1、12.1 矩矩 阵阵一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111. 线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于系数系数aij和和常数项常数项bj ( i =1, 2, , n, j =1, 2, , m ). mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张数表的研究这张数表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为2 2. 某航空公司在某航空公司在A, B, C, D四城四城市之
2、间开辟了若干航线市之间开辟了若干航线, 如图所示表如图所示表示了四城市间的航班图示了四城市间的航班图, 如果从如果从A到到B有航班有航班, 则用带箭头的线连接则用带箭头的线连接A与与B.ABCD四城市间的航班图情况常用表格来表示四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站发站到站到站ABCDABCD其中其中 表示有航班表示有航班.3 为了便于计算为了便于计算, 把表中的把表中的 改成改成1, 空白地方填空白地方填上上0, 就得到一个数表就得到一个数表:1111111000000000这个数表反映了四城市间交通联接情况这个数表反映了四城市间交通联接情况.4mnmmnnaaaaaaaaa2122221
3、11211二、矩阵的定义二、矩阵的定义 定义定义: 由由m n个数个数 aij ( i =1, 2, , m; j =1, 2, , n )排成的排成的 m 行行 n 列的数表列的数表:称为称为m行行n列的矩阵列的矩阵. 简称简称 m n 矩阵矩阵. 记作记作 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211简记为简记为: A = Am n = ( aij )m n = ( aij ). 这这m n个数个数aij称为称为矩阵矩阵A的的(第第 i 行第行第 j 列列)元素元素.5 元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵, 元素是复数的矩元素是复数的矩阵称为阵称为复矩阵复矩阵
4、.例如例如: 34695301是一个是一个2 4实矩阵实矩阵; 2222222613i是一个是一个3 3复矩阵复矩阵; 421是一个是一个1 4(实实)矩阵矩阵; 9532是一个是一个3 1(实实)矩阵矩阵; 4是一个是一个1 1(实实)矩阵矩阵.6例如例如: 2222222613i是一个是一个3 阶方阵阶方阵.几种特殊矩阵几种特殊矩阵 (1) 行数与列数都等于行数与列数都等于n的矩阵的矩阵A, 称为称为n阶方阵阶方阵. 也可记作也可记作An, n 00000021的方阵的方阵, 称为称为(2) 形如形如(或或), 其中其中 1, 2, , n不全为零不全为零. 记作记作diag( 1, 2,
5、 , n) (3) 如果如果En= diag( 1, 2, , n) = diag(1, 1, , 1), 则称则称En为为(n阶阶)单位矩阵单位矩阵, 或简称或简称单位阵单位阵. 简记为简记为E.7 (4) 只有一行只有一行(列列)的矩阵称为的矩阵称为行行(列列)矩阵矩阵(或或行行(列列)向量向量). ,21naaaA ,21 naaaB (5) 元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵, m n 阶零矩阵阶零矩阵记作记作Om n或或O. (6) 设设A = ( aij )为为 n 阶方阵阶方阵, 对任意对任意 i, j, 如果如果aij = aji都成立都成立, 则称则称A为为
6、对称矩阵对称矩阵; 如果如果aij = aji 都成立都成立, 则称则称A为为反对称矩阵反对称矩阵; 例如例如: 643452321A 043402320BA为对称矩阵为对称矩阵, B为反对称矩阵为反对称矩阵.8,131,213321 zyxBA例例1: 设设解解: 由于矩阵由于矩阵A =B, 则由矩阵相等的定义则由矩阵相等的定义,已知已知A =B, 求求x, y, z.x=2, y=3, z=2.得得: 2. 两个矩阵两个矩阵A = ( aij )与与B = ( bij )为同型矩阵为同型矩阵, 并且并且对应元素相等对应元素相等, 即即 aij = bij ( i =1, 2, , m; j
