1、1. 空间格子空间格子2. 晶体的微观对称要素晶体的微观对称要素3. 空间群空间群4. 等效点系等效点系5. 原子坐标原子坐标一、晶体结构基础一、晶体结构基础(二）二） 晶体的内部对称晶体的内部对称重点：晶体结构的表述（空间群、原子坐标）重点：晶体结构的表述（空间群、原子坐标）1 空间格子空间格子选择相当点：在实际晶体结构中，点的性质相同，周围选择相当点：在实际晶体结构中，点的性质相同，周围环境相同的点。环境相同的点。提取空间格子。提取空间格子。CsClCl结点分布在平行六面体的角顶，结点坐标结点分布在平行六面体的角顶，结点坐标为为(0,0,0)：该该空间格子空间格子为：原始格子为：原始格子
2、P (Primative) (对三方菱面体格子，符号为对三方菱面体格子，符号为R (rhombehedral)实际原子在空间格子中排布，构成晶体结构，实际原子在空间格子中排布，构成晶体结构，最小重复单位为：单位晶胞。最小重复单位为：单位晶胞。Cs: (0,0,0)Cl: (, , ) ClNa结点分布在平行六面体的角顶和面心，结点坐结点分布在平行六面体的角顶和面心，结点坐标为标为(0,0,0)(,0)(0,)(,0,)该该空间格子空间格子为：为： 面心格子面心格子 F (Face-Centered)实际原子在空间格子中排布，构成晶体结构，实际原子在空间格子中排布，构成晶体结构，最小重复单位为：
3、单位晶胞。最小重复单位为：单位晶胞。Cl: (0,0,0)(,0)(0,)(,0,)Na: (,) (1,1,)(,1,1) (1,1) = (,) (0,0,)(,0,0) (0,0)SnPSn: (0,0,0)(,)P: (0,0,0.428) (0,0,-0.072) = (0,0,0.428) (0,0,0.928)SnPP: (0,0,0)(,)Sn: (0,0,0.428) (0,0,-0.072) = (0,0,0.428) (0,0,0.928)结点分布在平行六面体的角顶和体心，结点坐结点分布在平行六面体的角顶和体心，结点坐标为标为(0,0,0)(,)该该空间格子空间格子为：为
4、： 体心格子体心格子 I (In-the-body)实际原子在空间格子中排布，构成晶体结构，实际原子在空间格子中排布，构成晶体结构，最小重复单位为：单位晶胞。最小重复单位为：单位晶胞。Sn: (0,0,0)(,)P: (0,0,0.428) (0.5,0.5,+0.428) = (0,0,0.428) (0.5,0.5,-0.072)结点分布在平行六面体的角顶和某一结点分布在平行六面体的角顶和某一对面的中心，为底心格子。对面的中心，为底心格子。左图为底心格子中的左图为底心格子中的C心格子，心格子，(C-face centered)结点坐标为结点坐标为(0,0,0)(,0)底心格子还有底心格子还
5、有A心和心和B心。心。立方晶系立方晶系 a a0 0b b0 0c c0 0；9090四方晶系四方晶系 a a0 0b b0 0c c0 0；9090斜方晶系斜方晶系 a a0 0b b0 0c c0 0；9090空间格子的形状空间格子的形状(单位晶胞的形状单位晶胞的形状)六方晶系及三方晶系六方晶系及三方晶系( (四轴坐标系四轴坐标系H H) ) a a0 0b b0 0c c0 0； 9090，120120三方晶系三方晶系( (三轴坐标系三轴坐标系( (菱面体，菱面体，R R) a a0 0b b0 0c c0 0； 9090，6060， 109 10928281616 单斜晶系单斜晶系 a
6、 a0 0b b0 0c c0 0； 9090，9090三斜晶系：三斜晶系： a a0 0b b0 0c c0 0； 90902 2晶体的微观对称要素晶体的微观对称要素(1)螺旋轴（螺旋轴（screw rotation axis） 晶体外部对称中的对称轴，在晶体内部可以体现为对称轴，亦晶体外部对称中的对称轴，在晶体内部可以体现为对称轴，亦可以体现为螺旋轴。可以体现为螺旋轴。 螺旋轴是指：螺旋轴是指：旋转平移旋转平移。对称轴有：对称轴有：2,3,4,6螺旋轴有：螺旋轴有：21； 31、32； 41、42、43； 61、62、63、64、65 共共11种螺旋轴。种螺旋轴。 2 21 42石盐结构中
