1、SIGNALS AND SYSTEMS信号与系统信号与系统第二章 信号与系统的时域分析南京邮电大学南京邮电大学通信与信息工程学院通信与信息工程学院2015.9第二章 信号与系统的时域分析2.1 典型连续时间信号2.2 典型离散时间信号2.3 连续时间信号的基本运算2.4 离散时间信号的基本运算2.5 信号的时域分解2.6 连续系统的冲激响应2.7 离散系统的单位脉冲响应2.8 连续系统的零状态响应2.9 离散系统的零状态响应2.10系统的全响应 stf tAe为复数，称复频率为复数，称复频率2.1 典型连续时间信号2.1.1 复指数信号sj为复数，称复振幅为复数，称复振幅jAA e000cos
2、sinjtstjttAeA e eA etj A et 实部为增长（实部为增长（0）或衰减（）或衰减（ 0）或衰减（）或衰减（ 0）或衰减（）或衰减（ 0）或衰减（）或衰减（ 0）或右移（或右移（b0）或右移（或右移（n0）得到的。）得到的。( )()kmkf kf mk 设设m为正整数，从波形上看，为正整数，从波形上看，f(mk) 是将是将f(k) 的波形的波形压缩，表示序列压缩，表示序列f(k)中每隔中每隔m-1点抽取一点，也称为序列点抽取一点，也称为序列 的的m倍抽取（倍抽取（decimation）；）； f(k/m)是将是将f(k) 的波形扩展，的波形扩展，表示在序列表示在序列f(k)
3、 的每相邻两点之间插入的每相邻两点之间插入m-1个零值点，也称为序列f(k)的的m倍内插（倍内插（interpolation）。）。3.尺度变换尺度变换:)(kf6311331k(2 )fk63111k( /2)f k6311331k2.4.2 相加与相乘例：已知序列例：已知序列15210)(1kkkfk0202)(2kkkkfk)()()()(2121kfkfkfkf和求0521710)(1kkkkfk解：0212112)(2kkkkkfk072121512)()(21kkkkkfkfkk01052212710)()(121kkkkkkfkfkk1. 序列的差分序列的差分(对应于连续信号的微
4、分对应于连续信号的微分)一阶前向差分一阶前向差分二阶前向差分二阶前向差分一阶后向差分一阶后向差分)() 1()(kfkfkf)() 1()()(2kfkfkfkf)() 1(2)2(kfkfkf) 1()()(kfkfkf二阶后向差分二阶后向差分)2() 1(2)() 1()()()(2kfkfkfkfkfkfkf2.4.3 差分与累加2. 序列的累加序列的累加 (对应于连续信号的积分对应于连续信号的积分)( )( )kny kf n 6111k3( )( )kny kf n 324)(kf21131k322.5 信号的时域分解2.5.1 2.5.1 交、直流分解交、直流分解 DAf tftf
5、t2.5.2 2.5.2 奇、偶分解奇、偶分解 eof tftft 12eftf tft 012ftf tft2.5.3 2.5.3 实部、虚部分解实部、虚部分解 rif tftjf t注：注：所有分解对离散时间信号都适用，即将连续所有分解对离散时间信号都适用，即将连续时间变量时间变量t换成离散时间变量换成离散时间变量k。2.5.4 脉冲分解 如图所示，任意波形的信号都可以用沿横向等间隔的折线来如图所示，任意波形的信号都可以用沿横向等间隔的折线来近似，近似，( )f t0tt10)(tgt10)(tg)()(ntgnx0tn ) 1(n( )()()nf tf ngtn nt)( nx其中在其