7、 =1, 2, , n )则称则称矩阵矩阵A与与B相等相等, 记作记作A=B.同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念1. 两个行列数对应相等的矩阵称为两个行列数对应相等的矩阵称为同型矩阵同型矩阵.例如例如:为为同型矩阵同型矩阵. 9101735,642531BA9(1) 矩阵的概念矩阵的概念: m行行n列的数表列的数表 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211(2) 特殊矩阵特殊矩阵 方阵方阵 ;nm 行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵单位矩阵;零矩阵零矩阵.100010001 ,21 naaaB ,21naaaA n 00000021102.2 矩阵的运算矩阵的
8、运算 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111 定义定义: 设两个同型的设两个同型的 m n 矩阵矩阵A = ( aij )与与B = ( bij ), 那末矩阵那末矩阵A与与B的和定义为的和定义为(aij+bij), 记作记作A+B, 即即 1826334059619583112.98644741113 例如例如: 123456981863091531211 说明说明: 只有当两个矩阵是同型矩阵时只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加才能进行加法运算法运算.矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律(1) 交换律交换律: A
9、+B = B+A.(2) 结合律结合律: (A+B)+C = A+(B+C). mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211 .ija (3)称为称为矩阵矩阵A的负矩阵的负矩阵.(4) A+(A) = O, AB = A+(B).12.212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘 定义定义: 数数 与矩阵与矩阵A=(aij)的乘积定义为的乘积定义为( aij), 记作记作 A 或或A , 简称为简称为数乘数乘. 即即设设A, B为同型的为同型的m n 矩阵矩阵, , 为数为数:(1) ()A = ( A).(2) ( + )A =
10、A+ A.(3) (A+B) = A+ B.数乘矩阵的运算规律数乘矩阵的运算规律矩阵的加法与数乘运算矩阵的加法与数乘运算, 统称为矩阵的统称为矩阵的线性运算线性运算.13 skkjiksjisjijiijbabababac12211 定义定义: 设设A = ( aij )是一个是一个 m s 矩阵矩阵, B = ( bij )是一个是一个s n 矩阵矩阵, 定义矩阵定义矩阵A与矩阵与矩阵B的乘积的乘积 C = ( cij )是一个是一个m n 矩阵矩阵, 其中其中三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘( i=1,2, m; j=1,2, n ). 并把此乘积记作并把此乘积记作C=AB.例例1:2
11、22263422142 C22 16 32 816? 123321 132231 .10 例例2:14,415003112101 A.121113121430 B例例3: 求求AB, 其中其中 121113121430415003112101ABC. 1026 2 17 105 67 注意注意: 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时的行数时, 两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘. 106861985123321例如例如:不存在不存在.15矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律(1) 结合律结合律: (AB)C = A(BC);(2) 分配律分配律: A(
12、B+C) = AB+AC, (B+C)A =BA+CA; (3) (AB) = ( A)B = A( B), 其中其中 为数为数;(4) Am nEn = EmAm n = A;并且满足幂运算律并且满足幂运算律: AkAm=Ak+m, (Am)k=Amk, 其中其中k, m为正整数为正整数.注意注意: 矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法不满足交换律, 即即: AB BA,AAAAAAAkkk 1(5)若若A是是n 阶方阵阶方阵, 则则Ak为为A的的k次幂次幂, 即即例如例如: 设设,1111 A,1111 B则则(AB)k AkBk,因此因此,16,0000 AB,2222 BA故故, AB BA.