7、的对称轴的分布石盐结构中的对称轴的分布与纸面垂直与纸面垂直与纸面平行与纸面平行与纸面斜交与纸面斜交26221612136233163313264414656541- 1-442- 443- 6图形表示时对称轴和螺旋轴的符号图形表示时对称轴和螺旋轴的符号（2）滑移面）滑移面 外部对称的对称面，在晶体内部可以是对称面，亦可以是滑外部对称的对称面，在晶体内部可以是对称面，亦可以是滑移面。移面。 滑移面滑移面=反映反映+平移。平移。轴向滑移面轴向滑移面(a、b、c): 滑移方向滑移方向/ X、Y、Z轴，滑移距离轴，滑移距离1/2轴长。轴长。mabc 对角线滑移面对角线滑移面(n)：滑移方向为两晶轴的角
8、平分线或体对角线滑移方向为两晶轴的角平分线或体对角线方向，滑移距离方向，滑移距离1/2(a+b)、1/2(b+c)、1/2(a+b+c)等等。 金刚石滑移面金刚石滑移面(d): 滑移方向滑移方向:晶轴的角平分线方向，或体对角晶轴的角平分线方向，或体对角线方向，滑移距离：线方向，滑移距离：1/4(a+b)、1/4(b+c)、1/4(a+b+c)等等。滑移面的图形符号滑移面的图形符号对对称称面面与纸面垂直与纸面垂直与纸面平行与纸面平行与纸面斜交与纸面斜交ma，b，c（/投影方向）投影方向）a，b，c（投影方向）投影方向）nd3 3空间群 空间群空间群（space groupspace group）
9、是晶体内部结构中全部对称要）是晶体内部结构中全部对称要素的组合，具体说是晶胞中全部对称要素的组合。素的组合，具体说是晶胞中全部对称要素的组合。 晶体的宏观对称构成晶体的宏观对称构成3232种点群。种点群。 晶体的空间格子类型晶体的空间格子类型+ +内部对称构成内部对称构成230230种空间群。种空间群。空间群的国际符号空间群的国际符号 格子类型格子类型 + 微观对称要素按方位表示微观对称要素按方位表示 例如：例如：F d-3m。 与点群不同，这些对称要素在晶胞中不与点群不同，这些对称要素在晶胞中不交于一点，相同的对称要素也不止存在一个。交于一点，相同的对称要素也不止存在一个。同一方向可能存在多
10、种对称要素。同一方向可能存在多种对称要素。 最后的对称要素取最高的：最后的对称要素取最高的： 对称轴存在多个，取最高对称的一个；对称轴存在多个，取最高对称的一个； 对称面对称面(滑移面滑移面)存在多个，取最简单的一种。存在多个，取最简单的一种。晶系晶系点群点群空间群空间群三斜晶系三斜晶系Triclinic111 P12-12 P-1单斜晶系单斜晶系Monoclinic323 P24 P21 5 C24m6 Pm7 Pc8 Cm9 Cc52/m10 P2/m 11 P21/m 12 C 2/m13 P 2/c 14 P 21/c15 C 2/c斜方晶系斜方晶系Orthohombic622216
11、P222 17 P2221 18 P21212 19 P212121 20 C2221 21 C222 22 F222 23 I222 24 I2121217mm(mm2)25 Pmm2 26 Pmc21 27 Pcc2 28 Pma2 29 Pca21 30 Pnc2 31Pmn21 32 Pba2 33 Pna21 34 Pnn2 35 Cmm2 36 Cmc21 37 Ccc2 38 Amm2 39Abm2 40 Ama2 41 Aba2 42 Fmm2 43 Fdd2 44Imm245 Iba2 46 Ima28mmm47 Pmmm 48 Pnnn 49 Pccm 50 Pban 51
12、 Pmma 52 Pnna 53 Pmna 54 Pcca 55 Pbam 56 Pccn 57 Pbcm 58 Pnnm 59 Pmmn 60 Pbcn 61 Pbca 62 Pnma 63 Cmcm 64 Cmca 65 Cmmm 66 Cccm67 Cmma 68Ccca 69 Fmmm 70 Fddd 71 Immm 72Ibam 73 Ibca 74 Imma晶系晶系点群点群空间群空间群四方晶系四方晶系Tetragonal9475 P4 76 P41 77 P42 78 P43 79 I4 80 I4110-481 P-4 82 I-4114/m83 P4/m 84 P42/m 85
