1、第五章第五章 动态元件与动态电路导论动态元件与动态电路导论包含动态元件的电路称为动态电路。包含动态元件的电路称为动态电路。元件的伏安关系涉及对电流、电压的微分元件的伏安关系涉及对电流、电压的微分或积分，则称这种元件为动态元件（或积分，则称这种元件为动态元件（dynamicdynamicelementelement）如电容、电感。）如电容、电感。5.1 5.1 电容元件电容元件5.2 5.2 电感元件电感元件5.3 5.3 动态电路导论动态电路导论5.4 5.4 动态电路的初始状态与初始条件动态电路的初始状态与初始条件5.5 5.5 一阶线性常系数微分方程的求解一阶线性常系数微分方程的求解1.
2、1. 电容元件的特性电容元件的特性l 重点：重点：2. 2. 电感元件的特性电感元件的特性返 回3. 动态电路方程的初始条件的确定动态电路方程的初始条件的确定下 页上 页返 回5.1 5.1 电容元件电容元件电容器电容器 在外电源作用下，正负电极上分别在外电源作用下，正负电极上分别带上等量异号电荷，撤去电源，电极上的电带上等量异号电荷，撤去电源，电极上的电荷仍可长久地聚集下去，是一种储存电能的荷仍可长久地聚集下去，是一种储存电能的部件。部件。_+ qqU电导体由绝缘材料分开就可以产生电容。电导体由绝缘材料分开就可以产生电容。注意返 回下 页上 页返 回1. 1. 定义定义电容元件电容元件储存电
3、能的两端元件。任何时储存电能的两端元件。任何时刻其储存的电荷刻其储存的电荷 q(t) 与其两与其两端的电压端的电压 u(t)能用能用qu 平面上平面上的一条曲线来描述。的一条曲线来描述。0)(),(tqtufuq库伏库伏特性特性o返 回下 页上 页返 回 任何时刻，电容元件极板上的电荷任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压与电压 u 成正比。成正比。qu 特性曲线是过原点的直线。特性曲线是过原点的直线。 Cuq quo2.2.线性非时变电容元件线性非时变电容元件tanuqC 电容电容器的器的电容电容如不加声明，电容都是指线性非时变电容如不加声明，电容都是指线性非时变电容返 回下 页上 页返 回
4、l 电路符号电路符号F (法拉法拉), 常用常用F，pF等表示等表示。l 单位单位1F=106 F1 F =106pFCui返 回下 页上 页返 回tuCtCutqidddddd3. 3. 电容的电压电容的电压电流关系电流关系电容元件电容元件VCR的微分形式的微分形式u、i 取关联取关联参考方向参考方向Cui Cuq 如不加声明，电容都是指线性非时变电容如不加声明，电容都是指线性非时变电容返 回下 页上 页返 回tuCidd当当 u 为常数为常数( (直流直流) )时，时，i =0。电容相当于开路，。电容相当于开路，电容有电容有隔断直流隔断直流作用；作用；表明Cu+q-q某一时刻电容电流某一时
5、刻电容电流 i 的大小取决于电容电压的大小取决于电容电压 u 的的变化率变化率,而与该时刻电压而与该时刻电压 u 的大小无关。电容是的大小无关。电容是动态元件；动态元件；返 回下 页上 页返 回实际电路中通过电容的电流实际电路中通过电容的电流 i 为有限值，为有限值，则电容电压则电容电压 u 必定是时间的连续函数。必定是时间的连续函数。i dtdu tiCt ud)(1)( 00d)(1d)(1 tttiCiC )(00d1 ttiCuttu0返 回下 页上 页返 回 )()(00d1 ttiCuutt某一时刻的电容电压值与某一时刻的电容电压值与-到该时刻的所到该时刻的所有电流值有关，即电容元
6、件有记忆电流的有电流值有关，即电容元件有记忆电流的作用，故称电容元件为记忆元件。作用，故称电容元件为记忆元件。表明研究某一初始时刻研究某一初始时刻t0 以后的电容电压，需以后的电容电压，需要知道要知道t0时刻开始作用的电流时刻开始作用的电流 i 和和t0时刻的时刻的电压电压 u（t0）。）。电容元件电容元件VCR的积的积分形式分形式返 回下 页上 页返 回当电容的当电容的 u，i 为非关联方向时，上述微为非关联方向时，上述微分和积分表达式前要冠以负号分和积分表达式前要冠以负号 ; ;注意上式中上式中u(t0)称为电容电压的初始值，它反称为电容电压的初始值，它反映电容初始时刻的储能状况，也称为初