13、例例4: 计算下列矩阵乘积计算下列矩阵乘积: ,21322 (1) . 321333231232221131211321 xxxaaaaaaaaaxxx(2)解解(1): 21322 12 22 12 22 13 23 .634242 解解(2): 321xxx= 321333231232221131211321 xxxaaaaaaaaaxxxa11x1+a21x2+a31x3a12x1+a22x2+a32x3a13x1+a23x2+a33x317233322222111xaxaxa .)()()(323223313113212112xxaaxxaaxxaa 当矩阵为对称矩阵时当矩阵为对称矩阵
14、时, 结果为结果为322331132112233322222111222xxaxxaxxaxaxaxa =(a11x1+a21x2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3解解: 0010010010012A.002012222 .,001001kAA求求设设 例例5: 00100100201222223AAA 32323003033 假设为假设为f(k) k-2 , f(k)=ak2+bk+c, f(1)=0, f(2)=1, f(3)=318由此归纳出由此归纳出 200021121 kkkkkAkkkkkkk 用数学归纳法证明
15、用数学归纳法证明. 当当k=2时时, 显然成立显然成立.假设假设, 当当k=n时结论成立时结论成立, 对对 k=n+1时时, 001001000211211nnnnnnnnnnnnAAA解方程组可得解方程组可得,. 0,21,21 cba19所以对于任意的所以对于任意的 k 都有都有: .00021121 kkkkkkkkkkkA 11110010211nnnnnnnnnn 20 定义定义: 把矩阵把矩阵A 的行列互换的行列互换, 所得到的新矩阵所得到的新矩阵, 叫叫做做矩阵矩阵A 的转置矩阵的转置矩阵, 记作记作AT.例如例如:,854221 A;825241 TA .618 TB,618
16、B、转置矩阵、转置矩阵(1) (AT)T = A;(2) (A+B)T = AT + BT;(3) ( A)T = AT;(4) (AB)T = BTAT;转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质21解法解法1: 因为因为 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB例例6: 已知已知,102324171,231102 BA求求(AB)T.所以所以解法解法2: 213012131027241.1031314170 (AB)T=BTAT22由矩阵转置和对称矩阵的定义可得由矩阵转置和对称矩阵的定义可得:方阵方阵A 为对称矩阵的充分必要条件是为对称矩阵的充分必
17、要条件是: A=AT.方阵方阵A 为反对称矩阵的充分必要条件是为反对称矩阵的充分必要条件是: A=AT.证明证明: 因为因为 例例7: 设列矩阵设列矩阵X = (x1 x2 xn)T, 满足满足XTX = 1, E为为n 阶单位矩阵阶单位矩阵, H = E 2XXT, 证明证明: H为对称矩阵为对称矩阵, 且且HHT = E.HT = (E 2XXT)T = ET 2(XXT)T = E 2XXT = H.所以所以, H为对称矩阵为对称矩阵.HHT = H2 = (E 2XXT)2= (E 2XXT) (E 2XXT)= E2 E(2XXT) (2XXT)E + (2XXT)(2XXT)= E
18、 4XXT + 4(XXT)(XXT)= E 4XXT + 4X(XTX)XT = E 4XXT + 4XXT = E 23 例例8: 证明任一证明任一n 阶方阵阶方阵A 都可表示成对称阵与反都可表示成对称阵与反对称阵之和对称阵之和.证明证明: 设设 A可以分解为一对称阵可以分解为一对称阵B与与 反对称阵反对称阵 之和，则之和，则2、方阵的行列式、方阵的行列式 定义定义: 由由n 阶方阵阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做的元素所构成的行列式叫做方阵方阵A 的行列式的行列式, 记作记作 | A | 或或 detA . 2 ,8632 A例如例如:8632 A则则A=B+C, 且且BT=B, CT