13、 P4/n 86 P42/n 87I 4/m 88 I41/a1242(422)89 P422 90 P 4212 91 P4122 92 P41212 93 P4222 94 P42212 95 P4322 96 P43212 97 I422 98I4122134mm99 P4mm 100 P4bm 101 P42cm 102P42nm 103 P4cc 104 P4nc 105 P42mc 106 P42bc 107 I4mm 108 I4cm 109 I41md 110 I41cd14-42m111 P-42m 112 P-42c 113 P-421m 114P-421c 115 P-4
14、m2 116 P-4c2 117 P-4b2 118 P-4n2119 I-4m2 120 I-4c2 121 I-42m 122 I-42d154/mmm123 P4/mmm 124P4/mcc 125 P4/nbm 126 P4/nnc 127 P4/mbm 128 P4/mnc 129 P4/nmm 130 P4/ncc 131 P42/mmc 132 P42/mcm 133 P42/nbc 134 P42/nnm135 P42/mbc 136 P42/mnm 137 P42/nm c 138 P42/ncm 139 I4/mmm 140 I4/mcm 141 I41/amd 142 I
15、41/acd晶系晶系点群点群空间群空间群三方晶系三方晶系Rhombohedral163143 P3 144 P31 145 P32 146 R3 17-3147 P-3 148 R-31832149 P312 150 P321 151 P3112 152 P3121153 P3212 154 P3221 155 R32193m156 P3m1 157 P31m 158 P3c1 159 P31c 160 R3m 161 R3c20-3m162 P-31m 163 P-31c 164 P-3m1 165 P-3c1 166 R-3m167 R-3c六方晶系六方晶系Hexagonal216168
16、P6 169 P61 170 P65 171 P62 172 P64 173 P6322-6174 P-6236/m175 P6/m 176 P63/m2462(622)177 P622 178 P6122 179 P6522 180 P6222 181 P6422 182 P6322256mm183 P6mm 184 P6cc 185 P63cm 186 P63mc26-62m187 P-6m2 188 P-6c2 189 P-62m 190 P-62c276/mmm191 P6/mmm 192 P6/mcc 193 P63/mcm 194 P63/mmc晶系晶系点群点群空间群空间群等轴晶等
17、轴晶系系Cubic28 23195 P23 196 F23 197 I23 198 P213 199I21329 m3200 Pm-3 201 Pn-3 202 Fm-3 203 Fd-3 204 Im -3 205 Pa-3 206 Ia-330 43（432）207 P432 208 P4232 209 F432 210 F4132 211 I432 212 P4332 213 P4132 214 I413231 -43m215 P-43m 216F -43m 217 I-43m 218P-43 n 219 F-43c 220 I-43d32 m3m221 Pm-3m 222 Pn-3n
18、223 Pm-3n 224Pn-3m 225 Fm-3m 226 Fm-3c 227 Fd-3m228F d-3c 229 Im-3m 230 Ia-3d根据空间群符号应理解如下内容：根据空间群符号应理解如下内容：(1)空间群格子类型有空间群格子类型有P、A、B、C、F、I、R。(2)对应的点群、晶系、主要方位的对称要素、晶胞的形状对应的点群、晶系、主要方位的对称要素、晶胞的形状特征。特征。 方法：螺旋轴简化为对称轴、滑移面简化为对称面。方法：螺旋轴简化为对称轴、滑移面简化为对称面。例如：例如：Pnna(52) P42nm(102) P-3m1(164) R-3m(166) P4132(213