7、始映电容初始时刻的储能状况，也称为初始状态。状态。 tuCidd )()(00)d1( ttiCuutt返 回下 页上 页返 回4.4.电容的功率和储能电容的功率和储能tuCuuipdd当电容充电，当电容充电， p 0, 电容吸收功率。电容吸收功率。当电容放电，当电容放电，p 0, 电感吸收功率。电感吸收功率。当电流减小，当电流减小，p0)+uCUsRCi+- -)(SCtuuRituCiddC例例RC电路电路返 回下 页上 页返 回)(SLtuuRi)(ddStutiLRi应用应用KVL和电感的和电感的VCR得得：tiLuddL若以电感电压为变量：若以电感电压为变量：)(dSLLtuutuL
8、RttutuuLRd)(dddSLL (t 0)+uLUsRi+- -RL电路电路返 回下 页上 页返 回有源有源 电阻电阻 电路电路 一个动一个动态元件态元件一阶一阶电路电路结论 含有一个动态元件电容或电感的线性电含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。一阶电路。返 回下 页上 页返 回)(ddddSCC2C2tuutuRCtuLC)(SCtuuuRiL二阶电路二阶电路tuCiddC2C2ddddtuLCtiLuL (t 0)+uLUsRi+- -CuCRLC电路电路应用应用KVL和元件的和元件的VCR得得： 含
9、有二个动态元件的线性电路，其电路方程含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。为二阶线性常微分方程，称二阶电路。返 回下 页上 页返 回一阶电路一阶电路一阶电路中只有一个动态元件一阶电路中只有一个动态元件, ,描述描述电路的方程是一阶线性微分方程。电路的方程是一阶线性微分方程。描述动态电路的电路方程为微分方程；描述动态电路的电路方程为微分方程；动态电路方程的阶数通常等于动态电路方程的阶数通常等于（化简后）（化简后）电路中动态元件的个数。电路中动态元件的个数。0)(dd01ttexatxa0)(dddd01222ttexatxatxa二阶电路二阶电路二阶电路中有二个
10、动态元件二阶电路中有二个动态元件, ,描述描述电路的方程是二阶线性微分方程。电路的方程是二阶线性微分方程。结论返 回下 页上 页返 回高阶电路高阶电路电路中有多个动态元件，描述电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。电路的方程是高阶微分方程。0)(dddddd01111ttexatxatxatxannnnnn动态电路的分析方法动态电路的分析方法根据根据KVL、KCL和和VCR建立微分方程；建立微分方程；返 回下 页上 页返 回复频域分析法复频域分析法时域分析法时域分析法求解微分方程求解微分方程经典法经典法状态变量法状态变量法数值法数值法卷积积分卷积积分拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法状
11、态变量法状态变量法付氏变换付氏变换本章本章采用采用 工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。返 回下 页上 页返 回稳态分析和动态分析的区别稳态分析和动态分析的区别稳态稳态动态动态换路发生很长时间后状态换路发生很长时间后状态微分方程的特解微分方程的特解恒定或周期性激励恒定或周期性激励换路发生后的整个过程换路发生后的整个过程微分方程的通解微分方程的通解任意激励任意激励SUxatxa01dd0 dtdx tSUxa 0直流时直流时返 回下 页上 页返 回 t = 0与与t = 0的概念的概念认为换路在认为换路在t=0时刻进行时刻进行0 换路前一瞬间换路前