19、=C AT=(B+C)T=BT+CT=BC,)(21),(21TTAACAAB 故故A=B+C有解，所以原命题成立有解，所以原命题成立.24方阵行列式的运算性质方阵行列式的运算性质(1) | AT | = | A |;(2) | A | = n| A |;(3) | AB | = | A | | B | = | B | | A | = | BA |. 定义定义: 行列式行列式 | A | 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式Aij 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵 nnnnnnAAAAAAAAAA2122212121113、伴随矩阵、伴随矩阵称为矩阵称为矩阵A 的的伴随矩阵伴随矩阵.性
20、质性质: AA* = A*A = | A |E.证明证明: 设设A=(aij), AA*=(bij). ？ nnnnnnAAAAAAAAAA21222211121125则则jninjijiijAaAaAab 2211,|ijA 故故同理可得同理可得AA*=(| A | ij ) = | A |( ij ) = | A | E .= (| A | ij ) = | A |( ij ) = | A | E . nkjkikAa1)(1 nkkjkiaAA*A =4 4、共轭矩阵、共轭矩阵 定义定义: 当当 A = (aij) 为复矩阵时为复矩阵时, 用用 表示表示aij 的共轭的共轭复数复数, 记
21、记 , 称称 为为A 的共轭矩阵的共轭矩阵.ija)(ijaA A ;2AA .3BAAB 运算性质运算性质 ;1BABA 设设A, B为复矩阵为复矩阵, 为复数为复数, 且运算都是可行的且运算都是可行的, 则则:26解：解：由由 BA=B+2E得得 B(AE)=2E,等式两端同时取行列式得等式两端同时取行列式得 |B|AE|=22,所以所以|B|=2. 1111EA而而, |AE|=2，E为为2阶单位矩阵，矩阵阶单位矩阵，矩阵 1111A例例9 设矩阵设矩阵A满足满足BA=B+2E,求求|B|.27例例10 设设A、B是两个是两个n阶方阵，且满足阶方阵，且满足A2=E, B2=E,试证明试证
22、明: (AB)2=E AB=BA.证明：证明：充分性充分性. 由于由于AB=BA, 等式两端同时左乘等式两端同时左乘AB可得，可得，(AB)2 =(AB)(AB)=(AB)(BA)=A(BB)A=A(B2)A因为因为A2=B2=E，所以，所以(AB)2=AA=A2 =E.必要性必要性. 由于由于(AB)2=E，所以，所以E=(AB)2=(AB)(AB)=A(BA)B，等式两端左乘，等式两端左乘A，右乘右乘B可得：可得：AB=AA(BA)BB=A2(BA)B2,而而A2=B2=E，所以，所以AB=BA.证毕证毕.28 例例11 设设A与与B为为 n 阶方阵阶方阵, 等式等式A2B2 = (A+B
23、)(AB)成成立的充要条件是什么立的充要条件是什么?答答: 因为因为 (A + B) (A B) = A2 + BA AB B2,故等式故等式A2 B2 = (A + B)(A B)成立的充要条件是成立的充要条件是:BA AB =0,AB = BA.29矩阵运算矩阵运算 加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵与伴随矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵 (1) 只有当两个矩阵是同型矩阵时只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加法才能进行加法运算运算. (2) 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的只有当第一个矩阵的列数等于第二个
24、矩阵的行数时行数时, 两矩阵才能相乘两矩阵才能相乘, 且矩阵相乘且矩阵相乘不满足交换律不满足交换律. (3) 矩阵的数乘运算与行列式的性质矩阵的数乘运算与行列式的性质3不同不同.注意注意30在数的运算中在数的运算中, 当数当数 a 0 时时, 有有 aa-1 = a-1a = 1. 在矩阵的运算中在矩阵的运算中, 单位阵单位阵E相当于数的乘法运算相当于数的乘法运算中的中的1, 那么那么, 对于矩阵对于矩阵A, 如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵A-1, 使得使得aa11 为为a 的倒数的倒数, 或称或称a的逆的逆(元元).其中其中 AA-1 = A-1A = E,则矩阵则矩阵A称为可逆矩阵称为可