19、)如已知如已知TiO2的几种晶相：的几种晶相： 金红石金红石 P42/mnm(136) 锐钛矿锐钛矿 I41/amd(141) 板钛矿板钛矿 Pbca(61)BaTiO3是一例很好的铁电材料，因含杂质的不同及加工方是一例很好的铁电材料，因含杂质的不同及加工方式的不同，可以形成如下不同的晶相，问那几种晶相可能式的不同，可以形成如下不同的晶相，问那几种晶相可能具有铁电性？具有铁电性？ Pm3m(221) P4mm(99) P63/mmc(194) R3m(160) Amm2(38)225 F m -3 m 185 P 63 c m 226 F m -3 c 152 P 31 2 1227 F d
20、-3 m228 F d -3 c200 P m -3 201 P n -3 202 F m -3 203 F d -3183 P 6 m m 70 F d d d 71 I m m m36 C m c 2163 C m c m18 P 21 21 2134 P42/n n m113 P-4 21 m186 P 63 m c184 P 6 c c 112 P-4 2 c判断晶系、各主要方位的对称要素、对应的点群判断晶系、各主要方位的对称要素、对应的点群(3) 单斜晶系的空间群通常按单斜晶系的空间群通常按3位来写，其中两个位置为位来写，其中两个位置为1，只有一个位置有对称要素，如只有一个位置有对称
21、要素，如P1211(4)、P1121(4)、P1121/m(11)，这时，这时，3位分别代表晶体的位分别代表晶体的a、b、c方向。方向。单斜晶系单斜晶系Monoclinic323 P24 P21 5 C24m6 Pm7 Pc8 Cm9 Cc52/m10 P2/m 11 P21/m 12 C 2/m13 P 2/c 14 P 21/c15 C 2/c(4) 空间群符号的转化Pman(53) Pmna(53) Pncm(53) Pbmn(53) Pnmb(53) Pcnm(53)vCu Cl2 (H2 O)2vPbmn(53) 7.395，8.015，3.73 MacGillavry, C.H.
22、& Bijvoet, J.M. (1936)vPmna(53) 8.104(8)，3.757(4)，7.433(7) Engberg, A. (1970)vPbmn(53) 7.395 8.015 3.738.104(8) 3.757(4) 7.433(7) Pncm（53）Pmna(53)3.74 7.40 8.10 abcv Fe Ti H1.73v P 1 2/m 1(10) 4.706(3) 2.8347(9) 4.697(4) v 90. 96.93(2) 90.v Fe Ti H2v P 1 1 2/m(10) 4.708(3) 4.697(3) 2.835(1) v 90. 90
23、. 97.05(2)4 等效点系等效点系 晶胞范围内，一原始点经空间群中全部对称要素的晶胞范围内，一原始点经空间群中全部对称要素的作用所推导出的规则点系。作用所推导出的规则点系。 一个原始点只能推导出一套等效点系。一个原始点只能推导出一套等效点系。等效点系举例等效点系举例如在空间群Fm3m中：（1）原始点在晶胞顶点时）原始点在晶胞顶点时(0,0,0)：经过全部对称要素经过全部对称要素(及格子类型及格子类型F)的的推导，得到推导，得到4个相同的质点个相同的质点: (0,0,0) (,0) (,0,) (0,)即重复点数即重复点数=4(2) 原始点在晶胞体心时原始点在晶胞体心时( )：亦得到亦得到
24、4个相同的质点个相同的质点: (,) (,0,0) (0,0) (0,0,)重复点数重复点数=40.5(3) 原始点在原始点在( )时：时：得到得到8个相同的质点个相同的质点: (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,)重复点数重复点数=80.25(4) 原始点在原始点在 ( 0)时：时：得到得到24个相同的质点个相同的质点: (0 ) (0 ) ( ) ( ) (0 ) (0 ) (0 ) ( )( 0 ) ( ) ( 0 ) ( )( 0 ) ( ) ( 0 ) ( )( 0) ( ) ( ) ( 0)( 0) ( ) ( ) ( 0)重复点数重复点数=24(5) 原始
