1、第三章， 平稳随机过程的 n 维概率密度不随时间平移而变化的特性， 反映在统计特征上就是其均值不随时间的变化而变化，mx 不是 t 的函数。同样均方值也应是常数。 （2）二维概率密度只与 t1,t2 的时间间隔有关，而与时间起点 t1 无关。因此平稳过程的自相关函数仅是单变量 tao 的函数。则称他们是联合宽平稳的。第三章Chapter 3 =3.2 随机过程 t为 tcosAt0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为 02222aeaaPaA，20，在上均匀分布，与是两个相互独立的随机变量，0为常数，试问 X(t)是否为平稳过程。解：由题意可得: 0021210200222220 002222
2、dtcosdaeaadadeatcosataa 120212021202021202022212020220210120220222020100222222002010212121221122102122121212212122222222222222ttcosttcosttcosdettcosdaeeattcosdeadttcosttcosadeadtcostcosdaeaadadeatcosatcosattttRaaaaaaa ）（，可见 t与 t 无关，21ttR，与 t 无关，只与12tt 有关。 t是平稳过程另解： )(cos()cos()(cos()cos(),(;)cos()co
3、s( ttEAEttAEttRxAEtEAEtAEt0020020000 )cos()cos()cos( 0200022222AEtEAE t是平稳过程3.3设 S(t) 是一个周期为 T 的函数，随机变量在（0，T）上均匀分布，称 X(t)=S（t+） ,为随相周期过程，试讨论其平稳性及各态遍历性。解：)()()()()(),(tan)()()()()()()( RdSTdSTdttSTdTttSttttRtconsdxxSTdxxSTdSTdtSTdTtSdTtStTtTTTTTTtTTT 0t000t00)S(1)S(1)S(11)S()S(S(E111111 )S(EtEX t是平稳过
4、程3.4设 X(t)随相周期过程, 图？给出了其一个样本函数， 周期 T,幅度 a 都是常数， t0 为 （0，T）上均匀分布。求均值。解：样本函数为：4TnTt8TnTt)nT4T-t -(tT8a8TnTtnTt)nTt -(tT8a) t (x000000tt8a)8T(T/8)-T4a)4Tt-(t)t-(tT4a)dt4Tt-(t)dtt-(tT8ax(t)dtT1)t (XE222T/8- tT/4- t20tT/8- t202T/8-tT/4t00tT/8-t00200000 otherwise0tXE )(3.6 随机过程)t(Acos) t (X0A 或为随机变量或不是，式中
5、0为常数，)2 , 0(上均匀分布，求： （1）时间自相关函数及集自相关函数。 （2）A 具备什么条件两种自相关函数才相等。解：(1) 集自相关)(cos21)tt(cos21)tt(cos)2tt(cosEAE)t(cos)t(cosAE)t ,t (R02210221021022010221AEAE（2）时间自相关22)(dt)()(limdt)()(lim)(TTTTTT0200020002cosAcostcos2T21AtcostcosA2T1R22AAE时， 即 A 为常数时，两者相等。3.7 随机过程BcostAsint) t (X式中，A，B 均为零均值的随机变量，求证：X(t)
6、 是均值各态历经，而均方值无各态历经性。解：EX(t)=0EBcostEAsintBcostEAsint0BcostdtAsint21X(t)E20tcosEBtsinEAostsint2EAEBctcosEBtsinEABcostAsintE(t)EX2222222222)(222202BA41dtBcostAsint21(t)XE故，X(t)均值各态遍历，均方值则非。3.8 设 X(t) 与 Y(t)为统计独立的平稳过程，求证他们的乘积构成的随机过程 Z(t)=X(t)Y（t）也是平稳的。解：YXmmtEt)Y)t (XE)Y) t (XE)t (ZE（ )t ,t (R)t ,t (R)
7、Y(tY(tE)X(tX(tE)Y(t)X(t)Y(tX(tE)t ,t (R21Y21X2221221121Z t是平稳过程3.9 设 X(t) 与 Y(t)为单独和联合平稳，求：（1）Z（t）=X(t)+Y(t)的自相关函数（2）X(t)与 Y（t）统计独立时的结果（3）X(t)与 Y（t）统计独立时且均值为零时的结果。解： )()()()(),( XYXYYX22212121221121ZRRRR)Y(tY(t)Y(tX(t)X(tY(t)X(tX(tE)Y(t)X(tY(t)X(tEttR YXZm2mRRR )()()( YX)()()( YXRRRZ 3.10 平稳过程 X(t)的
8、自相关系数为：cos3cos4e)(RX（1）求 EX2(t)和2（2）若将正弦分量视为信号，其他为噪声，求功率信噪比解：（1）50R1lim5140R)t (XE2X222X2mTmT）（）（ cos3RS )(;10RS )( cos4RN e)(；40RN )(41/ NS3.12 随机过程 X(t)为：)t(Acos) t (X，式中 A,0,统计独立随机变量， 其中 A 的均值为 2，方差位 4，),(上均匀分布。5 , 5 上均匀分布，X（他 t）是否各态历经，并求出相关函数。解： 0tEsinsinEEcostcosEAEtsinsintcoscosEAEtAEcosEtEX )
