1、Chapter 4 =4.1以下有理函数是否为功率谱密度函数的正确表达式？为什么？（1）33262是，因为是偶数，（2）) 1(exp2否，非偶数(3）)(142否，因为0是负数(4)6241j否，非实数4.2求 4.1 题中正确的功率谱密度表达的自相关函数和均方值4.3 求随相正弦信号)t(cos) t (X的功率谱密度，0为常数，)2 , 0(上均匀分布。解：)(cos21)(cos)(2t(cos21)(t(cos)t(cosE)(R00000XE)()(21)(21)(1)(cos21)(00)()(00000deedeeedeGjjjjjj4.4 求)t(cos) t (XY(t)0
2、的自相关函数和功率谱密度，0为常数，)2 , 0(上均匀分布，且与 X(t)独立。解：)(cos)(R21)(cos)(2t(cos)(R21)(t(cos)t()cosX(t)X(tE)(R0X00X00YE)(G)(G41)(R41)(R41)(cos)(R21)(0X0X)()(XX0X0000deedeeedeGjjjjjjY4.5已知平稳过程的功率谱密度为23)(242G求平稳过程的均方值解：2; 12123)(22242BABAGeededeRjjY22224221)2211(212321)(4.6已知平稳过程 X(t)的自相关函数为：,e)(RX求其功率谱密度，并作图。解：220
3、)(0)()(0)(02)()()(1)(1e)(1e)(1eee)(jjjjjjjjdddeGjjjjjY4.7 已知平稳过程 X(t)的自相关函数为：,cose)(R0X求其功率谱密度，并作图。解： （一）22022022022000000)(0)(00)(0)(00)()()()(0)(0)(00)()()(2)(221)(1)(121)(1)(121e)(1e)(121e)(1e)(121)ee(21)ee21e )ee(21)ee(e21cose)(000000000000jjjjjjjjdddddeGjjjjjjjjjjjjjjjY解： （二）2202200X0XX0Y22XX)(
4、)()(G)(G21)(Gcose)(R2)(G,e)(R：，由频谱搬移性质可得；得由4.8已知平稳过程 X(t)的自相关函数为：othersTTT01)(RX求其功率谱密度，并作图。解： （一）222000-)2/()2/(sin)cos1 (2sin2sin2sin2cos2sin2cos121)(R)G(TTTTTdTTTTTdTTdTdeTdeTTTjTTj解解(2) 利用付氏变换的微分性质：利用付氏变换的微分性质： 0011)(TTTTR)(1)(2)(1)(TTTTTR )(2sin421)(22RFjTTTeeTRFTjTj 222222sin/2sin4)( TTTjTTRF4
5、.9 已知平稳过程 X(t)，求 Y(t)=A+B X(t)的功率谱密度，A，B 为常数解：)(RB2A)(RB)EABX(tEABX(t)A)BX(tABX(t)AE)(RX2X2X22YABm)()(2A2)(RB2A)(2X2X2X2XjYGBABmdeABmG4.10 求自相关函数为)(pcos)(04R的随机过程的功率谱密度，并求其平均功率。解：)4()2(4)(6)2(4)4(16p46416p16ppcos)(00004224404X000000deeeeedeeedeGjjjjjjjjj平均功率为 P4.11 已知平稳过程 X(t)的功率谱密度为：others001)(G求 X
6、(t)的相关函数解：)(sinsin)(212121)(21)(000000X000000saeejejdedeGRjjjjj4.12 已知平稳过程的相关函数为：,cos2cose4)(RX求功率谱密度。解：2202200)(2)(cose)(deGjY)2()2()(4)(4cos2cose4)(2222deGjY4.13)()()(2)()()()()()()()()()()()()(11111111XXXYRRRtXtXEtXtXEtXtXEtXtXEtXtXtXtXER111cos1)(2)()()(2)()()(2)()(11XjXjXXjXXXYYGeGeGGdeRRRRFG4.1
7、4若系统得输入过程 X(t)为平稳过程，系统输出为：)()(X) t (YtXt求证 Y(t)的功率谱密度为：)cos1)(2)(XYGG证明：)()()(2)-t (X)t (X)-t (X) t (X)(0000XXXRRRER)cos1)(2)()()(2)()()(2)(0)(0)(0000000XjXjjXjXjXXXYGdeRedeReGdeRRRG4.13 设平稳过程 X（t）的功率谱密度为otherwise10)0101 (20)(8)(GX求)(RX解： 由付氏变换性质可得：)5sin11 (4110cos44sin410sin2010sin204cos10110sin204
8、)(G21)(R222100100XXdddej4.15设平稳过程)t(acos) t (X， 式中 a 为常数，,统计独立随机变量， 其中)(p)(p),(上均匀分布。证明：)(G2Xpa）证明：dGxdpdpER)()(cos21)(a)(cos21)()(cos2a)(cosE2a)(cosE2a)2)(2t(cosE2a)(cos)2)(2t(cosE2a)(t(acos)t(acos)(2222224.16随机过程：)(BY) t (AX) t (Wt，A，B 为使常数，X(t),Y(t)宽联合平稳。（1）求)(SW（2）如果 X(t),Y(t)不相关，求)(SW（3）求互谱密度)(
9、GXY解：)()()()()()()()()(22YXXYYXABRABRRBRAtBYtAXtBYtAXER)(2)(2)()()(22YXXYYXZABRABRRBGAGYXYXmABmRBRAtBYtAXtBYtAXER2)()()()()()()(22YXYXZmABmRBGAG4)()()(22);()()();()()(YYZYZXZXXZBRAGGBRAGG4.17设平稳过程)t(cos) t (XY(t)，式中0为常数，)(tX,统计独立，)2 , 0(上均匀分布。（1）证明 Y(t)为平稳过程（2）)t( (cos) t (XW(t)0也是宽平稳证明： 0)t(cos) t
10、(X)t(cos) t (X)(YE00EEEt 00000cos)(21)t (cos)t(cos)t (X) t (X)t (cos)t (X)t(cos) t (X)(XYREEER所以是宽平稳过程（2） 0)t( (cos) t (X)t( (cos) t (X)(YE00EEEt )(cos)(21)t ( )( (cos)t( (cos)t (X) t (X)t ( )( (cos)t (X)t( (cos) t (X)(00000XYREEER所以也是宽平稳过程（3）)() t(cos)() t(cos)2)t(2(cos)()(t(cos)t( (cos)()(t(cos)t (X)t( (cos) t (X)()()()()()(t(cos)t (X)(t( (cos)t (X)t(cos) t (X)t( (cos) t (X)(000000000000tfRERERERRRRRERXXXWYWYYWYWY所以不是宽平稳过程