25、点在原始点在 (x 0 0)时：时：得到得到24个相同的质点个相同的质点: (x 0 0) (+x 0) (x ) (+x 0 ) 重复点数重复点数=24当原始点在任意位置当原始点在任意位置(x,y,z)时：时：得到得到192个相同的质点个相同的质点: (x,y,z) (x,+y,+z) (x+,y,+z) (+x,+y,z) 重复点数重复点数=192z按原始点的位置从特殊(位于角顶、体心、晶胞面、晶棱、对称要素上)到一般，重复点数由少到多，给各套等效点系分别命名，命名方法：重复点数+英文字母(按字母表顺序) 该命名称为等效点系的魏考夫魏考夫( Wyckoff)符号符号。【注】每个空间群都有自
26、己特定的wyckoff符号。特殊等效点系：原始点处于特殊位置一般等效点系：原始点处于一般位置原始点等效点的坐标4a(0,0,0)(0,0,0) (,0) (,0,) (0,)4b(,)(,) (,0,0) (0,0) (0,0,)8c(,)(,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,)24d(,0)(0 ) (0 ) ( ) ( ) (0 ) (0 ) (0 ) ( )( 0 ) ( ) ( 0 ) ( )( 0 ) ( ) ( 0 ) ( )( 0) ( ) ( ) ( 0)( 0) ( ) ( ) ( 0)24e(x 0 0)(x 0 0) (+x 0) (x ) (+x
27、0 ) 共共24个点个点192l(x,y,z)(x,y,z) (x,+y,+z) (x+,y,+z) (+x,+y,z) 共共192个点个点对于面心格子，其内部分布的所有质点都应满足面心格子质点分布规律规律对于面心格子，其内部分布的所有质点都应满足面心格子质点分布规律规律红球红球面心分布面心分布蓝球呢？蓝球呢？公共点(0,0,0)+ (,0)+ (,0,)+ (0,)+原始点等效点的坐标4a(0,0,0)(0,0,0) 4b(,)(,) 8c(,)(,) (,)24d(,0)(0 ) (0 ) ( 0 ) ( 0 )( 0) ( 0)24e(x 0 0)(x,0,0) (-x,0,0) (0,
28、x,0) (0,-x,0) (0,0,x) (0,0,-x) 192l(x,y,z)(x,y,z) 等共等共48个点个点即面心格子中，所有质点的分布都符号面心分布的格式，面心分布的特征是：即面心格子中，所有质点的分布都符号面心分布的格式，面心分布的特征是：(0,0,0)+ (,0)+ (,0,)+ (0,)+因此因此Fm-3m的等效点系分布表可以简化为：的等效点系分布表可以简化为： NaCl的结构按空间群等效点系的方式描述如下： S.G. Fm-3m(225) a=5.6400 Na: 4a:000 Cl: 4b:1/2,1/2,1/2等效点系的特点等效点系的特点1）每套等效点系有个魏考夫符号
29、：）每套等效点系有个魏考夫符号：a，b，或，或c，等，等。2）单位晶胞内，属于同一套等效点系的质点的数）单位晶胞内，属于同一套等效点系的质点的数量叫做该套等效点系的重复点数。量叫做该套等效点系的重复点数。3）原始点所在位置的对称性即为该等效点系的对）原始点所在位置的对称性即为该等效点系的对称性。称性。4）单位晶胞内，每一套等效点系中的每个质点都）单位晶胞内，每一套等效点系中的每个质点都有自己确定的结构坐标。有自己确定的结构坐标。5 原子坐标原子坐标 实际描述原子坐标时，皆按空间群的等效点系来描述。实际描述原子坐标时，皆按空间群的等效点系来描述。例例1：金红石：金红石 (ICSD2008数据库中
30、查阅得出的数据数据库中查阅得出的数据)v Chem Name Titanium OxidevStructured Ti O2vMin Name RutilevD(calc) 4.25vTitle Rutile-type compounds. VI. Si O2, Ge O2 and a comparison with other rutile-type structures Author(s) Baur, W.H.;Khan, A.A.vReference Acta Crystallographica B (24,1968-38,1982) (1971), 27, 2133-2139 Acta