6、中在 时刻出现的矩形脉冲高度为时刻出现的矩形脉冲高度为 宽度为宽度为 。折线中的每一条横向线段都可以看作一个矩形脉冲。折线中的每一条横向线段都可以看作一个矩形脉冲。n2(0)f(2 )f()f n折线可以看作是矩形脉冲的叠加折线可以看作是矩形脉冲的叠加为讨论方便起见，为讨论方便起见，此处此处 的定的定义与前面不同。义与前面不同。)(tg1.连续信号分解为单位冲激信号的线性组合连续信号分解为单位冲激信号的线性组合0( )lim()()nf tf ngtn 解释： ,),()(,0的积分求和变成对连续变量成为，成为新的连续变量记作时，当tntgnd( )( ) ()f tftd 即1.( ) (
7、) ()f tfdt 说明任意波形的信号可以看成是由无穷多个连续出现的冲激信号分量叠加起来构成的。 2.f t其物理含义是信号上的任意一点都可以看作一个强度为无穷小的延迟冲激信号，但强度有相对大小的不同。3.t是积分变量， 是积分参变量（在积分过程中可视为常数），因此，该积分公式也可以直接从单位冲激函数的筛选特性得到。 任意波形的信号也可以近似表示为无穷多个阶跃信任意波形的信号也可以近似表示为无穷多个阶跃信号之和（分解过程略）：号之和（分解过程略）：)(tx)0(x)( xt( )( ) ()x txu td 利用后面将要介绍的卷积性利用后面将要介绍的卷积性质，可以很方便地证明这一结论。质，可
8、以很方便地证明这一结论。2.离散序列分解为单位脉冲序列的线性组合离散序列分解为单位脉冲序列的线性组合 根据单位脉冲序列的加权特性，任意序列可根据单位脉冲序列的加权特性，任意序列可以表示为延迟的单位脉冲序列的线性加权和，即以表示为延迟的单位脉冲序列的线性加权和，即( )( 2) (2)( 1) (1)(0) ( )(1) (1)( ) ()nf kfkfkfkfkf nk n 表明任意离散时间信号可以分解为单位脉冲表明任意离散时间信号可以分解为单位脉冲序列的线性组合。序列的线性组合。2.6 连续系统的冲激响应2.6.1 冲激响应的定义 零状态系统在单位冲激信号作用下的响应。零状态系统在单位冲激信
9、号作用下的响应。例：如图电路例：如图电路2.6.2 冲激响应的物理解释 )()()(tvdttdiLtRisLL(0 )0,( )( )( )( )LsLiv tti th t当时，则( )( )( )LLditRitLtdt即：+-)(tvsRL)(tiL)(th0)0(nqS( ) t对上式从对上式从 到到 取积分，得取积分，得 0t 0t001)0()0()(LLLLiLidttiRLiidttitiLLLL1)0(0)0(0)()(00，且是有限的，故零输入响应，此时电路是一个特殊的时，当, 0)(0tt由三要素公式得由三要素公式得)()(1)(thteLtitLRL与与RL电路相对电
10、路相对偶，可得偶，可得RC电电路的冲激响应：路的冲激响应：)(tRC+_)(tvc)()(1)()()()(1thteCtvtdttdvCRtvtRCCCC（电感电流在冲激信号作用下，（电感电流在冲激信号作用下，从零跃变到从零跃变到 ）1L)()( )()()()( )()(01) 1(1)(01) 1(1)(txbtxbtxbtxbtyatyatyatyammmmnnnn此时，系统的冲激响应所应当满足的微分方程为：此时，系统的冲激响应所应当满足的微分方程为：)()( )()()()( )()(01) 1(1)(01) 1(1)(tbtbtbtbthathathathammmmnnnn2.6.
