1、1 第三章第三章 地球重力场及形状的基本理论地球重力场及形状的基本理论2 地球重力场状基本理论地球重力场状基本理论3.1.1 地球的概说（略）地球的概说（略）3.1.2 地球运动概说地球运动概说 地球是太阳系中的一颗行星，它有自转和公转运动。地球是太阳系中的一颗行星，它有自转和公转运动。 1、地球的自转、地球的自转 地球的自转地球的自转即地球绕地轴由西向东旋转。即地球绕地轴由西向东旋转。 地球的地球的绕地轴旋转绕地轴旋转360度的时间：太阳日、恒星日。度的时间：太阳日、恒星日。 地球的自转速度：地球的自转速度： 2cos)RhVT （2T 3地球重力场状基本理论地球重力场状基本理论2、地球的公
2、转、地球的公转 地球的公转满足开普勒三大行星运动定律地球的公转满足开普勒三大行星运动定律 (1) 行星运动轨迹是椭圆，太阳位于其行星运动轨迹是椭圆，太阳位于其 椭圆的椭圆的一个焦点上一个焦点上 直角坐标方程：直角坐标方程： 极坐标方程：极坐标方程： f 真近点角，真近点角，p 为焦参数（半通径）为焦参数（半通径） 22abea 22(1)bpaea 22221xyab 1cospref 4地球重力场状基本理论地球重力场状基本理论(2)行星运动在单位时间内扫过的面积相等；行星运动在单位时间内扫过的面积相等； 在时间在时间 t 内扫过的面积内扫过的面积 s 相等，则面速度相等，则面速度 可根据能量
3、守恒定律导出。可根据能量守恒定律导出。 (3) 行星运动的周期的平方与轨道的长半轴的立方的比为行星运动的周期的平方与轨道的长半轴的立方的比为常数。常数。 设设a 和和a1 , T 和和 T1分别表示两行星轨道的长半径与轨道分别表示两行星轨道的长半径与轨道运行周期。运行周期。221sabaetTT ABCDEFABCDEFVVV5地球重力场状基本理论地球重力场状基本理论则第三定律表达为：则第三定律表达为：一般可以用来计算行星或卫星的质量。一般可以用来计算行星或卫星的质量。牛顿万有引力定律：牛顿万有引力定律： 开普勒定律是牛顿万有引力定律的基础。开普勒定律是牛顿万有引力定律的基础。 天体力学天体力
4、学221331TTaa 322()4afMmT 2323111)TMmaTMma 6地球重力场状基本理论地球重力场状基本理论222M mM mFkfrr 22FMakmr 22222()()MmMmakkrrr 22224, vravrarTT 322() 4af M mT 宇宙空间任意两质点，彼此相互吸引，其引力大小与宇宙空间任意两质点，彼此相互吸引，其引力大小与他们的质量成积成正比，与他们之间的距离平方成反他们的质量成积成正比，与他们之间的距离平方成反比。比。在相对运动中，行星相对于太阳运动的相对加速度：在相对运动中，行星相对于太阳运动的相对加速度：7地球重力场状基本理论地球重力场状基本理
5、论考虑到Mm 注意： f 、 G、 k2 在不同的教材都表示引力常数。32 fMnTa 3223()2 n=4Taf MmfMTa 8地球重力场状基本理论地球重力场状基本理论引力和引力位引力和引力位 物体自由下落，水准面的形状，垂线方向，人物体自由下落，水准面的形状，垂线方向，人造卫星围绕地球的运动以及日月对地球的潮汐造卫星围绕地球的运动以及日月对地球的潮汐作用等等，都和引力场有着密切的关系，因此作用等等，都和引力场有着密切的关系，因此要利用重力测量资料来研究地球重力场和地球要利用重力测量资料来研究地球重力场和地球形状，则必须对引力场有所了解。为此，这里形状，则必须对引力场有所了解。为此，这里
6、先来阐述地球引力，离心力及引力场，重力场先来阐述地球引力，离心力及引力场，重力场有关的为理论基本知识。有关的为理论基本知识。92rmMfF2mP PFg地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理3.2.1 引力与离心力引力与离心力其它作用力（太阳、月亮）大多数情况下可忽略。其它作用力（太阳、月亮）大多数情况下可忽略。10地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理3.2.2 引力位和离心力位引力位和离心力位 所谓场的定义：由理论力学可知，如果某一空所谓场的定义：由理论力学可知，如果某一空间（有限或无限）的任意一点占据其中一定的间（有限或无限）的任意一点占据其中一定的位置，受到一个力的作用，而这个力的
7、大小与位置，受到一个力的作用，而这个力的大小与方向只与该点的位置有关，则这一空间称为力方向只与该点的位置有关，则这一空间称为力场。就力场而言，具有力共同的特性，即力场场。就力场而言，具有力共同的特性，即力场所做的功与路径无关，只与起点与终点有关。所做的功与路径无关，只与起点与终点有关。这样的力称为保守力。引力与离心力都是保守这样的力称为保守力。引力与离心力都是保守力。若此力为引力，则此场称为引力场。引力力。若此力为引力，则此场称为引力场。引力是引力场的主要属性，此外还有引力位、引力是引力场的主要属性，此外还有引力位、引力线以及等位面也是引力场的属性。我们讨论地线以及等位面也是引力场的属性。我们