25、逆矩阵, 称称A-1为为A逆阵逆阵.2.3 逆逆 矩矩 阵阵 定义定义: 对于对于n 阶方阵阶方阵A, 如果存在一个如果存在一个n 阶方阵阶方阵B, 使得使得 AB = BA = E则称矩阵则称矩阵A是可逆的是可逆的, 并称矩阵并称矩阵B为为A的逆矩阵的逆矩阵. A的逆的逆矩阵记作矩阵记作A-1.31例如例如: 设设,21212121,1111 BA由于由于 AB = BA = E, 所以所以, B为为A的逆矩阵的逆矩阵. 说明说明: 若若A是可逆矩阵是可逆矩阵, 则则A的逆矩阵是的逆矩阵是唯一的唯一的.事实上事实上: 若设若设B和和C是是A的逆矩阵的逆矩阵, 则有则有所以所以, A的逆矩阵是
26、唯一的的逆矩阵是唯一的, 即即AB = BA = E, AC = CA = E,可得可得:B = EB = (CA)B = C(AB) = CE =C.B = C = A-1.解解: 利用待定系数法利用待定系数法.例例1: 设设,0112 A求求A的逆矩阵的逆矩阵.是是A的逆矩阵的逆矩阵, dcbaB设设32 100122badbca即即 100212badbca 2110dcba又因为又因为则则解得解得, 0112 2110 ,1001 所以所以.21101 A 2110 0112即即AB = BA = E, 如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然
27、是不可行的不可行的, 必须寻求可行而有效的方法必须寻求可行而有效的方法.则则 dcbaAB0112 100133,|11 AAA证明证明: 若若A可逆可逆, 则有则有A-1, 使得使得AA-1 = E.定理定理1: 矩阵矩阵A可逆的充要条件是可逆的充要条件是| A | 0, 且且其中其中A*为矩阵为矩阵A的伴随矩阵的伴随矩阵.故故, | A | A-1 | = | E | = 1, 所以所以, | A | 0.由由伴随矩阵的性质伴随矩阵的性质: AA*= A*A = | A | E, 知知当当| A | 0时时,|1|1EAAAAAA 按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得,.|11 AAA 当当|
28、 A | = 0 时时, 称称A为为奇异矩阵奇异矩阵, 否则称否则称A为为非奇异非奇异矩阵矩阵.34 由此可得由此可得, A是可逆矩阵的充分必要条件是是可逆矩阵的充分必要条件是A为非为非奇异矩阵奇异矩阵.证明证明: 由由 AB = E 得得, | A | | B | = | E | = 1,推论推论: 若若 AB=E (或或 BA=E), 则则 B=A-1.故故| A | 0.因而因而, A-1存在存在, 于是于是B = EB = (A-1A)B = A-1(AB) = A-1E = A-1.故结论成立故结论成立.逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质(1) 若矩阵若矩阵A可逆可逆, 则则A-1亦可
29、逆亦可逆, 且且(A-1)-1 = A.当当| A | 0 时时, 定义定义 A0 = E, A-k = (A-1)k (k为正整数为正整数).且此时对任意整数且此时对任意整数 , , 有有 A A = A + , (A ) = A.35(2) 若矩阵若矩阵A可逆可逆, 且且 0, 则则 A 亦可逆亦可逆, 且且 .111 AA 证明证明:(4) 若矩阵若矩阵A可逆可逆, 则则AT 亦可逆亦可逆, 且且(AT)-1=(A-1)T.AT(A-1)T =(A-1A)T=ET =E,所以所以,(AT)-1=(A-1)T.(3) 若若A, B为同阶可逆方阵为同阶可逆方阵, 则则AB亦可逆亦可逆, 且且
30、(AB)-1 = B-1A-1.证明证明: (AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E,所以所以,(AB)-1=B-1A-1.(5) 若矩阵若矩阵A可逆可逆, 则有则有| A-1 |=| A |-1.证明证明: 因为因为 AA-1 = E, 所以所以, | A | | A-1 | = | E | = 1,因此因此, | A-1 |=| A |-1.36的逆矩阵的逆矩阵. 343122321A例例2: 求方阵求方阵解解: 因为因为343122321| A, 02 , 2341211 A, 3331212 A二、关于逆矩阵的计算二、关于逆矩阵的计算所以所以A-1存在存
