1、误差理论与测量平差基础孙海燕武汉大学测绘学院第一章 绪论 武汉大学测绘学院 孙海燕测量：通过对某些量进行观测，以获得 该量或其函数的值例1：获得AC间距离及高差的数值 观测斜距 及垂直角 ,则ABScosABACSSsinABSh 例2：观测AB间的高差21hhhhABAB例3：观测三角形三个内角180第一章 绪论问题1：如何发现误差 武汉大学测绘学院 孙海燕问题2：如何评价误差的大小问题3：误差传播的规律性问题4：如何处理因误差引起的矛盾问题5：如何设计观测方案使测量结果 满足预定的要求第一章 绪论第一节 观测误差 武汉大学测绘学院 孙海燕一、误差来源1、测量仪器：钢尺的刻划；经纬仪三轴误差
2、 水准仪水准轴与视准轴不平行（ 角误差）2、观测者：整平、对中、照准、读数等3、外界条件：温度、湿度、风力、大气折光等通过比较发现误差：0180w0dLL0LLi第一章 绪论 武汉大学测绘学院 孙海燕误差的大小二、观测误差分类：1、偶然误差：误差大小与符号呈偶然性 单个误差无规律，大量误差具有统计规律性2、系统误差：误差大小与符号具有规律性3、粗差：离群值。由于异常或错误造成观测条件：测量仪器、观测者、外界条件 三方面因素的综合观测条件的优劣观测质量的高低第一章 绪论第二节 测量平差学科的研究对象 武汉大学测绘学院 孙海燕测量平差研究对象:误差 LLgsnL被观测量的真值 ，观测值 ，观测值的
3、真误差L偶然误差 ，系统误差 ，粗差gsn测量平差假定：0, 0gs研究内容：偶然误差的性质、传播规律、数值的估计测量平差的应用：技术设计、作业指导、成果评价 1、平差准则 1） （ 最小） 1757年，R. J. Boscovich 提出，采用几何解法 1793年，P. S. Laplase 采用，给出代数解法 1809年，Gauss，指出 解的特点 80年代前未广泛采用（计算困难，稳健估计） 绪论 武汉大学测绘学院 孙海燕min|iv1Lmin|iv第三节 测量平差的简史和发展 2） （ 最小） 1749年，L. Euler ，提出相关概念 1786年，P. S. Laplase 明确表示
4、并使用 计算困难，受粗差影响大（函数逼近理论） 3） （ 最小，最小二乘） 1794年，Gauss提出（谷神星轨道，未发表） 1806年，A. M. Legendre提出（彗星轨道） 计算简单（解线性方程组）绪论 武汉大学测绘学院 孙海燕min|maxivLmin2iv2L 4） （ 最小） Minkowski 范数 当 时，平差方法具有稳健性 5）平差准则的分类 极大似然准则 贝叶斯准则绪论 武汉大学测绘学院 孙海燕)1 (min|pvpipL)1 ()|(1pvppi21 p 2、误差理论 概率论与数理统计 误差理论：独立的偶然误差及其传播规律 系统误差 消除或补偿 粗差 不存在（剔除）
5、引入概率论、数理统计、随机过程（随机序列） 观测值的概念广义化 独立观测值的函数（相关平差 ） 随机参数的先验期望（滤波、配置）绪论 武汉大学测绘学院 孙海燕 3、矩阵理论的引入与计算机技术的应用 研究方向发生变化 研究领域大大拓展 公式简洁认识深刻 应用范围极其广泛 绪论 武汉大学测绘学院 孙海燕第一章 绪论第四节 本课程的任务和内容 武汉大学测绘学院 孙海燕测绘学科的基础理论本课程的主要内容偶然误差 理论：误差特性、误差传播、精度指标最小二乘原理：函数模型、随机模型、平差准则平差的基本方法测量平差结果的分析评价测量工程的分析工具本课程的地位：第二章 误差分布与精度指标第一节 随机变量的数字
6、特征 武汉大学测绘学院 孙海燕定义：数学期望的性质（运算规则）1、一、数学期望CCE)(CdxxfCdxxCfCE)()()(2、)()(XCECXE)()()()(XECdxxxfCdxxCxfCXEdxxxfXE)()(1)(iiipxXE), 2 , 1()(ipxXPiixdxxfxXPxF)()()(第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕类似3、)()()(YEXEYXE)()()()(),(),(),(),(),()()(21YEXEdyyyfdxxxfdydxyxfydxdyyxfxdxdyyxyfdxdyyxxfdxdyyxfyxYXE 4、若 独立，则niini
7、iXEXE11)()(YX,)()()(YEXEXYE)()()()()()(),()(2121YEXEdyyyfdxxxfdxdyyfxxyfdxdyyxxyfXYE 第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕定义：方差的性质（运算规则）1、二、方差12)()(iiipXExXD), 2 , 1()(ipxXPiidxxfXExXD)()()(2xdxxfxXPxF)()()(0)(CD0)()(22CCECECECD2、)()(2XDCCXD)()()()()(22222XDCXEXECXCECXECXECXECXD)()(2XEXEXD第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学
8、院 孙海燕类似有3、)()()(22XEXEXD4、若 独立，则niiniiXDXD11)()(YX,)()()(YDXDYXD)()()()()(2)()()(2)()(2222222XEXEXEXEXEXEXEXXEXEXEXEXD)()()()()()()()()()()()()()()(2222YDXDYEYXEXEYDXDYEYXEXYEYXEXEYEXEYXEYXEYXEYXD第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕定义：若 ，则称 不相关三、协方差YX,YXXYXYYDXD)()()()(),cov(YEYXEXEYXXY0XY 独立 不相关YX,YX,四、相关系数1
9、1由施瓦茨不等式得第二章 误差分布与精度指标第二节 正态分布 武汉大学测绘学院 孙海燕1、中心极限定理：大量独立随机变量之和的极限分 布为正态分布。误差正是大量误差因素的累积 2、实验数据表明，偶然误差服从正态分布 3、正态分布是多元统计分析的基础 构造抽样分布的基础是正态分布概述第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕一、一维正态分布（钟形分布、高斯分布）)(21exp21)(22xxf数字特征)(XE2)(XD概率密度函数X随机变量 服从正态分布记为),(2NXxdxxxXPxF)(21exp21)()(22分布函数标准正态分布) 1 , 0(NX第二章 误差分布与精度指标 武