11、3 冲激响应的求取 描述描述n阶线性时不变连续系统的微分方程的一般形式为：阶线性时不变连续系统的微分方程的一般形式为： 对于因果系统来说，初始状态对于因果系统来说，初始状态 。由于由于 及其各阶导数在及其各阶导数在 时都等于零，即上式时都等于零，即上式右端各项为零，从而成为齐次方程。因此冲激响应右端各项为零，从而成为齐次方程。因此冲激响应h( (t) )的形式应当与齐次解的形式相同。的形式应当与齐次解的形式相同。 00(0,1,1)ihin t0t对于一般的微分方程直接求解冲激响应对于一般的微分方程直接求解冲激响应3, 221其特征根为2312( )() ( )tth tk ek eu t则解
12、：解：)(2)( 3)(6)( 5)(ttththth22332121kkkk则有7421kk解得)(2)( 3)()23()( )(2121tttkktkk：代入原方程，经整理得32( )(74) ( )tth teeu t)(2)( 3)(6)( 5)(txtxtytyty例：例：23121223121212( )( )() ( )( 23) ( )( )() ( )( 23) ( )(49) ( )tttth th tkktk ek eu thtkktkktk ek eu t inm(1)若方程的特征根 均为单根，则当时，有1( )() ( )intiih tceu t ( )-nmh
13、ttm n当时，中函数会包含直至其阶导数111112tttkkc ec tec te为了使方程成立，两边所具有的冲激信号及其各阶导为了使方程成立，两边所具有的冲激信号及其各阶导数项必须相等，对方程特征根的不同形式分别讨论：数项必须相等，对方程特征根的不同形式分别讨论：1k(2)若方程的特征根中有 阶重根 ，则相应项变为1,2j(3)若方程的特征根中有共轭复根，则相应项变为12cossinttc etc et100: ( )()kh kab 归纳出 00(1)( )( )y ka y kb x kh k例：若某离散时间系统的差分方程为，求系统的单位脉冲响应。一般只能得到数值解一般只能得到数值解（
14、不易得到闭式解）（不易得到闭式解）2.7 离散系统的单位脉冲响应1. 迭代法迭代法解：根据单位脉冲响应的定义解：根据单位脉冲响应的定义00(1)( )( )h ka h kbk对于因果系统，由于对于因果系统，由于 ，故，故1010h 采用迭代法，将差分方程写成采用迭代法，将差分方程写成00(1)( )( )h kbka h k001(0)1( 1)0khba h 0000 (1)0(0)khba hb 00001 (2)1(1)khba ha b 2. 直接求解法直接求解法(补充补充)(2)5 (1)6 ( )(2)y ky ky kx k例:设差分方程为，试求系统单位脉冲函数响应。)2()(
15、6)1(5)2(kkhkhkh由由差差分分方方程程得得解解5) 1 (0) 1 () 1(6)0(5) 1 (11)0(1)0()2(6) 1(5)0(2hhhhkhhhhk，得，得取取，得，得取取12( )( 2)( 3)kkh kAA则单位函数响应为32065212，特特征征根根特特征征方方程程为为0)(0khk时时，单单位位函函数数响响应应对对于于因因果果系系统统来来说说，当当32)(21AAkh，的表达式，解得的表达式，解得代入代入11( )( 2)( 3)( )kkh ku k 所以3. 间接求解法间接求解法000(2)5(1)6( )( )h kh kh kk设:(2)5 (1)6
16、 ( )(2)3 ( )y ky ky kx kx k例 某离散时间系统由下列差分方程描述：试求其单位脉冲响应。 (2)5 (1)6 ( )(2)3 ( )h kh kh kh kkk解：根据的定义，应满足 00033(2)53(1)63( )3 ( )h kh kh kk 方程两边同时乘以0002(4)5(3)6(2)(2)kkh kh kh kk方程中以替换000000(4)3(2)5(3)3(2)6(2)3( )(2)3 ( )h kh kh kh kh kh kkk有00( )(2)3( )h kh kh k对比有S)(k0( )h k根系统的零状态线性和时不变性，有根系统的零状态线性
17、和时不变性，有00( )()mjjh kb h kjS()kn0()h kn0()mjjbkj00()mjjb h kjS000(2)5(1)6( )( )h kh kh kk1200000000000000( )02(0)5( 1)6( 2)( 2)0(0)01(1)5(0)6( 1)( 1)0(1)00(2)5(1)6(0)(0)1(2)1AAkh kkhhhhkhhhhkhhhh 确定系数 、 需要两个初始条件。由时，取得取得取得012( )( 2)( 3)kkh kAA则单位脉冲响应为21256023 特征方程为，特征根，001211(1)0(2)123hhAA 代入初始条件，可解得，