9、()( 0)dttcos(wa2X(t)Eii/20iii所以是均值各态历经。3.13设 X(t) 与 Y(t)为平稳过程，且相互独立，他们的自相关函数分别为： 23Y2X9Rcos2Ree设 Z（t）=VX(t)Y(t)V 是均值为 2，方差为 9 的随机变量，求 Z(t)的均值，方差，和相关函数。解： 2322329902109022022YXmemeecoseYXYXRRRR)()(VEVE),(YX2221221121ZRR)Y(t)EY(t)X(tX(tE)Y(t)VX(t)Y(tVX(tEttR22 232926ecoseZR 2600260002ZZZRRREZ(t)Z3.14
10、设 X(t)是雷达的发射信号，遇到目标后的回波信号1, 1),(ataX是信号返回时间，回报信号必然伴有噪声，计为 N(t), 于是接收到的全信号为：) t (N)-t (aX) t (Y1（1）若 X（t）和 Y（t）联合平稳，求互相关函数 XYR（2）在（1）条件下，N(t)均值为零，并与 X(t)相互独立，求 XYR解：XY12111211212X1XN12R(t ,t )E (aX(t -)N(t )Y(t )aE X(t -)Y(t )E N(t )X(t )aR-R(tt ) （），（2）XY12111211212X1XN12X1R(t ,t )E (aX(t -)N(t )X(t
11、 )aE X(t -)X(t )E N(t )X(t )aR-R(tt )aR- （），（）3.15设 X(t) 与 Y(t)单独且联合平稳，且相互独立，)tbsin(Y(t)tcosaX(t)00）（式中 a,b 为常量，),(上均匀分布。求互相关函数 XYR， 并讨论在本题的具体情况下，0的互相关函数的意义。解：)sin(2ab)sin(2ab)2)(2tsin(E2ab)sin()2)(2tsin(E2ab)sin()2)(2tsin(E2ab)(tinbtcosaE)t ,t (R0010010010101021XY）（）（s00RXY表明了 X(t)，Y（t）两过程同时刻正交。3.1
12、6设 X(t) 与 Y(t)为非平稳过程，且相互独立，) tB(t)sin(Y(t)tcosA(t)X(t)00）（式中 A（t）,B(t)为相互独立且均值为零的平稳过程，并有相同的相关函数，求证：Z（t）=X(t)+Y(t)是宽平稳过程。证明：0)t (B(t)sin) t (A(t)cosE)t (EZ)cos()()tcos(t)tcos(t)(5 . 0)tcos(t)tcos(t)(0.5sintsint)t (B)t (Bcostsint) t (2A(t)Bcostcost)t (A)t (A)Y(t)X(tY(t)X(tE)t ,t (RA2121B2121A212121212
13、21121ZRRRE3.17如图所示的随机过程 X(t)的样本函数，它在a0ntt 时刻有宽度为 b 的矩形脉冲，脉冲幅度以等概率取a，0t是在周期at上均匀分布的 随机变量，而且0t解：acnbttcss,.2, 1, 0,)ntt (U)ntt (U) t (x00 ssssssstsssssssssssssothersitbtibbtctbttcbttbtttcbttbttcbttbttcs) 1(01Enttntt1Edt)ntt (U)ntt (U)ntt (U)ntt (U1E)ntt (U)ntt (U)ntt (U)ntt (UEE)ntt (U)ntt (U)ntt (U)n
14、tt (UE)t ,t (R22021012002020101202020101202020101221Zssttcbab1E)0(R(t)XE22X23.20 设 X(t)为零均值的高斯平稳过程，若又有一个新的随机过程 Y(t)满足) t (X) t (Y2,求证：)(2R)0(R)(R2X2XY证明：)t (XE)t (X) t (XE)t ,t (R22221Y？3.21设 U（t）是电阻热噪声产生的电压随机过程，并有平稳高斯分布，若 RC=10-3sF38x10.3x1C9,T=300K, 并知热噪声电压的自相关函数为：RCcCkTa1,)(RU式中 J/K,38x10. 1k23为波
15、尔兹曼常数，求热噪声电压的均值，方差，及在某一时刻电压超过 1uV 的概率。解：12U2X2U2X10)(R-R(0)R(0); 0)(RmCkTCkTcCkTXaCkTvCkTvf2exp21)(20.15878413. 012exp2112exp2111011012102666dvvdvCkTvCkTvPvP3.14 设 X(t)是雷达的发射信号，遇到目标后的回波信号1, 1),(ataX是信号返回时间，回报信号必然伴有噪声，计为 N(t), 于是接收到的全信号为：) t (N)-t (aX) t (Y1（3）若 X（t）和 Y（t）联合平稳，求互相关函数 XYR（4）在（1）条件下，N(
16、t)均值为零，并与 X(t)相互独立，求 XYR解：)tt (R-Ra)X(tN(tE)X(t-X(tEa)X(tN(t)-(aX(tE)t ,t (R21XN1X2212112211121XY，）（2）（，）（1X221XN1X2212112211121XY-Ra)tt (R-Ra)X(tN(tE)X(t-X(tEa)X(tN(t)-(aX(tE)t ,t (R3.7 随机过程BcostAsint) t (X式中，A，B 均为零均值的随机变量，求证：X(t) 是均值各态历经，而均方值无各态历经性。解：EX(t)=0EBcostEAsintBcostEAsint0BcostdtAsintX(t)E20tcosEBtsinEAostsint2EAEBctcosEBtsinEABcostAsintE(t)EX2222222222)BA(41dtBcostAsint21(t)XE222202故，X(t)均值各态遍历，均方值则非。