8、讨论地球引力场，就是要了解它的这些属性和它们之球引力场，就是要了解它的这些属性和它们之间的相互关系。间的相互关系。 11 引力位：引力位：单位质点受物质单位质点受物质M的引力作用产生的引力作用产生的位能称为引力位，或者说的位能称为引力位，或者说将单位质点从无穷将单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功。即远处移动到该点引力所做的功。即：rMfVdrdVa我们首先叙述引力和引力位。我们首先叙述引力和引力位。设有两个质量为设有两个质量为m和和M的质点的质点M和和P，它们的，它们的直角坐标分别为（直角坐标分别为（a、b、c）和（）和（x、y、z)， M、P之间的距离为之间的距离为r。根据万有引力定律
9、得：。根据万有引力定律得：2rmMfF12 上式中的上式中的r为为 当当M=1，即，即P点为单位质点时，万有引力可以写点为单位质点时，万有引力可以写成成 引力引力F的三个方向余弦为的三个方向余弦为：2222)()()(czbyaxr2rmfFrczZrZFrbyYrYFraxXrXF),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(13因此引力因此引力F在三个坐标轴上分量为：在三个坐标轴上分量为：有了引力在三个坐标轴上的分量，就可以求得引力在任意方向有了引力在三个坐标轴上的分量，就可以求得引力在任意方向l上的分量上的分量为了研究问题方便，通常引入位函数的概念，它的定义如下
10、：设为了研究问题方便，通常引入位函数的概念，它的定义如下：设有一个标量函数，它对被吸引点各坐标轴的偏导数等于力在相应有一个标量函数，它对被吸引点各坐标轴的偏导数等于力在相应坐标轴上的分量，这样的函数称为位函数。对于引力来说，则有坐标轴上的分量，这样的函数称为位函数。对于引力来说，则有引力位函数，简称引力位，用引力位函数，简称引力位，用V表示质点的引力位，其形式为：表示质点的引力位，其形式为：)(3),cos()(3),cos()(3),cos(czrmfZFFzFbyrmfYFFyFaxrmfXFFxF),cos(),cos(),cos(),cos(ZlzFYlyFXlxFlFFlFrMfV1
11、4 验证上式是否为引力位。分别对坐标验证上式是否为引力位。分别对坐标x，y，z求求偏导数得：偏导数得：3)()1(3)()1(3)()1()1()1()1(rcxrzrbxryraxrxrzfmzVryfmyVrxfmxVzFczrfzVyFbyrmfyVxFaxrmfxV)(3)(3)(3rMfV2222)()()(czbyaxr)(3),cos()(3),cos()(3),cos(czrmfZFFzFbyrmfYFFyFaxrmfXFFxF15 现将位函数的定义推广，位函数对任意方向现将位函数的定义推广，位函数对任意方向L的的导数应等于力在该方向上的分量导数应等于力在该方向上的分量。lVZ
12、lzVYlyVXlxVZlzFYlyFXlxFlFFlF),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(以上是预先假设的一个函数，随后又从数学以上是预先假设的一个函数，随后又从数学观点出发推到引力位。现在从物理学观点说明观点出发推到引力位。现在从物理学观点说明位的意义。位的意义。16地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理dA2rMmfFdrrMmfdA2drrMmfdAdV2CrMmfVrMfVrMmfV万有引力定律：万有引力定律：推导如下推导如下:假设沿力线方向做功为假设沿力线方向做功为，则有，则有此功等于位能的减少，此功等于位能的减少，积分则有：积分则
13、有：因为因为r, V=0。所以。所以 C=0 ，则有，则有取取 m=1，17 如果质点如果质点P由由r移动移动r1，则所做的功为，则所做的功为 由此可见，质点在引力场中运动时，引力所做由此可见，质点在引力场中运动时，引力所做的功等于位函数在质点的终点和起点的函数之的功等于位函数在质点的终点和起点的函数之差，而与质点所经过路程无关。引力位的物理差，而与质点所经过路程无关。引力位的物理意义是质点在某一位值时对无穷远处的引力位意义是质点在某一位值时对无穷远处的引力位能的负值。能的负值。 公式公式 是质点引力位，一般情况下吸引质是质点引力位，一般情况下吸引质量量M不是一个质点，而是一个质体。当不是一个
14、质点，而是一个质体。当P点和点和这个质体的距离较近时，就不能将质体看成质这个质体的距离较近时，就不能将质体看成质点了，这时要求得质体的引力位，则必须将该点了，这时要求得质体的引力位，则必须将该质体分成许多微小质元来进行积分。质体分成许多微小质元来进行积分。rfmrfmdrrfmArr112rMfV18地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理rdmfdVVM )(2 rMmfFmaF2rMfa2rMfdrdVdrdVa地球总体的引力位函数：地球总体的引力位函数：1、由牛顿第二定律可知：、由牛顿第二定律可知：2、对位函数求导：、对位函数求导：, 则有则有19地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理