12、一瞬间 0 换路后一瞬间换路后一瞬间5.4 5.4 动态电路的初始状态与初始条件动态电路的初始状态与初始条件)(lim)0(00tfftt)(lim)0(00tfftt初始条件为初始条件为 t = 0时时u ，i 及其各阶导数及其各阶导数的值。的值。注意0f(t)0()0( ff00)0()0( fft返 回下 页上 页返 回图示为电容放电电路，电容原先带有电压图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求求开关闭合后电容电压随时间的变化。开关闭合后电容电压随时间的变化。例例解解0ddccutuRC)0( 0tuRic特征根方程：特征根方程：01RCpRCp1通解：通解：oUk RCtptcke
13、ketu)(代入初始条件得：代入初始条件得：RCtoceUtu )( 在动态电路分析中，初始条件是得在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。到确定解答的必需条件。明确R+CiuC(t=0)返 回下 页上 页返 回d)(1)(tCiCtud)(1d)(100tiCiCd)(1)0(0tCiCut = 0+ 时刻时刻d)(1)0()0(00iCuuCCiucC+-电容的初始条件电容的初始条件0当当i()为有限值时为有限值时证：由于有限电流证：由于有限电流 i ic c 在无穷小区间内的积零，在无穷小区间内的积零，因此因此返 回下 页上 页返 回q (0+) = q (0)uC (0+)
14、 = uC (0) 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。q =C uC电荷电荷守恒守恒结论返 回下 页上 页返 回d)(1)(tLuLtid) )(1d)(100tuLuLd)(1)0()0(00uLiiLL电感的初始条件电感的初始条件t = 0+时刻时刻0d)(1)0(0tLuLi当当u为有限值时为有限值时iLuL+-返 回下 页上 页返 回L (0)= L (0)iL(0)= iL(0)LLi 磁链磁链守恒守恒 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电
15、感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保持不变。结论返 回下 页上 页返 回L (0+)= L (0)iL(0+)= iL(0)qc (0+) = qc (0)uC (0+) = uC (0)换路定律换路定律电容电流和电感电压为有限值是换路定电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。律成立的条件。 换路瞬间，若电感电压保持换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路前后保持不变。 换路瞬间，若电容电流保持换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。换路前后保
16、持不变。换路定律反映了能量不能跃变。换路定律反映了能量不能跃变。注意返 回下 页上 页返 回电路初始值的确定电路初始值的确定(2)由换路定律由换路定律 uC (0+) = uC (0)=8VmA2 . 010810)0(Ci(1) 由由0电路求电路求 uC(0)uC(0)=8V(3) 由由0+等效电路求等效电路求 iC(0+)iC(0)=0 iC(0+)例例1求求 iC(0+)电电容容开开路路+-10ViiC+uC-S10k40k+-10V+uC-10k40k+8V-0+等效电路等效电路+-10ViiC10k电容电容用用电电压源压源替代替代注意返 回下 页上 页返 回)0()0(LLuuiL(
17、0+)= iL(0) =2AV842)0(Lu例例 2t = 0时闭合开关时闭合开关k , ,求求 uL(0+)先求先求A24110)0(Li应用换路定律应用换路定律: :电电感感用用电电流流源源替替代代)0( Li解解电感电感短路短路iL+uL-L10VS14+-iL10V14+-由由0+等效电路求等效电路求 uL(0+)2A+uL-10V14+-注意返 回下 页上 页返 回求初始值的步骤求初始值的步骤: :1.1.由换路前电路（稳定状态）求由换路前电路（稳定状态）求uC(0)和和iL(0)；2.2.由换路定律得由换路定律得 uC(0+) 和和 iL(0+)。3.3.画画0+等效电路。等效电