18、110( )23(1)kkh ku k 即001111( )(2)3( )23(1)( )(1)323(1)kkkkh kh kh kkku ku k 所以1111( )51(4293) (2)3(23) (2)kkkkkku ku k 11( )5 (1)( 2)6( 3)(2)kkkku knnnanhnhhhkkhakhankhankhan1)(0) 1()2() 1 ()()() 1() 1()(00000001010，而而初初始始条条件件为为阶阶前前向向差差分分方方程程结结论论：对对于于nnnahnhhhkkhakhankhankhan1)0(0) 1()2() 1()()() 1(
19、) 1()(00000001010，而而初初始始条条件件为为阶阶后后向向差差分分方方程程对对于于2.8.1 卷积分析法的引出 对于线性时不变系统，设对于线性时不变系统，设)()()()()()()()()()()()()()(tydthxdtxtxthdxtdxthttht则当的卷积积分与称为记作)()()()()()()(thtxdthxthtxty)(ty0)0(nqS( )x t 2.8 连续系统的零状态响应分析思路：分析思路： 首先把任意信号分解为基本单元信号（这里是指首先把任意信号分解为基本单元信号（这里是指冲激信号）；冲激信号）； 然后研究系统对基本单元信号的零状态响应（这然后研究
20、系统对基本单元信号的零状态响应（这里是指冲激响应）里是指冲激响应） ； 再根据线性时不变系统的根本规律，把这些基本再根据线性时不变系统的根本规律，把这些基本单元信号单独作用于系统时所引起的零状态响应迭加单元信号单独作用于系统时所引起的零状态响应迭加起来。起来。 这种方法把求解微分方程特解的问题转化为用数这种方法把求解微分方程特解的问题转化为用数学表达式（这里是指卷积积分）求解，不仅使运算大学表达式（这里是指卷积积分）求解，不仅使运算大为简化，而且易于实现。为简化，而且易于实现。dthxthtxty)()()()()(解释：)()(),()(. 1ththxtx换成换成计算卷积时，将）连续变化。
21、，（在信号出现的时刻，可以是积分变量，表示冲激. 2要考察的响应时刻。示所过程中可视为定值，表是积分参变量，在积分t. 3化。的变化，卷积值也在变的响应时刻的函数，即随着要考察是时间卷积值tty )(. 4。作用下的零状态响应激励其在任意即可用卷积分析法求得（系统特性的表征），一旦求得其冲激响应对任意线性时不变系统)()()(. 5tytxth都是有始函数时，设和当)()(thtx12( )( ) (),( )( ) ()x tx t u tth th t u tt12( )( )( )( ) () () ()y tx th txut h tu tt d则1112221212121210()0
22、0()0( )ttutttttu tttttttty ttttttttt 考虑到（即）时，以及（即）时，也就是说只有当时，被积函数才可能不为零。因此，积分下限应当为 ，上限应当为。其物理意义是：响应是由激励在（ ，）期间所有分量的共同作用所引起的。而对于 来说，应当满足，积分出来的结果才可能不为零。其物理意义是： 时刻（最21212( )()ty tttu ttt早）出现的激励分量所引起的响应要再延迟 时间才能出现，即：响应出现的最早时刻为。或者说应当将卷积结果乘以，于是有2112( )( )( )( ) ()()t tty tx th txh tdu ttt2.8.2 确定卷积积分限的公式(
23、 )1,( )(2),tx th te u t例：已知激励信号系统的冲激响应试用卷积分析法求其零状态响应。112()22( )11()1()( )( )( )1()ttttx tu tu ttty tx th tedu te ee 解：，其中，则2( )(1),( )(3),ttx te u th teu t例：已知激励信号系统的冲激响应试用卷积分析法求其零状态响应。32()1233211( )( )( )(4) (4)(4)tttttty tx th teedu teeu teeu t 解： 图形卷积能够直观地理解卷积积分的计算过程，有图形卷积能够直观地理解卷积积分的计算过程，有助于确定积分
