1、110.4 环路定理和电势环路定理和电势 ！一一 .静电场的保守性静电场的保守性 环路定理环路定理qrarbabLqo barroodrrqq24 即点电荷电场中，静电场力的功只与路径的起即点电荷电场中，静电场力的功只与路径的起点和终点位置有关点和终点位置有关，而而与路径形状无关与路径形状无关。)11(4baoorrqq dlcos = dr baoEdlq cos abAErdrdl qo在在q的电场中，由的电场中，由a到到b, 电场力的功为电场力的功为Eqol d ba2 可见，在点电荷系的电场中，静电场力的功也只可见，在点电荷系的电场中，静电场力的功也只与路径的起点和终点位置有关，而与路
2、径的起点和终点位置有关，而与路径形状无关与路径形状无关。)11(4ibiaioiorrqq )11(4baooabrrqqA baoabl dEqA baiioldEq)( ibaiol dEq iiEE qo在点电荷系在点电荷系q1,q2,qn的电场中，从的电场中，从a到到b，电场力的功为，电场力的功为3 在静电场中，在静电场中，电场强度电场强度沿任意闭合路径的线沿任意闭合路径的线积分积分(环流环流)为零为零。这就是静电场的。这就是静电场的环路定理环路定理。 环路定理表明环路定理表明:静电场是保守力场，也就是无旋场。静电场是保守力场，也就是无旋场。令电荷令电荷qo在静电场在静电场中沿环路中沿
3、环路L移动移动可得：可得：abcdLLol dEq0LldEbdaacbAAbdaadbAA04矢量微分算符：矢量微分算符：zyx,旋度：旋度：yExExEzEzEyEEzyzxyz,无旋场：无旋场：0E也称为环路定理的也称为环路定理的微分表达形式微分表达形式。0LldE5可见，静电场力的功可写为可见，静电场力的功可写为我们定义：我们定义：wa是是qo在在a点时系统的电势能点时系统的电势能; wb是是qo在在b点时系统的电势能。点时系统的电势能。 则有：则有：电场力的功等于电势能增量的负值。电场力的功等于电势能增量的负值。 baoabl dEqAwa-wb=-(wb-wa)二二 .电势能电势能
4、 baoabl dEqA)11(4baoorrqq )11(4ibiabaioiooabrrqql dEqA 点电荷系点电荷系点电荷点电荷6 若取若取b点为电势能的零点点为电势能的零点(零势点零势点)，则，则qo在在a点点的电势能为的电势能为 上式的意义是：上式的意义是：qo在场中某点在场中某点a的的电势能电势能等于将等于将qo从该点从该点a经任意路径移到零势点时经任意路径移到零势点时电场力对电场力对qo所作所作的功。的功。 baoabl dEqAwa-wb=-(wb-wa) 零势点零势点aoaldEqw7 我们定义：场中我们定义：场中a点的点的电势电势 ： 电场中某点的电场中某点的电势电势等
5、于等于单位正电荷单位正电荷在该点的在该点的电电势能；势能； 也等于也等于将单位正电荷将单位正电荷从该点经过任意路径从该点经过任意路径移到移到零势点时电场力所作的功零势点时电场力所作的功。 零势点零势点aoal dEqw 零势点零势点aoaal dEqwU三三 .电势和电势差电势和电势差 零势点零势点aoadlEqw8aaqUw 得得)(baabUUqA 得得即即 babal dEUUV,dlEqwaoa 零势点零势点由由,ldEqAbaoab 由由电势差电势差(电压电压) = 两点电势之差两点电势之差 零势点零势点al dE 零势点零势点bl dE baUU9 (1)原则上电势零点可任意选择，
6、视方便而定原则上电势零点可任意选择，视方便而定 。 对有限大小的带电体对有限大小的带电体,规定取无穷远为零势点规定取无穷远为零势点,于是于是 在实际问题中在实际问题中，也常常选大地的电势为零。也常常选大地的电势为零。 (2)电势电势是是相对相对量，随零势点的不同而不同。而量，随零势点的不同而不同。而电势电势差差是是绝对绝对量，与电势零点的选择无关。量，与电势零点的选择无关。 (3)电势是标量电势是标量, 没有方向没有方向, 其值可正可负。其值可正可负。 aaldEU)(baabUUqA aaqUw 零势点零势点aal dEU babal dEUU10 1.点电荷点电荷q场中场中p点点的电势的电
7、势 即点电荷的电势、电场为即点电荷的电势、电场为rqUo4 24rqEo drrPq取无穷远为电势零点，由定义式有取无穷远为电势零点，由定义式有rqo4 r24rqo dr& 零势点零势点aal dEU aaldEU ppl dEU四四. 电势的计算电势的计算112.点电荷系点电荷系(q1,q2,qiqn)场中的电势场中的电势，Ei 为为qi产生的电场。产生的电场。即即 niiaUU1式中式中: Ui代表第代表第i个点电荷个点电荷qi单独存在时在单独存在时在a点产生点产生的电势的电势。 上式表明式表明:一个一个点电荷系的点电荷系的电场中任一点的电场中任一点的电势电势等于每一个点电荷等于每一个点