31、在.同理可得同理可得, 2, 6, 6232221 AAA. 2, 5, 4333231 AAA, 2432213 A,222563462 A所以所以,故故 AAA|11.11125323231 37,331212321 A.1151531132 B解解:331212321| A010430321 例例3: 下列矩阵下列矩阵A,B是否可逆是否可逆? 若可逆若可逆, 求其逆矩阵求其逆矩阵.0143 04 所以所以, A可逆可逆., 3332111 A, 4312212 A, 5311213 A由于由于. 3, 4, 1, 1, 0, 3333231232221 AAAAAA同理可得同理可得 33
32、23133222123121111|1|1AAAAAAAAAAAAA.31540413341 所以所以,38, 01151531132| B由于由于故故B不可逆不可逆.例例4: 求求 dcba的逆矩阵的逆矩阵( ad bc 0 )., dcbaA解解: 用伴随矩阵的方法求用伴随矩阵的方法求A逆阵逆阵.| A | = ad bc 0.A11 = d, A21 = b, A12 = c, A22 = a .设设 22122111AAAAA. acbd则则A可逆且可逆且则则.1|11 acbdbcadAAA 求求二阶矩阵二阶矩阵A的逆的逆可用可用“两调一除两调一除”的方法的方法, 其其做法如下做法如
33、下:39,130231,3512,343122321 CBA例例5: 设设求矩阵求矩阵X使其满足使其满足 AXB=C.解解: 由于由于, 02343122321| A, 013512| B所以所以, A-1, B-1都存在都存在. 且且 先将矩阵先将矩阵A中的主对角元素调换其位置中的主对角元素调换其位置, 再将次再将次对角元素调换其符号对角元素调换其符号, 最后用最后用A的行列式的行列式|A|除矩阵除矩阵A的的每一个元素每一个元素, 即可得即可得A的逆矩阵的逆矩阵A-1.,222563462211 A,25131 B40又由又由 AXB = C, 得得 A-1AXBB-1 = A-1CB-1,
34、 251313023122256346221E则则 X = A-1CB-1.于是于是X = A-1CB-1 2513202011.41041012 .41234151 X例例6: 解矩阵方程解矩阵方程解解: 给方程两端左乘矩阵给方程两端左乘矩阵,41511 得得 412341514151415111XE41 例例7: 设设方阵方阵A满足矩阵方程满足矩阵方程 A2A2E = O, 证明证明: A, A+2E 都可逆都可逆, 并求它们的逆矩阵并求它们的逆矩阵.证明证明: 由由 A2A2E=O, 得得 A(AE)=2E, ,)(21EEAA 1 A则则故故A可逆可逆, 且且A-1 =).(21EA
35、41231154.642817 412341511X所以所以 ,)3(412EEAEA 又由又由 A2A2E=O, 得得 (A+2E)(A3E)+4E=O, 1)2( EA则则故故(A+2E)可逆可逆, 且且 (A+2E)-1 =).3(41AE 42,710004100021 A例例8: 设设三阶方阵三阶方阵A, B满足关系式满足关系式: A-1BA=6A+BA,且且求求B.解解: 由于由于|A|=1/56 0,由由 A-1BA=6A+BA, 得得 A-1BABA=6A,700040002 所以所以A可逆可逆, 且且A-1=则则 (A-1E)BA= 6A,由于由于(A-1E)=,600030
36、001 所以所以(A-1E)可逆可逆, 且且(A-1E)-1=,6/10003/10001 由由A和和(A-1E)可逆可可逆可得得:.100020006 B = 6(A-1E)-143对角型非奇异方阵的逆矩阵有如下结果对角型非奇异方阵的逆矩阵有如下结果: nA 2100若若则则其中其中, 1 2 n 0. nA 1112110044例例9: 设设,2001,4121 P且且AP = P , 求求An.解解: 由于由于| P | =2, .1124211 P则则 An= P nP-1 A = P P-1, A2 = P P-1 P P-1= PP-1 = P 2P-1, Am = P mP-1,
37、2001 而而,20012001200122 ,2001, nn 11242120014121n.1222122211 nnnn45 设设 (x)=a0+a1x+amxm为一为一m次多项式次多项式, A为为n阶方阵阶方阵, 记记 (A)=a0E+a1A+amAm,则则 (A)称为称为方阵方阵A的的m次多项式次多项式. 由于由于Ak, Al和和E之间都是可交换的之间都是可交换的, 所以方阵所以方阵A的的两个多项式两个多项式 (A)和和 (A)做矩阵乘法是可交换的做矩阵乘法是可交换的, 即总即总有有 (A) (A)= (A) (A)从而方阵从而方阵A的多项式可以类似一般多项式一样相乘或的多项式可以
