsIsIsCsUsUsURsIsIsCsU(2)再从输入量再从输入量U1(s) 开始画系统方框图开始画系统方框图 拉氏变换 2.3.2 2.3.2 框图的变换规则框图的变换规则框图的基本组成：框图的基本组成：方框方框, , 信号线信号线, , 比较点比较点( (相加点相加点), ), 引出点引出点( (分支点分支点) )()()()(21sGsGsRsC框图的基本连接形式框图的基本连接形式串联串联并联并联反馈反馈)(1sG)(2sGRC2C1)(1sG)(2s
8、GRCG(S)H(S)()()()(212sGsGsRsC另 2.3.2 2.3.2 框图的变换规则框图的变换规则框图的负反馈联接框图的负反馈联接 R(S) E(S) C(S)前向通路传递函数前向通路传递函数1+开环传递函数开环传递函数)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs非常重要G(S)H(S)闭环传函闭环传函=式中的式中的+号用于号用于负负反馈系统反馈系统开环传递函数：前向开环传递函数：前向通路通路传递函数与反馈传递函数与反馈通路通路传递函数之积。传递函数之积。n4.相加点和分支点相加点和分支点 （1）相加点前移）相加点前移 （2）相加点之间的移动）相加点之间的移动 （3）分支点
9、后移）分支点后移（4）相邻分支点之间的移动）相邻分支点之间的移动)1(BGAGBAGCBCACBAD)(1)(sGsAGA 2.3.2 框图的变换规则框图的变换规则2.3.3 闭环系统的传递函数n典型控制系统框图典型控制系统框图:n前向通路的传递函数为前向通路的传递函数为n1）系统的开环传递函数）系统的开环传递函数n2）输出对参考输入的闭环传递函数）输出对参考输入的闭环传递函数)()()(21sGsGsG)()()()()(21sHsGsGsHsG)(1)()()(1)()()()()( 1)( )()()(1)()()()()(1)()()()()()()(1)()()()(1)()()()
10、()(212121212121sGsGsGsGsGsGsRsCssHsRsHsGsGsRsHsGsGsGsGsRssCsHsGsGsHsGsGsGsGsRsCs时当（单位负反馈）（单位负反馈）F(s)=0F(s)=0时时n3）输出对于扰动输入的闭环传递函数输出对于扰动输入的闭环传递函数n4）系统总输出系统总输出)()()(1)()()()()(1)()()()()()(1)()()()() 1(1)()()()(22122212sFsHsGsGsFsHsGsGsGsFssCsHsGsGsHsGsGsGsFsCsFF)()()()(1)()()()()(1)()( )()()()()(21221
11、21sFsHsGsGsGsRsHsGsGsGsGsFssRssCF（线性系统满足（线性系统满足叠加原理）叠加原理）R(s)=0R(s)=0时时（两个信号共同作用时的输出量）n5 5）偏差信号对参考输入的）偏差信号对参考输入的n6 6）偏差信号对扰动输入的）偏差信号对扰动输入的n7 7）系统总偏差）系统总偏差)()(11)()()(11)()()(21sHsGsHsGsGsRsEsE)()(1)()()()()() 1(1)()()()()(2212sHsGsHsGsHsGsGsHsGsFsEsEF)()()()()(sFssRssEFEE各闭环传函的分母相同：系统的特征式各闭环传函的分母相同：
12、系统的特征式1+G(s)H(s)R(s)=0时时F(s)=0时时)(sE)(sEF（两个信号共同作用引起的偏差）n例2-3-2 求闭环传递函数C(s)/R(s)和E(s)/R(s)。n解2.3.4 框图的化简1432134323243213432321432134323243211111)()(HGGGGHGGHGGGGGGHGGHGGHGGGGHGGHGGGGGGsRsC闭环传递函数)()()(1)()()()()()(11sRsCsHsRsCsHsRsRsE143213432323432323432321432111111)()(HGGGGHGGHGGHGGHGGHGGHGGHGGGGsR
13、sE误差传递函数如图亦：n例2-3-3 求传递函数n解)(/ )()()(/ )()(1E12sUsESsUsUs及sCRsCRsCRLLLLaa223112113211111)(1 111111)()()(1 1 111111222111221212212122121122121121221211221212212112212131sCRCRCRsCCRRsCCRRsCRsCRsCRsCCRRsUsUssCCRRPsCCRRsCRsCRsCRsCCRRLLLLcbnkkkPs1)(1)()(11111111)()()(111 1 )()()(2221112212121112212122121221211221212212111sCRCRCRsCCRRsCRCRsCCRRsCCRRsCRsCRsCRsCRsCRsUsEssCRsCRPsUsEsEEnkkkPs1)(第二章第二章 作业作业n2-5（a）n2-6（a）n2-9第二章第二章 结束结束