15、 结论：结论： 单位质点的物体在引力场中的加速度等于单位质点的物体在引力场中的加速度等于引力位的导数，方向与径向方向相反。引力位的导数，方向与径向方向相反。 推论：推论： 位函数对被吸引点各坐标轴的偏导数等于位函数对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度相应坐标轴上的加速度( (或引力或引力) )向量的负值。向量的负值。 zVayVaxVazyx,20 离心力及离心力位 地球除了有引力以外，还有离心力，其方向垂直于旋转轴，地球除了有引力以外，还有离心力，其方向垂直于旋转轴，则质点离心力则质点离心力P P等于等于 公式中公式中 为单位质点到坐标原点的距离。为单位质点到坐标原点的距离。
16、离心力离心力P P在三个坐标轴上的分力为：在三个坐标轴上的分力为：2222sinyxP0),cos(),cos(),cos(22ZPPPyYPPPxXPPPzyx21 设有一函数：设有一函数： 将函数将函数Q对三个坐标轴求偏导数，则得对三个坐标轴求偏导数，则得 Q就称为离心力位函数，或离心力位。就称为离心力位函数，或离心力位。xyxPzQPyyQPxxQ022222222sin2)(2ryxQ22QVW)(2222yxrdmfW)()()(zQzVzWgyQyVyWgxQxVxWgzyx地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理3.2.3 重力位重力位重力是引力和离心力的合力，重力位重力是引力和
17、离心力的合力，重力位W是引力位是引力位V和离和离心力位心力位Q之和：之和：对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量：23各分力的模：各分力的模：方向余弦：方向余弦： 重力位在任意方向的偏导数等于重力在该方向上的重力位在任意方向的偏导数等于重力在该方向上的分力：分力： 222zyxggggggzgggygggxgzyx),cos(,),cos(,),cos(),cos(lggglWl地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理24gdWdl地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理u当当g与与l相垂直时，那么相垂直时，那么d=0，常数，常数当给出
18、不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力等当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力等位面，也就是我们通常说的水准面。可见水准面有无位面，也就是我们通常说的水准面。可见水准面有无穷多个。其中，我们把完全静止的海水面所形成的重穷多个。其中，我们把完全静止的海水面所形成的重力等位面，专称它为力等位面，专称它为大地水准面大地水准面。u如果令如果令g与与l夹角等于夹角等于，则有：则有：u水准面之间既不平行，也不相交和相切。水准面之间既不平行，也不相交和相切。25 对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等于对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等于使它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重
19、力加速度使它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重力加速度的量纲，单位是：的量纲，单位是： 伽伽(Gal=cms)， 毫伽毫伽(mGal= Gal/1000=10ms) 微伽微伽(Gal= mGal/1000=10m s) 1 1、地面点重力近似值、地面点重力近似值 980Gal，赤道重力值赤道重力值 978Gal，两两极重力值极重力值 983Gal。由于地球的极曲率及周日运动的原因，重由于地球的极曲率及周日运动的原因，重力有从赤道向两极增大的趋势。力有从赤道向两极增大的趋势。 2 2、地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关，、地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关，理论上应该是