8、电荷单独存在时单独存在时在该点所产生的电在该点所产生的电势的势的代数和代数和。这一结论称作这一结论称作电势叠加原理电势叠加原理。 niioirq14 iiEE因因 aiaialdEldEU)(12 3.带电体电场中的电势带电体电场中的电势 第第二二种方法：按电势的定义式进行计算：种方法：按电势的定义式进行计算： 以上内容的学习重点：以上内容的学习重点：熟练掌握求电势、电熟练掌握求电势、电势差及电场力作功的方法。势差及电场力作功的方法。(用高斯定理求电场用高斯定理求电场) 带电体带电体rdqUo4 零势点零势点aadlEU& aaldEU 第第一一种方法：将带电体分为许多电荷元种方法：将带电体分
9、为许多电荷元dq(点电荷点电荷)，利用点电荷的电势公式积分，利用点电荷的电势公式积分:13解解)(oUU )(baabUUqA 0 UUo= oA+1= - - UoaqAoo aqo4a+q+q+q+q+q-qo 例题例题4.1 (1)正六边形边长正六边形边长a，单位正电荷，单位正电荷从从 到到中心中心o点，电场力的功为点，电场力的功为 -q (oa)。4 aqo 14Rqo4 )3(4Rqo Rqo 6RqqAooac 6 aU cURRaRo-q+qbc)(baabUUqA 解解 (2)点电荷点电荷qo从从a经半圆经半圆b移到移到c的过程中的过程中,电场力对电场力对qo的功为的功为-qq
10、o (6oR)。Rqo4 0 Rqo4 )(caoacUUqA 15RRaRo-q+qbc问问: qo从从abc, 电场力的功电场力的功A=?=0)(baabUUqA 0 aU)( UUqAaa16ABq,4AoArqU 解解或：或：无穷远为电势零点时有无穷远为电势零点时有BoBrqU4 cm10 Arcm20 BrA、B点间的电势差即为所求：点间的电势差即为所求：BoAoArqrqU44 = 45V 零势点零势点AAl dEU BArrodrrq24BoAorqrq 44dr (3) q=10-9C，A、B与与q相距分别为相距分别为10cm、20cm。取。取B点电势为零，求点电势为零，求A点
11、电势。点电势。17dLdLqo ln4 pU LddxdxLqo4xPdLqdxdqrqUo4 例题例题4.2 长长L的均匀带电直线段带电的均匀带电直线段带电q；求求P点的电势。点的电势。(取无穷远为电势零点取无穷远为电势零点) 解解 将带电直线分将带电直线分为许多电荷元为许多电荷元dq(点电点电荷荷)，利用点电荷电势公利用点电荷电势公式积分：式积分：18Uo=Rqo 4Rdqo 4 圆弧圆弧解解qoRdqRrqo 4 圆环圆环rdqo 4Up=RPxqrdq.oRqUoo4 .o 例题例题4.3 求圆弧圆心、圆环轴线上的电求圆弧圆心、圆环轴线上的电势。势。(取无穷远为电势零点取无穷远为电势零
12、点)19 Rorxrdr02242 rqUo4 Rorxrdr0222 )(222xRxo R0 .2 rdr4od pUxPddrr 例题例题4.4 求均匀带电薄圆盘求均匀带电薄圆盘( 、R)轴线轴线上任一点的电势。上任一点的电势。(取无穷远为电势零点取无穷远为电势零点) 解解 将圆盘分为若干个圆环将圆盘分为若干个圆环,利用圆环公式积分。利用圆环公式积分。20 例题例题4.5 一圆台一圆台(R1、R2)，侧面均匀带电，侧面均匀带电，电荷面密度为电荷面密度为 ，求顶点，求顶点o的电势。的电势。(取无穷远取无穷远为电势零点为电势零点)oR1R2rxdx 解解 rqUo4 2 rdx4ox pU2
13、1xx sindrdx )(212RRo ,rx sin 由于由于 212RRopdrU 得得21 解解 将平面分为若干个圆环积分。将平面分为若干个圆环积分。 xpoRxpoRdrr Eo412322)(/rx x 2 rdrR2322)(41/oRxxqE 圆环圆环:222Rxxo 例题例题4.6 一无限大平面一无限大平面( ), 中部有一半中部有一半径为径为R的圆孔，的圆孔，求求圆孔中心轴线上圆孔中心轴线上p的场强和的场强和电势。电势。 (取取o点的电势为零点的电势为零)22 xpoRxpoRdrrrqUo4 圆环圆环:RrPxq222RxxEo oppl dEU2202Rxxdxox )