38、类似一般多项式一样相乘或分解因式分解因式. 例如例如(E+A)(2EA) = 2E+AA2,(EA)3 = E3A+3A2A3.46 定义定义: 设设A, B都是都是n阶矩阵阶矩阵, 若有可逆矩阵若有可逆矩阵P, 使使P-1AP = B ,则称则称B是是A的相似矩阵的相似矩阵, 或说或说矩阵矩阵A与与B相似相似.对对A进行运进行运算算P-1AP, 称为称为对对A进行相似变换进行相似变换, 可逆矩阵可逆矩阵P称为把称为把A变成变成B的的相似变换矩阵相似变换矩阵.由于矩阵由于矩阵A与与B相似相似, 则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵P, 使使P-1AP = B, 亦即亦即 A = PBP-1,所以所以,
39、 相似矩阵有相似矩阵有Am = (PBP-1)m = PBP-1PBP-1 PBP-1= PBmP-1.进一步有进一步有, 若若 (A)=a0E+a1A+amAm, 则则 (A)=a0PP-1+a1PBP-1+amPBmP-1 =P(a0E+a1B+amBm)P-1=P (B)P-1.即即相似矩阵的多项式相似矩阵的多项式, 有相同相似变换矩阵有相同相似变换矩阵.47Am = P mP-1; (A)= P ( )P-1.特别当矩阵特别当矩阵A与对角阵与对角阵 =diag( 1, 2, n )相似时相似时,则则 m = diag( 1m, 2m, nm )又显然有又显然有则则 ( )=a0E+a1
40、 +am m, mnmmmnaaa 212110111.)()()(21 n 48逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质;逆矩阵逆矩阵A-1存在当且仅当存在当且仅当 |A| 0.逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法:(1)待定系数法待定系数法;|11 AAA(3)初等变换法初等变换法(下一章介绍下一章介绍).(2)伴随矩阵法伴随矩阵法:49 bbaaA1101010000012.4 矩阵分块法矩阵分块法一、矩阵的分块一、矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵对于行数和列数较高的矩阵A, 为了简化运算为了简化运算, 经经常采用常采用分块法分块法, 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算使大矩阵的运算化成小
41、矩阵的运算. 具具体做法是体做法是: 用若干条纵线和横线将矩阵用若干条纵线和横线将矩阵A分成许多个分成许多个小矩阵小矩阵, 每一个小矩阵称为矩阵每一个小矩阵称为矩阵A的的子块子块, 以子块为元以子块为元素的素的形式上形式上的矩阵称为的矩阵称为分块矩阵分块矩阵.321 BBB例如例如:),001(1aB ,1010002 baB).110(3bB 50 bbaaA110101000001 bbaaA110101000001, BEOA aaA01 bbB11 1001E 0000O ,4321AAAA 0101aA 1012aA 1003bA bA1004其中其中其中其中 bbaaA110101
42、000001,4321 CCCC.11004 bbC,100103 aC),00(2 C),1(1aC 其中其中51二、分块矩阵的运算规则二、分块矩阵的运算规则 srsrsrsrBBBBBAAAAA11111111, (1) 分块矩阵的加法分块矩阵的加法: 设矩阵设矩阵A与与B是同型的是同型的, 按相按相同的分块法同的分块法, 有有其中子块其中子块Aij与与Bij是同型的是同型的( i=1,2, s ; j=1,2, r ), 则则.11111111 srsrssrrBABABABABA,1111 srsrAAAAA.1111 srsrAAAAA (2) 分块矩阵的数乘分块矩阵的数乘: 设设