20、常数，但重力是随时间变化而变化，即相同的理论上应该是常数，但重力是随时间变化而变化，即相同的点在不同的时刻所观测到的重力不相同点在不同的时刻所观测到的重力不相同。地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理263.2.4 地球的正常重力位和正常重力地球的正常重力位和正常重力 要精确计算出地球重力位，必须知道地球表要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形状及内部物质密度，但前者正是我们要研面的形状及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分布极其不规则，目前也无法知道，究的，后者分布极其不规则，目前也无法知道，故根据上式不能精确地求得地球的重力位，为此故根据上式不能精确地求得地球的重力位，为此
21、引进一个与其近似的地球重力位引进一个与其近似的地球重力位正常重力位正常重力位。 )(2222yxrdmfWM地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理dadbdcddm27地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理),( , , )x y zMdmfV(,)mmmxyz 正常重力位是一个简单函数、不涉及地球形状和正常重力位是一个简单函数、不涉及地球形状和密度便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助密度便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同地重力位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重力位的差异球重力位的差异(称扰动位称扰动位)，便可求出大地水
22、准面与，便可求出大地水准面与这已知形状这已知形状(正常位水准面正常位水准面)的差异。最后解决确定地的差异。最后解决确定地球重力位和地球形状的问题。球重力位和地球形状的问题。1 地球引力位的数学表达式地球引力位的数学表达式 地球惯性矩表达引力位地球惯性矩表达引力位 (方法方法1)设地球上的点坐标为设地球上的点坐标为:地球表面点坐标为地球表面点坐标为:与与与与),(mmm28建立空间直角坐标系与球面极坐标系建立空间直角坐标系与球面极坐标系 展开成级数代入公式展开成级数代入公式 cos2)(1 cos222222rRrRrRrRrcos2)(2rRrRl21)1 (11lrdmlllrfV)1658
23、3211 (32niivvvvV0210地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理MdmfV29地球重力场的基本原地球重力场的基本原理理由于由于rMfdmrfvM00cos1MdmrRrfvMdmrRrfv)21cos23()(222MdmrRrfv)cos23cos25()(333MmmMmmMmmdmyxCdmzxBdmzyA)()()(222222MmmMmmMmmdmyxFdmzxEdmzyD)()()(rRzzyyxxmmmcos30地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理理论力学可知：物体的重心为理论力学可知：物体的重心为定义坐标系：定义坐标系： ，则有：，则有： 0000zyxBy
24、zxAxzyrfv)2()2(222222252666)2(222xyFxzEyzDCzyxMmMmMmdmMzdmMydmxMxz1, y1, 1000Mrfv00)(31dmzzdmyydmxxrfvMmMmMm0000zyx31 用球谐函数表达地球引力位（方法用球谐函数表达地球引力位（方法2 2） 勒让德多项式勒让德多项式nnnnndxxdnxP)1(!21)(2)(1)(112)(11xPnnxxPnnxPnnn)()(01xxPxP地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理当已知一阶项当已知一阶项P1和二阶项和二阶项P2时，用下面递推公式计算时，用下面递推公式计算cosx32地球重力场
25、的基本原理地球重力场的基本原理cos23cos25)(cos21cos23)(coscos)(cos1)(cos332210PPPP下面给出下面给出10阶内阶内 的显式：的显式：nP33);633465300309009010939546189(2561);3154620180182574012155(1281);3512606930120126435(1281);706301386858(321);10210630462(321);157063(81);33035(81)35(21);13(21; 12468101035799246883577246635524433210PPPPPPPPP