24、的上下限。助于确定积分的上下限。dthxthtxty)()()()()(相乘；和相乘：将)()(. 4thx归纳起来，卷积的图解过程有五个步骤：归纳起来，卷积的图解过程有五个步骤：)()(),()(:.1hthxtxt换元2.: ( )()hh翻转3.:()()hth t平移 把平移一个，成为；时刻的卷积值。即为的面积乘积曲线与时间轴之间和积分：tthx)()(. 52.8.3 卷积的图解11( )()(1), ( )( )(2)22( )( )( )x tu tu th tt u tu ty tx th t例：已知，波形分别如图所示，试求卷积1 21)(th011t0)(tx21t解：解：
25、(1) 换元换元110)(x211 21)(h01)(h0 -2t1)(th0 -2t110t -2t211121 -2tt (2) 翻转翻转 (3) 平移平移 (4)相乘、积分相乘、积分0)(,21tyt当16144)(211)(, 121221ttdttytt当110t -2t2116343)(211)(,231121tdttyt当4324)(211)(, 323221ttdttytt当0)(, 3tyt当110t -2t2111t -2t213t2111615)(ty2169的曲线)(ty从卷积图解分析可以看出：从卷积图解分析可以看出：（1）卷积积分限取决于）卷积积分限取决于 和和 的两
26、个函的两个函数交叠部分的时间范围；数交叠部分的时间范围；( )x()h t（2）如果函数图形都是宽度有限的话，卷积结）如果函数图形都是宽度有限的话，卷积结果果y(t)的起点等于的起点等于x(t)和和h(t)的起点之和；的起点之和； y(t)的终的终点等于点等于x(t)和和h(t)的终点之和；的终点之和； y(t)的宽度等于的宽度等于x(t)和和h(t)的宽度之和。的宽度之和。 如果将如果将x(t)和和h(t)用分段函数表示的话，本例也用分段函数表示的话，本例也可以用确定积分限的公式求解。可以用确定积分限的公式求解。2.8.4 卷积积分的性质(1)交换律交换律)()()()(txththtx1.
27、 卷积代数(2)分配律分配律)()()()()()()(2121thtxthtxththtx)()(21thth)(ty)(tx)(1th)(2th)(tx)()()()(21ththtxty)()(1thtx)()(2thtx)()()()()()(2121ththtxththtx(3)结合律结合律)(2th)()()()(21ththtxty)(tx)(1th)()(1thtx)()(21thth)(tx)()()()(21ththtxty2. 卷积的微分与积分，有设)()()(thtxty(1)卷积的微分性质卷积的微分性质)( )()( )()()()( thtxdthxdthxdtdt
28、y)()( )( :thtxty同理可证(2)卷积的积分性质卷积的积分性质（证明略）（证明略）)()()()()()1()1()1(thtxthtxty(3)卷积的微积分守恒性卷积的微积分守恒性)( )()()( )()1()1(thtxthtxtydtthxthtxdxhthtxxththtxthxdxthtxtyt)()()()()()()()()()()()( )()()( )()()() 1() 1 () 1() 1 () 1()()()()()()()()(, 0)(0)()1()1()1()1(thtxtythtxthtxtydtthx交换位置，可得和同理，则，或者只要证明：条件：
29、条件：应用微积分守恒性时，被求导的函数在应用微积分守恒性时，被求导的函数在 处应为零值，或者被积分的函数在处应为零值，或者被积分的函数在 区间的积分区间的积分值（即函数波形的净面积）为零值。值（即函数波形的净面积）为零值。t),()( )( )( )( )( ),ijijytxthti j卷积的微积分性质还可以进一步推广为：为整数dfKdKfKtftfK)()()()(义，可得解：直接应用卷积的定( 1) ( )( ) () ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )x txu tdy tx th tx thtx ts ty tx ts t例如：任意波形信号可分解为无穷多个阶
30、跃信号之和即杜阿密尔积分为整数此性质可以推广为：ithtxtyii)()()()()(当 i 为正整数时，表示求导数的阶数，当 i 为负整数时，表示求重积分的次数。注意：注意： 此例不满此例不满足卷积微足卷积微积分性质积分性质的条件。的条件。( )Kf t例:计算常数 与函数的卷积积分。3. 含有冲激函数的卷积)()()()()(ttxdtxtx( 1)( )( )( )( )( )( )( )( ) ()x tx ttx ttx tu txu td)()()()()(111ttxdttxtttx根据信号的时域分解以及卷积的定义，有根据信号的时域分解以及卷积的定义，有再根据卷积的微积分守恒性，