14、(222xRRo 取取o点的电势为零点的电势为零, 求求p点点的的电势。电势。23 解解 ;E:Rr01 224rqE:Rro r R: 内内Ur R: 外外U RrdrE1 RdrE2Rqo4 rqo4 rdrE2 rl dE 例题例题4.7 求均匀带电球面求均匀带电球面(R、q)内外的电内外的电势分布。势分布。(取无限远处的电势为零取无限远处的电势为零 ) rrRqo 应当指出，应当指出，电势是空间坐标的连续函数。而电势是空间坐标的连续函数。而电场电场E 则未必是连续的。则未必是连续的。24:1Rr :21RrR )(34313Rr 24rqEo 内内23133)(rRro :2Rr 23
15、1323)(rRRo 例题例题4.8 均匀带电球壳均匀带电球壳(R1R2， )，求求各区域的电势。各区域的电势。 解解 R1R2o4or2E2=)(343132RR 4or2E3= 1E025 111RrdrEU 222RrdrEUoRR 2)(2122 rdrEU33R1 r R2:r R2: 212RRdrE 23RdrE 23RdrE)21(3231222rRrRoo rRRo3)(3132 ; 01 E;3)(23132rRrEo 2313233)(rRREo r R1:drEUaa R1R2orrr26Rrdr 1E24rodrrArr204 rR:drrArR204 244rARo
16、 2E24ro 例题例题4.10 一带电球体一带电球体(R， =Ar, A为常为常量量)；求；求: 球内外的电场和电势。球内外的电场和电势。 解解 (1)电场电场24rqEo 内内27(2)电势电势rR:drEURr 11drEUr 22drER 2ooAR)rR(A 412333 rARo 44 rR:2424rAREo RdrEUaa rr28 解解 (1) 设内外设内外圆筒单位长度分别带电圆筒单位长度分别带电 ，R1r0。 电势沿法线方向的变化率最大。电势沿法线方向的变化率最大。lUnU 我们定义：场中某点我们定义：场中某点电势梯度矢量电势梯度矢量的的方向为该点方向为该点电势增加率最大的
17、方向电势增加率最大的方向， 其大其大小等于沿该方向小等于沿该方向单位长度上的电势增量单位长度上的电势增量。 是沿等势面法线的单位矢量，方向指向是沿等势面法线的单位矢量，方向指向电势电势升高升高的方向。的方向。 neneUU+dU12Edldn ab36 cosEdl )cos(Edl nUE (gradient梯度梯度)UenUgradVn dUUUba 矢量微分算符（梯度算符）矢量微分算符（梯度算符）neUU+dU12Edldn ab bal dEEdn 于是有于是有UenUEn 37neUU+dU12Edldn ab电场强度电场强度E沿任一方向沿任一方向dl 的分量：的分量： cosnU
18、注意到注意到dn=dlcos , 于是有于是有lUEl )cos(EEl UenUEn 表明：静电场中任何一点的表明：静电场中任何一点的电场强度电场强度等于等于该点该点电电势梯度矢量的负值势梯度矢量的负值。 38zUEyUExUEzyx ,kzUjyUixUE lUEl U 梯度算符梯度算符zkyjxi 即即电场强度电场强度在任一方向的分量等于电势沿该方在任一方向的分量等于电势沿该方向上的向上的空间变化率空间变化率的负值。的负值。 在直角坐标系中，显然有在直角坐标系中，显然有 391.场强大的地方，电势一定高。场强大的地方，电势一定高。 6.场强不变的空间，电势处处相等。场强不变的空间，电势处
19、处相等。5.电势不变的空间，场强处处相等。电势不变的空间，场强处处相等。4.电势为零的地方，电场也一定为零。电势为零的地方，电场也一定为零。3.电场为零的地方，电势也一定为零。电场为零的地方，电势也一定为零。2.电势高的地方，电场一定大。电势高的地方，电场一定大。zUEyUExUEzyx ,问题：问题：40 例题例题4.13 求半径为求半径为R、均匀带电、均匀带电q的圆的圆环轴线上一点的电势和场强。环轴线上一点的电势和场强。 rqUop4 解解224Rxqo 2/322)(41RxxqxUEopx xqRrP0, 0 zUEyUEzy41解解xUEx yUEy 22y xy4 jEiEEyx )jxyiy(422 例题例题4.14 设空间电势分布为设空间电势分布为: U=2xy2, 求空间电场分布。求空间电场分布。 42 例题例题4.15 设空间电场分布为设空间电场分布为: 求空间电势分布。求空间电势分布。 jyxixyE)(222 解解xyxUEx2 xydxU2)(2yCyx dyydCxyUEy)(2 22yx 2)(ydyydC 43)(2yCyxU 2)(ydyydC oCydyyC 3231y)(oCyyxU 3231