18、路。4.4.由由0+电路求所需各变量的电路求所需各变量的0+值。值。b. b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。电容（电感）用电压源（电流源）替代。a. a. 换路后的电路换路后的电路（取（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。感电流方向相同）。小结返 回下 页上 页返 回iL(0+) = iL(0) = iSuC(0+) = uC(0) = RiSuL(0+)= - RiS求求 iC(0+) , uL(0+)0)0(RRiiiSsC例例3解解由由0电路得电路得：由由0+电路得电路得：S(t=0)+uLiLC+uCLRiSiCRiS0电
19、路电路uL+iCRiSRiS+返 回下 页上 页返 回V24122)0()0(CCuuA124/48)0()0(LLii例例4求求k k闭合瞬间各支路电流和电感电压闭合瞬间各支路电流和电感电压解解A83/ )2448()0(CiA20812)0(iV2412248)0(Lu由由0 0电路得电路得：由由0 0+ +电路得电路得：iL+uL-LS2+-48V32CiL2+-48V32+uC12A24V+-48V32+-iiC+-uL返 回下 页上 页返 回求求k闭合瞬间流过它的电流值闭合瞬间流过它的电流值解解 确定确定0值值A12020)0()0(LLiiV10)0()0(CCuu给出给出0等效电
20、路等效电路A2110101020)0(kiV1010)0()0(LLiuA110/ )0()0(CCui例例5iL+20V-10+uC1010iL+20V-LS10+uC1010C1A10Vki+uLiC+20V-10+1010返 回下 页上 页返 回t t0+ 0+ 时刻的电容电压和电感电流值为电路的初始状态。时刻的电容电压和电感电流值为电路的初始状态。初始状态初始状态求解电路微分方程所需求解电路微分方程所需t t0+ 0+ 时刻各电流电压值。时刻各电流电压值。初始条件初始条件返 回下 页上 页返 回电路的换路定则电路的换路定则证：由于有限电流证：由于有限电流 i ic c 在无穷小区间内的
21、积零，在无穷小区间内的积零，因此因此)()(1)()(00000tudiCtutuCttCC)()(,)()(0000tqtqtutuCCCC电容的换路定则电容的换路定则若换路瞬间电容电流若换路瞬间电容电流 i ic c 为有限值，则为有限值，则返 回下 页上 页返 回电感的换路定则电感的换路定则若换路瞬间电感电压若换路瞬间电感电压 u uL L 为有限值，则为有限值，则)()(,)()(0000tttitiLLLL返 回下 页上 页返 回根据换路前的电路求出根据换路前的电路求出 u uc c( (t t0 0- -) ) 和和 i iL L( (t t0 0- -) )。 初始状态与初始条件
22、的确定初始状态与初始条件的确定对对 t t0 0 等效电路求解，求出所需初始电流和电压。等效电路求解，求出所需初始电流和电压。根据下述方法画出根据下述方法画出 t t0 0 时刻的等效电路：时刻的等效电路：换路后的电路；换路后的电路；每一电感用一电流源替换，其值为每一电感用一电流源替换，其值为 i iL L( (t t0 0) )；每一电容用一电压源替换，其值为每一电容用一电压源替换，其值为 u uc c( (t t0 0) )；若独立源为时间函数，则取若独立源为时间函数，则取 t t0 0 时刻的函数值；时刻的函数值；依据换路定则确定依据换路定则确定 u uc c( (t t0 0) ) 和