26、P34 用勒让德多项式表示的第用勒让德多项式表示的第n阶地球引力位公式阶地球引力位公式 由于由于 角的余弦是角的余弦是M点和点和S点的直角坐标的函数，点的直角坐标的函数， 也可用球面三角学公式表示为两点的球面坐标的函数，也可用球面三角学公式表示为两点的球面坐标的函数，经过变换之后，即可得经过变换之后，即可得n阶引力位的计算公式，下面阶引力位的计算公式，下面为用球谐函数表示的公式为用球谐函数表示的公式dmPrRrfVnnn)(cos)(rRzzyyxxmmmcos35地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理 勒让德多项式中：勒让德多项式中： 称为称为n阶主球函数阶主球函数(或带球或带球函数函数)
27、， 称为称为n阶阶K级的勒让德缔合函数级的勒让德缔合函数(或伴随函或伴随函数数) )。 称为缔合球函数称为缔合球函数( (其中，当其中，当k=nk=n时称为扇球函数，当时称为扇球函数，当knkn时称时称为田球函数为田球函数) ) 090 nKKnKnKnnnnnPKBKAPArV11)(cos)sincos()(cos1)(cosnP)(cosKnP)(cossin ),(coscosKnKnPKPK(cos )(cos )sin(cos )kkknnkd pPd36地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理 用球谐函数表示的地球引力位的公式用球谐函数表示的地球引力位的公式 2 地球正常重力位地
28、球正常重力位 )(cos1010nnnnnnPArVV)(cos)sincos(1KnKnKnnKPKBKA2222222sin)sin2ryxrVW顾及（37 将上一节已经导出地球引力位的球面函数展开式，将上一节已经导出地球引力位的球面函数展开式，加上离心力位之后，就得到地球重力位。加上离心力位之后，就得到地球重力位。 用拉普拉斯方法表示正常重力位，就是在重力位用拉普拉斯方法表示正常重力位，就是在重力位的球函数展开式中选取头几项，略去余项。当然的球函数展开式中选取头几项，略去余项。当然选取的项数愈多就愈接近地球重力位选取的项数愈多就愈接近地球重力位W。)(cos101nnnnPArW2221
29、sin2)(cos)sincos(rPKBKAKnKnKnnK38 但公式也愈加复杂，达不到简便的目的。但公式也愈加复杂，达不到简便的目的。如果少取几项，公式简便了，但与重力如果少取几项，公式简便了，但与重力位位W可能相差过大，就不能较正确地反可能相差过大，就不能较正确地反映地球重力位，并给进一步计算两者差映地球重力位，并给进一步计算两者差异增添了麻烦。在实践中选取项数的多异增添了麻烦。在实践中选取项数的多少是根据观测资料的精度和对正常重力少是根据观测资料的精度和对正常重力位所要求的精度而定。这里为了说明问位所要求的精度而定。这里为了说明问题方便起见，引力位展开式中只选取前题方便起见，引力位展
30、开式中只选取前三项来表示正常重力位。三项来表示正常重力位。39地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理 当选取前当选取前3项时，将重力位项时，将重力位W W写成写成U MnnndmPRfA)cos(00)sincos()(cos121201KKnKnnnnnKBKAPArU222sin2)(cosrPKn()!2(cos)sindm ,1,()!knknnmmMnkBfR Pkknnk00(cos)nnnmMAfR Pdm()!2(cos)cosdm()!knknnmmMnkAfR Pknk40地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理现在需要求系数：现在需要求系数：若将坐标原点设在地球质心上，
31、则若将坐标原点设在地球质心上，则再令坐标轴为地球的主惯性轴，则再令坐标轴为地球的主惯性轴，则再顾及再顾及并设并设若地球是旋转椭球体，则有转动惯量若地球是旋转椭球体，则有转动惯量 ，将系数代入，将系数代入则正常重力位可以写成：则正常重力位可以写成： 001101122011122222, , , , ,AAABAABABsin2)cos31 (21 23222fMrrKrMfU00AfM0111110AABAB)()2(2CAfCBAfAKMAC41 和重力位水准面一样，令上式等于不同和重力位水准面一样，令上式等于不同的常数，就有一簇正常位水准面，它具的常数，就有一簇正常位水准面，它具有和重力位
32、水准面同样的性质。在这些有和重力位水准面同样的性质。在这些正常水准面中总有一个是非常接近于大正常水准面中总有一个是非常接近于大地水准面的。可以证明，如果只顾及到地水准面的。可以证明，如果只顾及到扁率扁率 及精度的话，其形状是一个规则及精度的话，其形状是一个规则的椭球。由于它具有正常位水准面的性的椭球。由于它具有正常位水准面的性质，所以称为水准椭球体。现在来推导质，所以称为水准椭球体。现在来推导它的方程式。它的方程式。42地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理设赤道的离心力与重力之比为：设赤道的离心力与重力之比为：令：令：式中式中 称为地球形状参数。称为地球形状参数。先将正常重力位公式进行简化
