1、第四节机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、函数的最值问题三、函数的最值问题函数的单调性与极值 第三三章 一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 二、函数的极值及其求法二、函数的极值及其求法一、一、 函数单调性的判定法函数单调性的判定法若定理定理 1. 设函数)(xf0)( xf则 在 I 内单调递增)(xf, )0)( xf(递减) .证证: 无妨设,0)(Ixxf任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0故. )()(21xfxf这说明 在 I 内单调递增.)(xf在开区间 I 内可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束 证
2、毕例例1. 确定函数31292)(23xxxxf的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的单调增区间为, ) 1,();,2()(xf的单调减区间为).2,1 (12xoy12机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxo说明说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .例如,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 机动 目录 上页 下
3、页 返回 结束 例例2. 证明20 x时, 成立不等式.2sinxx证证: 令,2sin)(xxxf,2,0()(上连续在则xf，上可导在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(内单调递减在因此xf从而2,0(,2sinxxx0)2()(fxf,2)(处左连续在又xf因此且证明 目录 上页 下页 返回 结束 * 证明0tanxx令,tan)(xxx则xx2sec1)(x2tan),0(,02x,),0()(2上递减在x从而0)0()(x即),0(,0tan2xxx二、函数的极值及其求法函数的极值及其求法定义定义:,),()(内有定义在设函
4、数baxf, ),(0bax ，的一个邻域若存在0 x在其中当0 xx 时, )()(0 xfxf(1) 则称 为 的极大点极大点 ,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 则称 为 的极小点极小点 ,0 x)(xf称 为函数的极小值极小值 .)(0 xf极大点与极小点统称为极值点极值点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点52,xx为极小点3x不是极值点2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1) 函数的极值是函数的局部性质.31292)(23xxxxf例如例如 (
5、单调性例单调性例1)1x为极大点 , 2) 1 (f是极大值 1)2(f是极小值 2x为极小点 , 12xoy12机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 1 (极值第一判别法极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1) )(xf “左左正正右右负负” ,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” ,.)(0取极大值在则xxf(自证)点击图中任意处动画播放暂停例例1. 求函数32) 1()(xxxf的极值 .解解:1) 求导数32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求极值可疑点令,0)( xf得;
6、521x令,)( xf得02x3) 列表判别x)(xf )(xf0520033. 0)0,(),0(52),(520 x是极大点， 其极大值为0)0(f是极小点， 其极小值为52x33. 0)(52f机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 (极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数 , 且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若则 在点 取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值 .)(xf0 x证证: (1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,
7、00时当xx0)(0 xxxf时，故当00 xxx;0)( xf时，当00 xxx,0)( xf0 x0 x0 x由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2) 类似可证 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求函数1) 1()(32 xxf的极值 . 解解: 1) 求导数,) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求驻点令,0)( xf得驻点1,0, 1321xxx3) 判别因,06)0( f故 为极小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf1xy1机动 目录 上页 下页
8、 返回 结束 定理定理3 (判别法的推广判别法的推广)阶导点有直到在若函数nxxf0)(,0)()()(0)1(00 xfxfxfn,0)(0)(xfn则:数 , 且1) 当 为偶数时,n,0)(0)(时xfn0 x是极小点 ;,0)(0)(时xfn0 x是极大点 .2) 当 为奇数时,n0 x为极值点 , 且0 x不是极值点 .)()()(000 xxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0 xfxf)(0nxxonnxxnxf)(!)(00)(当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定 ,0 xx故结论正确 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:
9、利用 在 点的泰勒公式 ,)(xf0 x可得例如例如 , 例2中1) 1()(32 xxf, )35(24)(2 xxxf0) 1( f所以1x不是极值点 .极值的判别法( 定理1 定理3 ) 都是充分的. 说明说明:当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 .例如例如:)(xf, )sin2(212xx,20 x0 x2)0(f为极大值 , 但不满足定理1 定理3 的条件.xy11机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 ,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到 .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求 在
10、内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别特别: 当 在 内只有一个极值可疑点时,)(xf,ba 当 在 上单调单调时,)(xf,ba最值必在端点处达到.若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .(小)机动 目录 上页 下页 返回 结束 )1292(2 xx1224)9(209681012922x