23、和 i iL L( (t t0 0) )。返 回下 页上 页返 回例1：电路如图，已知电路换路前已达稳态，求 uc(0) 和 ic(0)。 uc5ViC(t=0)+-25K100K100K解：)(4510025100)0(VKKKuC由于换路瞬间 ic 不可能为无穷大（否则电阻上有无穷大电压，KVL将不成立。），因此VuuCC4)0()0(4 V1 0 0 K 1 0 0 K iC(0+)由0等效电路可求得)(08. 0)504()0(mAKiC返 回下 页上 页返 回例2：电路如图，已知电路换路前已达稳态，求 uL(0) 、 i (0)、 i1(0) 和iL(0)。 110V4(t=0)uL
24、+-ii1iL解：)(24110)0(AiL由于换路瞬间 uL 不可能为无穷大（否则4电阻有无穷大电流，KCL将不成立。），因此AiiLL2)0()0(110V4+-i1(0+)2Ai (0+)uL(0+)由0等效电路可求得Ai10)0(Ai8)0(1VuL8)0(返 回下 页上 页返 回5.5 5.5 一阶线性常系数微分方程的求解一阶线性常系数微分方程的求解一阶齐次方程的求解一阶齐次方程的求解 )11(0 Axdtdx)21()(00 Xtx其中其中 x(t) 为待求变量，为待求变量，A 及及X0 均为常数。均为常数。方程和初始条件方程和初始条件返 回下 页上 页返 回设设)31()(tse
25、Ktx则则)41()(tsesKdttxd将（将（1 13 3）、（）、（1 14 4）代入（）代入（1 11 1），得），得)51(0)( AseKts)61(0 As（1 16 6）式为微分方程的特征方程，其根称为微）式为微分方程的特征方程，其根称为微分方程的特征根或固有频率。可求得分方程的特征根或固有频率。可求得)71()(,tAeKtxAs求通解求通解（满足（满足（1 11 1）式且含有一个待定常数的解。）式且含有一个待定常数的解。）返 回下 页上 页返 回确定待定常数确定待定常数K K将初始条件（将初始条件（1 12 2）式代入通解（）式代入通解（1 13 3）式，得）式，得000)
26、(XeKtxts即即00tseXK 于是得到原问题的解。于是得到原问题的解。例：求解方程例：求解方程,05xdtdx2)0(x解：解： 特征方程特征方程05 s特征根特征根5s通解通解teKtx5)(代入初始条件，得代入初始条件，得2K原问题的解为原问题的解为tetx52)(返 回下 页上 页返 回)12(wBxAdtdx)22()(00 Xtx其中其中 x x( (t t) ) 为待求变量，为待求变量，w w( (t t) ) 为输入函为输入函数，数，A A、B B 及及X X0 0 均为常数。均为常数。方程和初始条件方程和初始条件解的结构解的结构: :（2 21 1）式的完全解由两部分组成
27、）式的完全解由两部分组成)32()()()(txtxtxph其中其中 x xh h( (t t) ) 为（为（2 21 1）式对应齐次方程的）式对应齐次方程的通解，通解，x xp p( (t t) ) 为（为（2 21 1）式的一个特解。）式的一个特解。一阶非齐次方程的求解一阶非齐次方程的求解返 回下 页上 页返 回求求 xh(t) 前已求得前已求得其中其中 s 为微分方程的特征根。为微分方程的特征根。tsheKtx)(求求 xp(t) 特解特解 xp(t) 的的 形式与输函数形式与输函数 w(t) 的形式有关的形式有关 w(t) xp(t) 的 形 式 P（ 恒 定 量 ） QPsinbt
28、或 Pcosbt（ P、 b 为 常 数 ） Q1sinbt+Q2cosbt或 Qsin(bt+)、 Qcos(bt+)将假定的将假定的xp(t) 代入（代入（21）式，可求得特定）式，可求得特定常数常数Q、（、（ Q1，Q2）、（）、（Q，）或（）或（Q，）。）。返 回下 页上 页返 回确定待定常数确定待定常数K求得求得 xh(t) 和和 xp(t) 后，将初始条件代入通解（后，将初始条件代入通解（23）式，可确定待定常数式，可确定待定常数K，从而得到原问题的解。，从而得到原问题的解。,18122xdtdx例：求解方程例：求解方程8)0(x解：特征方程解：特征方程0122s特征根特征根6stheKtx6)(设设Qtxp)(求得求得5.11218Q通解通解5.1)(6teKtx代入初始条件，得代入初始条件，得5.65.18K原问题的解为原问题的解为5.15.6)(6 tetx返 回下 页上 页返 回