43、为数为数, 矩阵矩阵则则52,11111111 trtrststBBBBBAAAAA (3) 分块矩阵的乘法分块矩阵的乘法:设设A为为m l 矩阵矩阵, B为为l n矩阵矩阵, 分块为分块为,1111 srsrCCCCAB其中其中Ai1, Ai2, , Ait的列数分别等于的列数分别等于B1j, B2j, , Btj的行的行数数, 则则kjtkikijBAC 1其中其中( i=1, 2, , s ; j=1, 2, , r ).53例例1: 设设,1011012100100001 A,0211140110210101 B求求AB. 10011001A00001121 , EEO1A解解: 把把
44、A, B分块成分块成 0211140110210101B 222111BBEB则则 2221111BBEBEAOEAB.2212111111 BABBAEB而而21111BBA 110121011121 11012043,1142 54 02141121221BA,1333 于是于是.1311334210210101 AB,11 srAAArA11sA.1111 TsrTrTsTTAAAAA.11 TsrTTAAATsA1TrA1(4) 设设则则,21 sAAAAOO (5) 设设A为为n阶方阵阶方阵, 若若A的分块矩阵除对角线上的的分块矩阵除对角线上的子块为方阵外子块为方阵外, 其余子块均为
45、零矩阵其余子块均为零矩阵, 即即则称则称A为为分块对角矩阵分块对角矩阵.551. | A | = | A1 | | A2 | | As |.2. 设分块对角矩阵设分块对角矩阵A, 若若| Ai | 0 (i=1,2,s), ,112111 sAAAAOO则则| A | 0, 且且, ssBOOOBOOOBAOOOAOOOA21213.2211 ssBAOOOBAOOOBA分块对角矩阵具有下述性质分块对角矩阵具有下述性质:56,100100000001 bbaaA,100000001000 bbaaB例例2: 设设求求A+B, ABA.解解: 将将A, B分块分块 bbaaA1001000000
46、01,21 AOOA其中其中,011 aaA;112 bbA bbaaB100000001000,21 BOOB,101 aaB.102 bbB 2121BOOBAOOABA,2211 BAOOBA57 aaaaBA100111,2112 aa bbbbBA101122,2212 bb其中其中.2200120000210012 bbaaBA所以所以 212121AOOABOOBAOOAABA,222111 ABAOOABA aaaaaaABA011001111 bbbbbbABA111011222,123223 aaaaaa,231223223 bbbbbb而而58 ,51 A,12132 A
47、其中其中则则;321112 A 12111AOOAA ;5/111 A.320110005/1 所以所以解解: 将将A分块分块 120130005A,21 AOOA例例3: 设设,120130005 A求求A-1.形成分块对角矩阵形成分块对角矩阵. .23001220000001232233223 bbbbbbaaaaaaABA所以所以59,1 YWZXA, EOOEYWZXCODB证证: 由于由于B和和C都是可逆方阵都是可逆方阵, 并有并有|A|=|B|C| 0, 所以所以A可逆可逆. 设设则由则由, ECYOCWODYBZEDWBX.1111 OWDCBZCYBX得得即即.11111 CO
48、DCBBA因此因此, CODB 其中其中B和和C都是可逆方阵都是可逆方阵, 证明证明A可可例例4 设设A =逆逆, 并求并求A-1.60三、小结三、小结 在矩阵理论的研究中在矩阵理论的研究中, 矩阵的分块是一种最基本矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法最重要的计算技巧与方法.(1) 加法加法:(3) 乘法乘法:分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似: :分块矩阵之间的运算分块矩阵之间的运算(2) 数乘数乘:同型矩阵同型矩阵, 采用相同的分块法采用相同的分块法.数数k乘矩阵乘矩阵A, 需需k乘乘A的每个子块的每个子块.矩阵矩阵A, B相乘相乘, A的列的分块与的列的分块与B的行分的行分块相一致块相一致.(4) 转置转置 srAAA11rA11sA TsrTTAAA11TsA1TrA161(5) 分块对角阵的行列式与逆阵分块对角阵的行列式与逆阵,21 sAAAAOO1. | A | = | A1 | | A2 | | As |.2. A可逆可逆 Ai可逆可逆( i=1,2,s ), 且且A-1=diag(A1-1, A2-1, , As-1).