33、，其中先将正常重力位公式进行简化，其中22232eaaaqagfMfM232Ka2232rfMgargafMree43上式右边的第一个乘数即为上式右边的第一个乘数即为q。又因为被吸引点。又因为被吸引点s一一般在地球表面上或离地球表面不远的外部空间，般在地球表面上或离地球表面不远的外部空间，可认为可认为r=a；在赤道上重力可用其引力；在赤道上重力可用其引力代替。这样代替。这样 则有：则有：常数sin2)cos31 (31 22qrMfU2fMaqfMr3244地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理 注意：如果正常重力位已知，则对应的正常水准面已知，注意：如果正常重力位已知，则对应的正常水准面已
34、知，不同的正常重力位对应不同的正常位水准面，我们寻找不同的正常重力位对应不同的正常位水准面，我们寻找的是与大地水准面相近的正常位水准面的形状，的是与大地水准面相近的正常位水准面的形状，上式中，上式中，对对r r和和 取不同的常数值，就得到一簇正常位水准面，取不同的常数值，就得到一簇正常位水准面，取取 ，求得与大地水准面相近的正常位水，求得与大地水准面相近的正常位水准面方程：准面方程： 取：取： ，则有，则有ar ,90ar ,900132MqUfa2201(13cos)sin32MqUfUr45221(1 3cos)sin/(1)3232qqra在此情况下，正常位水准面的方程式变为：在此情况下
35、，正常位水准面的方程式变为：上式分母中上式分母中u，q均为微小量，通常只有均为微小量，通常只有1300左左右，所以称为右，所以称为a（扁率）级微小量。若将上式分母（扁率）级微小量。若将上式分母展成级数，并略去展成级数，并略去u，q的平方以上各项，则的平方以上各项，则cos)2(1 )sin1 (2cos1 )231sin2cos311 (22222qaqaqqar46地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理这就是接近于大地水准面的那个正常位水准面的方这就是接近于大地水准面的那个正常位水准面的方程式。可以证明他是一个旋转椭球体。程式。可以证明他是一个旋转椭球体。另外，旋转椭球面的方程：另外，旋转
36、椭球面的方程： 则有：则有： 4.4.3 4.4.3正常重力公式正常重力公式 下面来推导旋转椭球体上的重力值，为区别与地球下面来推导旋转椭球体上的重力值，为区别与地球真正的重力值真正的重力值g g，称为正常重力，并用，称为正常重力，并用 表示。表示。 类似重力位类似重力位W W，正常重力位，正常重力位U U也有：也有： ()2q2(1cos)ra0dndU47drdU222(1(1 3cos)sin)fMqrcos)2(1 2qar上式中：上式中：n是正常水准面法线。而是正常水准面法线。而U是向量是向量r的函数，不过地的函数，不过地心纬度和地理纬度之间差异很小，故可忽略不计。因此，心纬度和地理
37、纬度之间差异很小，故可忽略不计。因此，上式可写成：上式可写成：根据根据 对对r求导数得求导数得将将 代入，得水准椭球体上的正代入，得水准椭球体上的正sin2)cos31 (21 23222fMrrKrMfU常重力常重力222220cos)21(1 sin)cos31 (1 qqafM48 将上式分母展成级数，只保留到将上式分母展成级数，只保留到a级量，则得：级量，则得：cos)2(1 cos)21(21sin)cos31 (1 2222220qqafMqqafM将将2q代入上式，则得代入上式，则得49地球重力场的基本原地球重力场的基本原理理 特例：特例： ，赤道正常重力：赤道正常重力： ，极点
38、处正常重力：，极点处正常重力： 令：令： 则有：则有： 上述正常重力公式称为上述正常重力公式称为克莱罗定理。克莱罗定理。9020235(1()cos)22fMqqa)231 (2qafMe0)1 (2qafMp55 , +=22peeqq20(1sin)e50地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理 顾及到扁率的二次项的正常重力公式顾及到扁率的二次项的正常重力公式51 7(1)23 5q2111()84 2201(1sinsin2)e式中：式中：正常重力公式中含有三个参数：正常重力公式中含有三个参数：如果这三个参数已知的话，就可安纬度来计如果这三个参数已知的话，就可安纬度来计算正常重力值。为此
39、，如何准确地确定这三算正常重力值。为此，如何准确地确定这三个参数，是多年来研究的问题。现在已推导个参数，是多年来研究的问题。现在已推导出很多正常重力公式。出很多正常重力公式。1,及e51 19011909年赫尔默特公式：年赫尔默特公式： 19301930年卡西尼公式：年卡西尼公式： 19751975年国际地球正常重力公式：年国际地球正常重力公式： GS84GS84坐标系中的椭球重力公式：坐标系中的椭球重力公式： )2sin000007. 0sin005302. 01 (030.978220)2sin000059. 0sin0052882. 01 (049.978220)2sin0000058.