31、有再根据卷积的微积分守恒性，有冲激函数的重现性质冲激函数的重现性质利用卷积的定义以及冲激函数的筛选性质，有利用卷积的定义以及冲激函数的筛选性质，有利用微积分性质还可以得到利用微积分性质还可以得到( )( )( )( )( )( )tx ttx tx tu txd推广到一般情况，有推广到一般情况，有)()()()()()(1)(1)()()(ttxtttxtxttxiiii4. 卷积的时移)()()(thtxty若若)()()()()(000ttythttxtthtx则则为实常数0t)()()()()()()()()()()(00000ttytttyttthtxttthtxtthtx证明：同理同
32、理)()()()()(211221tttytthttxtthttx)(tfT)(1tf22tA22tTTT2T2A)(tT(1)tTTT2T20利用卷积的重现性质可以通过卷积运算产生周期信号：利用卷积的重现性质可以通过卷积运算产生周期信号：nTnTtt)()(nnnTTnTtfnTttfnTttfttftf)( )()()()()()()(1111利用卷积的性质能大大简化卷积计算0( )( )sin( ) ( )( )sin( )( )sin( )( )sin( ) sin ( )sin( )cos( )1 cos ( )( )tx th ttu ttu ttu tttu tu tdtu td
33、 u tdttttu tt u tu t 解：( )sin( ), ( )( )( ),( )( )x ttu t h ttu tx th t例：已知试求( )( ), ( )( )(2)( )( )tx te u t h tu tu tx th t例：已知，试求。)2()()2()()()( )()()()1()1()1()1(txtxtttxthtxthtx解：( 1)00( )( )( )( )(1) ( )ttttxte ude du teu teu t ( 1)( 1)(2)( )( )( )(2)(1) ( )1 (2)ttx th txtxteu teu t例例: : 0)()(
34、thtx23-1-2At-221A)(tx0)(th(1)(1)tt0。试求如图所示，冲激响应已知系统输入)()()(),(thtxthtx解：解： 例：例： 。试求如图所示，冲激响应已知系统输入)()()(),(thtxthtx解：解： 12)(txt020)(tht11(2)( txt0(2)20)()1(th2t) 1(2)(2)()( )()()()1()1()1(thththtxthtxty-4420)(ty-2t213 4)(2) 1(th) 1(2) 1(th例：计算下列卷积积分：例：计算下列卷积积分： (1)(1)(2)(2)(1)(2)u tu ttu tt解解 (1)(1)
35、应用卷积的重现性质，有应用卷积的重现性质，有 (1)(2)( )(1)( )(2)( )( )(1)( )(1)(1) (1)u tu tu ttu ttu tu tttu tttu t (2) (2)应用卷积的重现性质和微分性质，有应用卷积的重现性质和微分性质，有 (1)(2)(1)(2) (1)(1)(2) (1)(1)(2) (1)(1)(2)(3)(3)tu tttu ttu ttttu tttttttt11( )( )(1) ( ),( )tx ttu tteu tx t例：已知试求。22122( )( )(1) ( )tddx ttu tteu tdtdt解：对原方程两边求导，有1
36、( )( )( )tx tte u t即1( )( )tx te u t用卷积符号记为用卷积符号记为nzsnkhnxkhkxky)()()()()(称为称为卷积和卷积和或或离散卷积离散卷积。2.9.1 离散卷积的引出) 1() 1()2()2()(kxkxkxnnknx)()(单位脉冲响应为单位脉冲响应为 h(k)S)(k)(kh根据线性和时不变性，有根据线性和时不变性，有)()(nknx)()(nkhnxnnknx)()(nnkhnx)()(nzsnkhnxky)()()(2.9 离散系统的零状态响应2.9.2 离散卷积的性质(1)交换律交换律( )( )( )( )x kh kh kx k
37、1. 代数运算(2)分配律分配律1212( ) ( )( )( )( )( )( )x kh kh kx kh kx kh k1212 ( )( )( )( ) ( )( )x kh kh kx kh kh k(3)结合律结合律2. 差分与求和( )( )( )y kx kh k设，有(1)差分差分 y tx th tx th ty tx th tx th t (2)求和求和( )( )( )( )( )kkknnny nx kh nx nh k( )( )( )x kx kk11( )()()x kkkx kk推广3. 移位1212()()()x kkkkx kkk1212()()()x k
