1、 山东省师大附中 2017-2018 学年 高二下学期第七次学分认定考试（期中） （理） 本试卷分第卷和第卷两部分，共 6 页，满分为 120 分，考试用时 120 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规 定的位置上。 2 第卷每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的 位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修 正带和其他笔。 第卷
2、（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1复数的模为( ) 2.若，如果与为共线向量，则（ ） 3.用数字 1，2，3，4，5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ） 8 24 48 120 4.在二项式的展开式中，含的项的系数是 ( ) . 5、用反证法证明命题：“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ） 假设至少有一个钝角 假设至少有两个钝角 假设没有一个钝角 假设没有一个钝角或假设至少有两个钝角 6、如图，是的重心，则（ ） 7除以 88 的余数是（ ） 1 87 8.如
3、图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点， ，则异面直线与所成的角的大小为（ ） 9.把个不同小球放入个分别标有号的盒子中,则不许有空盒子的放法共有( ) 种 种 种 种 10. 已知是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若成立， 则成立，下列命题成立的是（ ） 若成立，则对于任意，均有成立 .若成立，则对于任意的，均有成立 若成立，则对于任意的，均有成立 若成立，则对于任意的，均有成立 11.对于非零实数，以下四个命题都成立： ；若，则.那么 对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是( ) 12.如图所示， 五面体中， 正的边长为 ，平面， 且.设与平面所成的角为， 若， 则当 取
4、最大值时，平面与平面所成角的正切值为（ ） 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.比较大小：_ （用连接） 14.在古腊毕达哥拉斯学派把 1，3，6，10，15，21，28，这些数叫做三角形数，因为这些 数对应的点可以排成一个正三角形 1 3 6 10 15 则第个三角形数为_. 15.平行六面体中，底面是边长为 1 的正方形，侧棱的长为 2，且 ，则的长为 . 16.已知矩形的长， 宽， 将其沿对角线折起， 得到四面体， 如图所示， 给出下列结论： 四面体体积的最大值为； 四面体外接球的表面积恒为定值； 若分别为棱的中点，则恒有
5、且； 当二面角的大小为时，棱的长为； 当二面角为直二面角时，直线所成角的余弦值为 其中正确的结论有 (请写出所有正确结论的序号) 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 10 分） 试问取何值时，复数 （1）是实数（2）是虚数（3）是纯虚数 18. （本小题满分 12 分） 如图， 直棱柱的底面中， 棱， 如图，以为原点，分别以，为轴建立空间直角坐标系 （1）求平面的法向量； （2）求直线与平面夹角的正弦值. 19. （本小题满分 12 分） 某学习小组有个男生和个女生共人： （1）将此人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种
6、（2）将此人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种 （3）从中选出名男生和名女生分别承担种不同的任务，有多少种选派方法 （4）现有个座位连成一排，仅安排个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多 少种 20 （本小题满分 12 分） 设展开式中只有第 1010 项的二项式系数最大 （1）求 n； （2）求;（3）求. 21 （本小题满分 12 分） 如图， 已知四棱锥中， 侧棱平面， 底面 是平行四边形，分别是 的中点 （1）求证：平面 （2）当平面与底面所成二面角为时，求二面角 的余弦值 22.（本小题满分 12 分） 已知，比较和的大小并给出解答过程； 证明：对任意的
7、，不等式成立. 参考答案 一、选择题答案 1-12、 二、填空题答案 13. 14. 15. 16. 三、解答题答案 17 .解： （1）由条件，解得3 分 （2）由条件，解得6 分 （3）由条件，解得10 分 18.解： （1）由题意可知 故2 分 设为平面的法向量，则 ，4 分 6 分 令，则8 分 （2）设直线与平面夹角为，9 分 12 分 19. 解： （1）3 分 （2）6 分 （3）9 分 （4）12 分 或 20.（1）由二项式系数的对称性，4 分 （2）8 分 （3）12 分 21.解： （1）证明：平面，的射影是，的射影是， ，且， 是直角三角形，且，3 分 ，平面， 且，
8、平面6 分 （2）解法 1：由（1）知，且是平行四边形，可知， 又平面，由三垂线定理可知， 又由二面角的平面角的定义可知，是平面与底面所 成二面角，故，故在中， 从而8 分 又在中， 在等腰三角形， 分别取中点和 中点，连接，和，中位线，且平面， 平 面， 在中 ， 中 线， 由 三 垂 线 定 理 知 ， KS5UKS5UKS5U 为二面角的平面角，10 分 在中， ，. 二面角的余弦值为12 分 解法 2：由()知，以点为坐标原点，以、 所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐 标系. 设， 则， ， ， 则， 设平面的一个法向量为, 则由 又是平面的一个法向量， 平面与底面所成二面角为 ，解得， 设平面的一个法向量为, 则由. 又是平面的一个法向量，设二面角的平面角为， 则， 二面角的余弦值为.12 分 22.解 (1)：.2 分 由条件= ， .6 分 （2） ：证法一 证明：由（1）所得结论得 = 两边开方，命题得证.12 分 证法二 下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立. 则当时,左边 所以当时,不等式也成立. . 由、可得不等式恒成立. .12 分