40、 0sin005302. 01 (032.978220/ )sin86390019318513. 01 (03267714.9782B122(1 0.00669437999013sin)B地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理52 高出水准椭球面高出水准椭球面H米的正常重力计算公式米的正常重力计算公式2)(HRMfg20RMfg)(11(2201HRRfMggg)1 (11 (22RHRfM2200220132)321 (1 RHRHRHRHg2711072. 03086. 0HHgH3086. 00地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理53 4 正常重力场参数正常重力场参数 在物理大地测
41、量中在物理大地测量中, ,正常椭球重力场可用正常椭球重力场可用4 4个基本参数决个基本参数决定定, ,即：即： 其中：其中： 表示水准椭球的正常重力位，表示水准椭球的正常重力位，0U002, , (), UAfMAf ACfKM 地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理fMA 0表示水准椭球的质量与引力常数的乘积；表示水准椭球的质量与引力常数的乘积；)(2CAfA表示水准椭球的转动惯量表示水准椭球的转动惯量表示水准椭球的旋转角速度表示水准椭球的旋转角速度54 如果这四个基本参数确定了，则水准椭球体的如果这四个基本参数确定了，则水准椭球体的正常重力场也就确定了。正常重力场也就确定了。 所以地球正
42、常所以地球正常(水准水准)椭球的基本参数，又称椭球的基本参数，又称地地球大地基准常数球大地基准常数 但是通常不一定都采用这四个基本参数，而是但是通常不一定都采用这四个基本参数，而是下列七个基本参数中任取四个基本参数来确定下列七个基本参数中任取四个基本参数来确定正常重力位。这七个基本参数是：正常重力位。这七个基本参数是：eafMU,),A(,2,0或55)231 (2qafMe)331 (0qafMUq25这七个基本参数具有下列三个关系式这七个基本参数具有下列三个关系式因此只要知道其中的因此只要知道其中的4个基本参数，就可根据上面的关系求个基本参数，就可根据上面的关系求出其它出其它3个基本参数。
43、比如，已知个基本参数。比如，已知。计算按计算按计算按计算，那么可按及fMaqUqafMUfMqafMqqaeeee32002p)331()231(25,562A232qk23fKMCAfAA22222qfMaa求得。及并顾及，）（的关系可按与引力位中的二阶主球谐系数引力位中的二阶主球谐系数A2是扁率的函数。是扁率的函数。不过在卫星大地测量中常用符号不过在卫星大地测量中常用符号J2来表示二阶主来表示二阶主球谐系数。它们的关系如下：球谐系数。它们的关系如下：2232222qJJfMaA573.2.5 正常椭球、水准椭球、总地球椭球与参考椭球正常椭球、水准椭球、总地球椭球与参考椭球 正常椭球面正常椭
44、球面 是大地水准面的规则形状（一般指旋转椭球是大地水准面的规则形状（一般指旋转椭球面）。因此引入正常椭球后，地球重力位被分成正常重力面）。因此引入正常椭球后，地球重力位被分成正常重力位和扰动位两部分，实际重力也被分成正常重力和重力异位和扰动位两部分，实际重力也被分成正常重力和重力异常两部分。常两部分。 正常椭球的确定：正常椭球的确定： 1 1、除了确定其、除了确定其M M和和值外，其规则形状可以任意选择。值外，其规则形状可以任意选择。但考虑到实际使用的方便，又顾及几何大地测量中采用旋但考虑到实际使用的方便，又顾及几何大地测量中采用旋转椭球的实际情况，目前都采用水准椭球作为正常椭球。转椭球的实际
