1、1 举例说明什么是随机过程，并给出随机过程的分类：举例说明什么是随机过程，并给出随机过程的分类：答：统计过程研究的对象是随机变量。随机变量的特点是：在每次实验的结果中，以一定的概率取某个事先未知但为确定的数值。在通信和电子信息技术中，常常涉及在实验过程中随着时间而改变的随机变量。例如接收机的噪声电压就是随时间而随机变化的。我们把这种随时间而变化的随机变量称为随机过程或随机信号。分类：按时间和状态：分类：按时间和状态：1 连续型随机过程 2 离散型随机过程 3 连续随机序列 4 离散随机序列； 按样本函数的形式按样本函数的形式： 1不确定随机过程 2 确定随机过程；按随机过程的统计特性按随机过程
2、的统计特性、分布函数的不同分布函数的不同：平稳随机过程、高斯过程、白噪声、独立增量过程、独立随机过程和马尔可夫过程等。2.712311( ,)1,( ,)sin ,( ,)cos( )( , ).XX tX tt X ttX tRt t随机过程由三条样本函数曲线组成，并以等概率出现，求E和解：( )X t的三条样本函数曲线以等概率出现，则各实现出现的概率为：123( )()()PPP=13则1122331( )()( ,)()( ,)()( ,)(1sincos )3E X tPX tPX tPX ttt1212121212121( ,)( )( )(,)(1sinsincoscos)3XRt
3、 tE X t X tx x P x xtttt2.9000222cos()sin(),AB,AtBt随机过程X(t)=为常数， 和 互相独立的高斯变量，而且EA=EB=0,EA =EB =求X(t)的均值和自相关函数。解：由已知得2(0,)AN，2(0,)BN则：0000( )cos()sin()cos() sin()0E X tE AtBtE AtE Bt12120 10 10 20 222220 10 20 10 20 10 20 10 22012( , )( )( )cos()sin()cos()sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin()si n(
4、)cos()XRt tE X t X tEAtBtAtBtE AttBttttBtttt3.1( )()( )XdRdX tE X tdtd若平稳随机过程X(t)的导数存在，求证：解：000()()()( )( )()( )( )()( )()limlimlimtXXttdX tX ttX tE X tE X tdttRtRX t X ttX t X tEtt 3.12AA24随机过程X(t)为A=cos( t+ ),式中为统计独立的随机变量， 的均方值为 ，方差为 ， 在（- ， ）上均匀分布， 在（-5，5）上均匀分布，X(t)是否平稳？是否有各态历经性？并求自相关函数解：1 平稳性平稳性
5、22121212512212152( )cos() cos()0( )( )cos()cos() cos()cos()114sin58cos ()2cos()4cos()2105( )(0)4XE X tE AtE A EtE X t X tE AttE A EttEtttttt dE XtR 由此可知X(t)是宽平稳的。2 各态历经性各态历经性11cossin( )( )cos()0( )22limlimlimTTTTTTTATX tX t dtAtdtE X tTTT则均值具有各态历经性。221( )()cos()cos ()cos( )22limTXTTAX t X tAttdtRT则自
6、相关函数不具有各态历经性，所以X(t)不具有宽各态历经性。34sin5( )5XR自相关函数为：4.152( )cos(),( )(),( ).XX tatappp设平稳随机过程为常数， 在（0，2 ）上均匀分布， 也是随机变量并且与 相互独立，求证X(t)的功率谱密度为G ( )=a解：随机过程 X（t）的自相关函数为2222( ,)( )()cos()cos ()coscos(22 )(cos)cos( )222XRt tE X t X tE attaaaEtEpd 222cos()2( ,)( )( )( )4422( )42j tj tj tj tj tj tXj teeaaRt teepdepdepdaepd因为所以（）由维纳-辛钦定理可得：22( )22 ( )( )4XaGpap
