1、四、四、 旋转体的侧面积旋转体的侧面积 (补充补充)三、已知平行截面面积函数的三、已知平行截面面积函数的 立体体积立体体积第五节一、一、 平面图形的面积平面图形的面积二、二、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分在几何学上的应用 第五五章 表示为niiixfU10)(lim一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的2) U 对区间 a , b 具有可加性 , 即可通过“划分划分, 近似近似, 求和求和, 取极限取极限”baxxfd)(niiixf10)(lim定积分定义机动
2、 目录 上页 下页 返回 结束 一个整体量 ;二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ?第一步第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式xxfUd)(d第二步第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式Uxxfbad)(这种分析方法成为元素法元素法 (或微元分析法微元分析法)近似值精确值第二节 目录 上页 下页 返回 结束 一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(机动 目录 上页 下页
3、 返回 结束 边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd例例1. 计算两条抛物线22,xyxy在第一象限所围所围图形的面积 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由xy 22xy 得交点) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxy22oy4 xy例例2. 计算抛物线xy22与直线的面积 . 解解: 由xy224 xy得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy
4、442361y为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有yyyd42A机动 目录 上页 下页 返回 结束 abxoyx例例3. 求椭圆12222byax解解: 利用对称性 , xyAdd所围图形的面积 . 有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxdoyxababoyx一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 )()(tytx给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值21,tt则曲边梯形面积21d)()(tt
5、tttA机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(1axt对应)(1bxt对应例例4. 求由摆线)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20A机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoa22. 极坐标情形极坐标情形,0)(, ,)(C设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积 .)(r x d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值
6、为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应 从 0 变例例5. 计算阿基米德螺线解解:)0( aardd)(212a20A22a331022334a到 2 所围图形面积 . a2xOttadcos82042例例6. 计算心形线所围图形的面积 . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212223a心形线 目录 上页 下页 返回 结束 oxya心形线心形线(外摆线的一种)2222yxaxayx即)cos1 ( ar点击图中任意点动画开始或暂停 尖点:)0,0(
7、 面积:223a 弧长:a8参数的几何意义2coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a例例7. 计算心形线与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性 ,)0()cos1 (aar2221aA22221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa22245aa ar 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 a2sin2a例例8. 求双纽线所围图形面积 . 解解: 利用对称性 ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0则所求面积为42a思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆sin2ar 所围公共部分的面积 .2Adsin2
8、026ad2cos21462a机动 目录 上页 下页 返回 结束 yox44答案答案:二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称sdyxabo(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)
9、(12(P169)22)(d)(ddyxs机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 曲线弧由极坐标方程给出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :(自己验证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 )ch(cxccxccsh1例例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成悬链
10、线 .求这一段弧长 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(chx2shxxeex )(sh xxshxch机动 目录 上页 下页 返回 结束 cxbboy下垂悬链线方程为例例10. 求连续曲线段ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1
11、(22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoa2d222aa例例12. 求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解解:)0( aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as(P195 公式例2.14)212a21ln2102)412ln(24122aa小结 目录 上页 下页 返回 结束 三三、已知平行截面面积函数的立体体积、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAV
12、d)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 xabxxxd)(xA上连续,xyoabxyoab)(xfy 特别 , 当考虑连续曲线段2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时, 有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy机动 目录 上页 下页 返回 结束 ayxb例例13. 计算由椭圆12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程)(22axaxaaby则xxaabad)(220222(利用对称性)32
13、22312xxaab0a234aboaV02xy d2机动 目录 上页 下页 返回 结束 x方法方法2 利用椭圆参数方程tbytaxsincos则xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积.343a机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoa2例例14. 计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕 x 轴旋转而成的体积为xyVaxd202利用对称性利用对称性2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)co