11、x )(xxf041x250 x041x250 x例例3. 求函数xxxxf1292)(23在闭区间,2541上的最大值和最小值 .解解: 显然, ,)(2541Cxf且)(xf, )1292(23xxx,129223xxx)(xf121862xx121862xx内有极值可疑点在,)(2541xf2, 1,0321xxx,3)(321941f,0)0(f,5) 1 (f,4)2(f5)(25f故函数在0 x取最小值 0 ;在1x及25取最大值 5., )2)(1(6xx, )2)(1(6xx412512xyO因此也可通过例例3. 求函数说明说明:)()(2xfx )(x求最值点.)(xf与最值
12、点相同 , 由于)(x令( 自己练习 )xxxxf1292)(23在闭区间,2541上的最大值和最小值 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( k 为某一常数 )例例4. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20AC AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货D 点应如何选取? 20AB100C解解: 设,(km)xAD x则,2022xCD)100(320522xkxky)1000( x, ) 34005(2xxky23)400(40052xky 令,0 y得 ,15x又,015 xy所以 为唯一的15
13、x极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,问DKm ,公路, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 用开始移动,F例例5. 设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上 , 受力 作P解解: 克服摩擦的水平分力cosFFx正压力sin5FFPygcosF)sin5(Fg即,sincos5gF, 02令sincos)(则问题转化为求)(的最大值问题 .F 为多少时才可使力F,25. 0设摩擦系数F问力与水平面夹角机动 目录 上页 下页 返回 结束 的大小最小?cossin)(sincos)( 令,0)(解得arctan25. 0arctan
14、214,0)( 而,)(214取最大值时因而 F 取最小值 .解解:FP即令则问题转化为求的最大值问题 .,sincos5gF, 02sincos)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 清楚(视角 最大) ? 观察者的眼睛1.8 m ,例例6. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于x4 . 18 . 1解解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则x8 . 14 . 1arctan,8 . 1arctanx),0(x222 . 32 . 3x228 . 18 . 1x)8 . 1)(2 . 3()76. 5(4 . 122222xxx令,0得驻点),0(4 . 2x根据问题的
15、实际意义, 观察者最佳站位存在 ,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .问观察者在距墙多远处看图才最机动 目录 上页 下页 返回 结束 存在一个取得最大利润的生产水平? 如果存在, 找出它来.售出该产品 x 千件的收入是例例7. 设某工厂生产某产品 x 千件的成本是解解: 售出 x 千件产品的利润为)()()(xCxRxp6123)(2xxxp得令,0)( xp586. 0221x问是否3)(xxC,1562xx ,9)(xxRxxx6623,126)( xxp又,0)(1 xp0)(2 xp故在 x2 = 3.414千件处达到最大利润, 而在 x1= 0.586千件处
16、发生局部最大亏损. y)(xp22Ox22)24(32xx414. 3222x说明说明：在经济学中)(xC称为边际成本)(xR称为边际收入)(xp称为边际利润由此例分析过程可见, 在给出最大利润的生产水平上, 0)( xp即边际收入边际成本（见右图）22yOx22xxxxC156)(23成本函数xxR9)(收入函数)()(xCxR即收益最大亏损最大1. 可导函数单调性判别Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递增Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递减内容小结内容小结2. 连续函数的极值(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点(2) 第一充分条件)(xf 过0 x由正正变负负)(0
17、xf为极大值)(xf 过0 x由负负变正正)(0 xf为极小值(3) 第二充分条件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf为极大值)(0 xf为极小值0)(,0)(00 xfxf(4) 判别法的推广 ( Th.3)定理3 目录 上页 下页 返回 结束 最值点应在极值点和边界点上找 ;应用题可根据问题的实际意义判别 .3. 连续函数的最值思考与练习思考与练习 1 ,0上,0)( xf则, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或) 1 ()0(ff的大小顺序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()
18、(ffffC)0() 1 ()0() 1 ()(ffffD提示提示: 利用)(0)(xfxf 单调增加 ,) 10()()0() 1 (fff及B1. 设在2. 设, 1)()()(lim2axafxfax则在点 a 处( ).)()(xfA的导数存在 ,；且0)( af)()(xfB取得极大值 ;)()(xfC取得极小值;)()(xfD的导数不存在.B提示提示: 利用极限的保号性 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 设)(xf在0 x的某邻域内连续, 且,0)0(f,2cos1)(lim0 xxfx则在点0 x处).()(xf(A) 不可导 ;(B) 可导, 且;0)0( f(C)
19、取得极大值 ;(D) 取得极小值 .D提示提示: 利用极限的保号性 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 设)(xfy 是方程042 yyy的一个解,若,0)(0 xf且,0)(0 xf则)(xf在)(0 x(A) 取得极大值 ;(B) 取得极小值 ;(C) 在某邻域内单调增加 ;(D) 在某邻域内单调减少 .提示提示:,)(代入方程将xf0)(4)(00 xfxfA机动 目录 上页 下页 返回 结束 得令,0 xx 试问 为何值时,axxaxf3sin31sin)(32x在时取得极值 ,还是极小.解解: )(xf由题意应有)32(f2a又 )(xf)32(f )(xf取得极大值为3)(32f备用题备用题 1.,3coscosxxa)32(3cos)32cos(a0,3sin3sin2xx 0求出该极值, 并指出它是极大机动 目录 上页 下页 返回 结束 上的在 1 ,0)(xf试求，设Nnxxnxfn,)1 ()().(limnMn解解:)(xf,0)( xf令内的唯一驻点得) 1 ,0() 1(1 )1 (1xnxnn2. nxn)1 ( 1)1 (nxnxn机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,)(由增变减通过此点时易判别xfx及最大值)(nM故所求最大值为1)1(nnn)11()(nfnM)(limnMn1 e1)111 (limnnn11nx