10、汉大学测绘学院 孙海燕随机变量 值落在区间 中的概率所以,baXbadxxbXaPaFbF)(21exp21)()()(22kkdxxfkXkP)()(%3 .68)(XP%5 .95)22(XP%7 .99)33(XP第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕二、 维正态分布的概率设随机向量 服从正态分布，其联合概率密度为n)()(21exp|)2(1)(1212XXXTXXXnxDxDxfTnXXXX21)()()(2121nnXXEXEXE式中2222122121211nnnnnXXXXXXXXXXXXXXXXXD第二章 误差分布与精度指标第三节 偶然误差的规律性 武汉大学测绘
11、学院 孙海燕一、符号说明iLnnLLLL211 ,)()()()(21nLELELELE设对真值为 的被观测量进行 次测量，得n观测值 ，观测误差为 ，即iLiiiiLL 通常记nnLLLL211 ,nn211 ,即LL 若只有偶然误差，则LLE)(第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕二、实验数据分析)358, 2 , 1()(180321iLLLii考察三角形闭合差第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕作误差分布直方图n第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕)421, 2 , 1()(180321iLLLii考察三角形闭合差第二章 误差分布与精度指
12、标 武汉大学测绘学院 孙海燕作误差分布直方图n第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕三、偶然误差的特性1）有界性：超过一定限值的误差出现的概率为零2）单峰性：小误差出现的概率大，大误差出现的 的概率小3）对称性：正负误差出现的概率相同4）偶然误差的数学期望为零01lim1niinn0)(E第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕四、偶然误差是服从正态分布的随机变量1、观察直方图，令n0d2、应用中心极限定理3、由偶然误差特性及平均值公 理导出正态分布的密度函数222121)(ef0)(E2)(D), 0(2N第二章 误差分布与精度指标第四节 衡量精度的指标 武汉大学测
13、绘学院 孙海燕精度：误差分布的密集 程度（离散程度）kkdfkkP)()(%3 .68)(P%5 .95)22(P%7 .99)33(P标准差越小误差分布越密集分布密集 精度高 观测质量好 观测条件好(群体性概念)第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕一、方差和中误差 是误差曲线的拐点dxxfXExXD)()()(2dfED)()()(222)(D标准差或中误差nniin122lim对相同条件下得到的), 2 , 1(niinnii122第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕二、平均误差dfE)(|)(|由nniin1|lim2212)(|0222dedf54797
14、9. 045253. 1nnii1|得另定义第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕三、或然误差21)(df326745. 0234826. 1定义4141i将 由小到大排列得 )()2()1(,n)4/(1n)4/3(2n)(2121第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕例2-1（P18） 0 .184276L1L1212L222 |1L1212L222 |158. 13065.74293. 03086.25146. 1309 .43281. 0304 .24105. 1 262. 0 ) 32(第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕四、极限误差通常取
15、 或 作为极限误差，即2限2%5 .95)22(P%7 .99)33(P33限当观测误差大于限差时认为观测值是错误的五、相对误差NL1定义：NL1NL1应用（略）第二章 误差分布与精度指标第五节 精度、准确度与精确度 武汉大学测绘学院 孙海燕一、精度： 误差围绕其数学期望 分布的密集程度)()()()()()(22LDdLLfLELdfED精度：观测值围绕其数学期望分布的密集程度缺陷：不一定反映观测值围绕其真值分布的密集程度)0)()(ELLE第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕1、观测向量的精度指标 ：方差 - 协方差阵 为 的方差 - 协方差阵 ，式中设随机向量 ，数学期望
16、为TnXXXX21定义2222122121211)()(nnnnnXXXXXXXXXXXXXXXTXXXEXXEXEDTnXEXEXEXE)()()()(21X)()(jjiiXXXEXXEXEji第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕设 的 数学期望为 ，记)(),(YEXE2、互协方差阵YYYXXYXXrnrnZZDDDDD,1 ,1 ,rnYXYXZrn1 ,则其中TYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXrnXYDDrnnnrr212221212111,)()(TXYYEYXEXED第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕定义：)(XEX 二、准确度（准度）准
17、确度为衡量系统误差的指标定义：)()(2XXEXMSE三、精确度（均方误差）22222)()(2)()()()()(XXXEXEXEXXEEXEXEXXEXEXEXMSE)()(TXXXXEXMSE对向量有：第二章 误差分布与精度指标第六节 测量不确定度 武汉大学测绘学院 孙海燕观测误差服从正态分布时当误差不服从正态分布时，对表达式%5 .95)22(P%7 .99)33(PpUUP)(21须同时给出区间 及概率,21UUp,21UU称 为测量不确定度区间第二章 误差分布与精度指标本章小节 武汉大学测绘学院 孙海燕衡 量 精 度 的 指 标精 确 度准 确 度精 度粗 差系 统 误 差偶 然 误 差随 机 误 差绝 对 误 差相 对 误 差极 限 误 差或 然 误 差平 均 误 差方 差中 误 差真 误 差测 量 误 差（ 观 测 误 差 ）误 差名词