14、s1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay机动 目录 上页 下页 返回 结束 )2(tu 令xyoa2a绕 y 轴旋转而成的体积为)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a注注注 目录 上页 下页 返回 结束 )(1yxx 分部积分对称关于2注注202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu
15、令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226a2柱壳体积说明说明: xxxdy也可按柱壳法求出yVyx2柱面面积xyxd2)cos1 ()sin(tayttax机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02偶函数yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇奇函数336a机动
16、目录 上页 下页 返回 结束 轴所围图及表示xtxxfytV)0(, )()(例例15. 设)(xfy 在 x0 时为连续的非负函数, 且 ,0)0(f形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 , 证明:. )(2)(tftV 证证:x)(xfxoytxxd利用柱壳法xxfxtVd)()(2d则xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故例例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,并与底面交成 角,222Ryx解解: 如图所示取坐标系, 则圆的
17、方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 oRxyxoRxy思考思考: 可否选择 y 作积分变量 ?此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 垂直 x 轴的截面是椭圆1)1 ()1 (22222222axaxczby例例17. 计算由曲面1222222czby
18、ax所围立体(椭球体)它的面积为)1 ()(22axcbxA因此椭球体体积为xbcaxd)1 (22cb20acba34特别当 a = b = c 时就是球体体积 .)(axaaV02x233axx的体积.Oazxycbox1 2yBC3A例例18. 求曲线132xy与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.(94 考研)解解: 利用对称性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋转体体积为V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxd)4(322122
19、xyoab四、旋转体的侧面积四、旋转体的侧面积 (补充补充)设平面光滑曲线, ,)(1baCxfy求上的圆台的侧面积位于d,xxxsySd2d积分后得旋转体的侧面积xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取侧面积元素:)(2xfxxfd)(12机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoab)(xfy abxxyo)(xfy abxsySd2d侧面积元素xyd2sdxdxyd2因为的线性主部 .若光滑曲线由参数方程)()()(ttytx给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积S 的 )(2ttttd)()(22S机动 目录 上
20、页 下页 返回 结束 注意注意:侧面积为xRyo例例19. 计算圆上绕在,21222RRxxxRyxx 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .解解: 对曲线弧,2122xxxxRy应用公式得212xxS22xR 2 122xRxxd21d2xxxR)(212xxR当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式24RS机动 目录 上页 下页 返回 结束 1x2xozyx例例20. 求由星形线一周所得的旋转体的表面积 S .解解: 利用对称性2022Sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32绕 x 轴旋转 星形
21、线 目录 上页 下页 返回 结束 taytax33sin,cos星形线星形线taytax33sin,cosa星形线是内摆线的一种.t点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停大圆半径 Ra小圆半径4ar 参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线)内容小结内容小结1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小21d)()(tttttAd)(212A机动 目录 上
22、页 下页 返回 结束 3. 已知平行截面面面积函数的立体体积baxxAVd)(旋转体的体积2)(yxA绕 x 轴 :4. 旋转体的侧面积sySd2d侧面积元素为(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)yxxA2)(绕 y 轴 :(柱壳法)(xyy ,)(轴旋转绕xxyy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .提示提示: 交点为, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧线段部分直线段部分)52ln()376ln(4155373s机动
23、 目录 上页 下页 返回 结束 以 x 为积分变量 , 则要分两段积分, 故以 y 为积分变量. 2. 试用定积分求圆)()(222bRRbyx绕 x 轴oxyRbR上上半圆为22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbRV02xdbR222求体积 :提示提示:方法方法1 利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .方法方法2 用柱壳法RbRVdy2x2ydRbRbV4oxyybyRyd)(22ybR222说明说明: 上式可变形为2RVb2d2bR 20机动 目录 上页 下页 返回 结束 上上半圆为,22xRby下下 y22xRx此式
24、反映了环体微元的另一种取法(如图所示). dd2bRV求侧面积求侧面积 :oxyRbRR02)(222xRbxyd12R02)(222xRbxyd12相同二者2yRb08xyd12bR24利用对称性RS2b2S机动 目录 上页 下页 返回 结束 上式也可写成d2bR20上上半圆为,22xRby下下 y22xRx它也反映了环面微元的另一种取法. 备用题备用题解：解：1. 求曲线所围图形的面积.1lnlnyx显然1ln,1lnyxyoxe1e1e11eeyeexe11,xln,ln x,ln xex 111xeyln,ln y,ln yey 111ye11xe11ye,1exy 中曲线为面积为同理
25、其它.eyx1exy exy exy S11dex)1(exexex1d)(exxe2121ee机动 目录 上页 下页 返回 结束 又故在区域分析曲线特点2. ) 1( xxyoyx解解:41)(221 x1A) 1( xxy与 x 轴所围面积1101d) 1(xxxA61,0时2A12d) 1(xxxA,21AA 由61213123,0)2131(2得0,2321由图形的对称性 ,211,2143也合于所求. 为何值才能使) 1( xxy.) 1(轴围成的面积及与于xxxxy与 x 轴围成的面积等机动 目录 上页 下页 返回 结束 故,0)(2r令3. 求曲线cos1ar 图形的公共部分的面积 .解解：与)sin(cos2 ar所围成)sin(cos2 ar得所围区域的面积为S0422d)(21r2221a0422d)sin(cos2a28a)22cos(22a4028a4) 1(2a4机动 目录 上页 下页 返回 结束 cos1ar o设平面图形 A 由xyx222与xy 所确定 , 求图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积 . 提示：提示： 选 x 为积分变量.旋转体的体积为V102d)2)(2(2xxxxx32212yox2114.机动 目录 上页 下页 返回 结束 若选 y 为积分变量, 则 V1022d)11 (2yy102d)2(yyxy