38、kh kky kkk2112( )( ) ()()k kzsn kykx n h knu kkk若若 k k1 时，时，x (k) = 0; k k2 时，时，h (k) = 0; 确定求和限的确定求和限的一般公式为一般公式为2.9.3 确定离散卷积求和限的公式( )(1)( )(2)kkx ka u kh kb u k例:求序列和的卷积和。212211( )( )( )( ) ()(12)(3)(3)kzsnnkknknknnykx kh kx n h knu kaabu kbu kb 解1()(3)11(2) (3)1kkkaababbu kabbabku kb2.9.4 离散卷积的图解:
39、( )1,2,1,2( )1,2,1( )zsx kh kyk例 设激励信号，单位函数响应，试求零状态响应。knzsnkhnxky0)()()(:解步骤：步骤：1. 换元；换元；2. 折叠折叠 h(-n)；3. 移位移位 h(k-n)； 4. 相乘相乘 x(n)h(k-n)； 5. 求和求和。1131n20)(nx2211131n20)(nh211131n20)( nh 21320)(0kykzs时时，当当111)0()0()0()()0(00hxnhnxynzs1131n20)(nx2211131n20)1 (nh213241221)0()1()1()0()1()()1(10hxhxnhnx
40、ynzs6112211)0()2()1()1()2()0()2()()2(20hxhxhxnhnxynzs1131n20)2(nh2132)1 ()(nhnx22)2()(nhnx46 , 6 , 4 , 1)(kyzs类类此此，可可得得1131k2046)(kyzs6( )3,2,1,5( )3,1,4,2x kh k例:离散时间系统的激励信号，单位函数响应，试求其零状态响应。 x(k)h(k)3215396315*13215*4128420*264210*2.9.5 离散卷积的列表计算( )( )( )9,9,17,30,y kx kh k2.10 系统的全响应全响应全响应 = 零输入响应
41、零输入响应 + 零状态响应零状态响应全响应全响应 = 自然响应或固有响应（通解）自然响应或固有响应（通解）+ 强制响应强制响应（特解）（特解）全响应全响应 = 暂态响应暂态响应 + 稳态响应稳态响应 32,10101tyty ty tx tx teu tyyy t 例：已知某线性时不变系统的微分方程为激励，初始状态，求系统的全响应。1,21, 2 解：方程的特征根为： 212ttziytc ec e零输入响应的形式为： 2010132 0 ttziyyyteet代人初始条件，解得 2tth teeu t冲激响应为：由卷积分析法可求得零状态响应： 22111 222tttzstttyu ttx
42、th teu teeu teete 213 220tttzsziy tytyteetet系统全响应：2123 -2 ttteete其中， 是强制响应的一部分；是自然响应的一部分；既在激励中出现也在齐次方程的通解中出现，因而既有自然响应分量又有强制响应分量；又因为激励和自然响应中含有函数形式相同的项，零状态响应中会出现新的一项。2123 2ttteete又有：稳态响应为 ；暂态响应为。 10.5120.501(2)03kziziy ky kx kx ku kyy kyy kyk 例：已知某线性时不变系统的差分方程为，激励，(1)初始状态，求系统的全响应，并指出其中的零输入响应分量、零状态响应分量
43、、自然响应分量、强制响应分量、暂态响应分量和稳态响应分量； 初始条件，求系统的全响应和零输入响应。0.5 解：方程的特征根为： 0.5kh ku k 单位脉冲响应为：由卷积分析法可求得零状态响应： 20.50.5411 0.50.5326kkzskkykx kh kuu ku kk 0.5kziykc(1)零输入响应的形式为： 010.5 0kzikkyy 代人初始条件，解得 4170.50.5 0326kkzsziky kykyk系统全响应：7410.50.56327140.50.5623 khkh 其中，自然响应分量为、强制响应分量为、暂态响应分量为、稳态响应分量为 。 4110.50.50.5 0326kkkzsziy kykcyku kk(2)系统全响应： 032yc代人初始条件，解得 20.5 0kziykk故零输入响应： 41130.50.5 0326kky kk 全响应：