45、情况，目前都采用水准椭球作为正常椭球。 2 2、对于正常椭球，除了确定其对于正常椭球，除了确定其4个基本参数：个基本参数：a, J，fM和和外，也要定位和定向。正常椭球的定位是使其中心和外，也要定位和定向。正常椭球的定位是使其中心和地球质心重合，正常椭球的定向是使其短轴与地轴重合，地球质心重合，正常椭球的定向是使其短轴与地轴重合，起始子午面与起始天文子午面重合。起始子午面与起始天文子午面重合。 地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理58地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理 总的地球椭球：总的地球椭球： 一个和整个大地体最为密合的。总地球椭球中心和地球一个和整个大地体最为密合的。总地球椭球
46、中心和地球质心重合质心重合，总的地球椭球的短轴与地球地轴相重合，起始总的地球椭球的短轴与地球地轴相重合，起始大地子午面和起始天文子午面重合，总地球椭球和大地体大地子午面和起始天文子午面重合，总地球椭球和大地体最为密合。最为密合。 从几何和物理两个方面来研究全球性问题，我们可把从几何和物理两个方面来研究全球性问题，我们可把总地球椭球定义为最密合于大地体的正常椭球。正常椭球总地球椭球定义为最密合于大地体的正常椭球。正常椭球参数是根据天文大地测量，重力测量及人卫观测资料一起参数是根据天文大地测量，重力测量及人卫观测资料一起处理确定的，并由国际组织发布。处理确定的，并由国际组织发布。 参考椭球：参考椭
47、球： 其大小及定位定向最接近于本国或本地区的地球椭球。其大小及定位定向最接近于本国或本地区的地球椭球。这种最接近，表现在两个面最接近及同点的法线和垂线最这种最接近，表现在两个面最接近及同点的法线和垂线最接近。接近。59 3.2.6 确定大地水准面形状的原理确定大地水准面形状的原理 研究大地水准面的形状，除了要研究与大地水研究大地水准面的形状，除了要研究与大地水准面非常接近的一个平均椭球体以外，还要研准面非常接近的一个平均椭球体以外，还要研究大地水准面相对于椭球体的起伏以及两者的究大地水准面相对于椭球体的起伏以及两者的垂线偏差。垂线偏差。 解决上述问题的方法，主要是以地球所产生的解决上述问题的方
48、法，主要是以地球所产生的重力位重力位W与椭球体所产生的正常重力位与椭球体所产生的正常重力位U之差之差（称为扰动位），以此为根据，去推求大地水（称为扰动位），以此为根据，去推求大地水准面相对于椭球体的起伏和倾斜。准面相对于椭球体的起伏和倾斜。60 扰动位扰动位 我们知道，不管怎样使选择的平均椭球体非常接我们知道，不管怎样使选择的平均椭球体非常接近大地水准面，两者之间毕竟是有差异的。由此，近大地水准面，两者之间毕竟是有差异的。由此，同一点上的重力位同一点上的重力位W与正常重力位与正常重力位U就有一个差值，就有一个差值，此差值称为扰动位。即此差值称为扰动位。即 由于我们选择正常重力位时，使它的离心力
49、位与由于我们选择正常重力位时，使它的离心力位与地球的离心力位相同，因此扰动位具有引力位的地球的离心力位相同，因此扰动位具有引力位的性质。性质。 如果大地水准面上或其外部各点的如果大地水准面上或其外部各点的W和和U都相等。都相等。即扰动位即扰动位UWT0T61 那么正常位水准面和重力位水准面合而为一，那么正常位水准面和重力位水准面合而为一，此时平均椭球体就是大地水准面。显然，如果此时平均椭球体就是大地水准面。显然，如果能够求得扰动位，那么就可以推算出大地水准能够求得扰动位，那么就可以推算出大地水准面和平均椭球体之间的差异，即大地水准面差面和平均椭球体之间的差异，即大地水准面差距和垂线偏差。距和垂
50、线偏差。 由于所选择的椭球体很接近于大地水准面，由于所选择的椭球体很接近于大地水准面，U与与W的差值很小，所以扰动位的差值很小，所以扰动位T在重力位在重力位W中中起着改正项的作用。起着改正项的作用。62 大地水准面差距大地水准面差距 如图，如图，S为平均为平均椭球体面，椭球体面，为大地水准面，为大地水准面，P0点为点为面上面上P点在点在S面上的投影。面上的投影。由于这两个面距离很近，由于这两个面距离很近，所以不区别两个面的法线。所以不区别两个面的法线。用用N表示表示P点上两个面之点上两个面之间的距离，称为大地水准间的距离，称为大地水准面差距。在选择椭球体时，面差距。在选择椭球体时，我们规定大地