31、 Crystallographica (1,1948-23,1967) (1956), 9, 515-515 Acta Crystallographica (1,1948-23,1967) (1958), 11, 488-488 Golden Book of Phase Transitions, Wroclaw (2002), 1, 1-123vUnit Cell 4.5941(1) 4.5941(1) 2.9589(1) 90. 90. 90.vVol 62.45vZ 2vSpace Group P 42/m n mvSG Number 136vAtom # OX SITE x y z SO
32、F H v Ti 1 +4 2 a 0 0 0 1. 0 v O 1 -2 4 f 0.3057(7) 0.3057(7) 0 1. 0 Atom # OX SITE x y z SOF H Ti 1 +4 2 a 0 0 0 1. 0 O 1 -2 4 f 0.3057(7) 0.3057(7) 0 1. 0 元素符号元素符号 编号编号 化合价化合价 占位占位 xyz坐标坐标 占位度占位度 是否连接有是否连接有H在空间群在空间群P42/mnm中，中，Ti占据占据2a位置，位置，O占据占据4f位置。位置。即单位晶胞中有即单位晶胞中有2个个Ti，4个个O。Ti：2a (000) (0,0,0)
33、(0.5,0.5,0.5)O: 4f(0.3057,0.3057,0) (0.3057,0.3057,0) (-0.3057,-0.3057,0) (0.1943,0.8057,0.5) (0.8057,0.1943,0.5)(-0.3057,-0.3057,0) = (0.6943,0.6943,0)根据上述晶体结构数据绘出的单位晶胞原子分布根据上述晶体结构数据绘出的单位晶胞原子分布例例2：金刚石：金刚石 v Chem Name Carbonv Structured Cv Min Name Diamondv D(calc) 3.52v Title Precision determinatio
34、n of lattice parameter, coefficient of thermal v expansion and atomic weight of carbon in diamondv Author(s) Straumanis, M.E.;Aka, E.Z.v Reference Journal of the American Chemical Society (1951), 73, 5643-5646v Unit Cell 3.56669(5) 3.56669 3.56669 90. 90. 90.v Vol 45.37v Z 8v Space Group F d -3 m Sv
35、 SG Number 227v Cryst Sys cubicv Atom # OX SITE x y z SOF H v C 1 +0 8 a 0 0 0 1. 0 Atom # OX SITE x y z SOF H C 1 +0 8 a 0 0 0 1. 0含义为：含义为：在空间群在空间群Fd-3m(227)中中, C占据占据8a等效点系，即单位晶胞有等效点系，即单位晶胞有8个个C。(000) (0,0,0) (0,0.5,0.5) (0.5,0,0.5) (0.5,0.5,0) (0.75,0.25,0.75) (0.75,0.75,1.25) (1.25,0.25,1.25) (1.
36、25,0.75,0.75)(1.25,0.25,1.25) = (0.25,0.25,0.25)金刚石晶体结构：单位晶胞中的原子分布金刚石晶体结构：单位晶胞中的原子分布作业二作业二对对BaTiO3的如下两种晶相：的如下两种晶相：(1) Pm-3m(221) a=3.9732 Z=1 Ba:1a (0,0,0) Ti: 1b (0.5, 0.5, 0.5) O: 3c (0.5,0.5,0)(2) P4mm(99) a=3.993 c=4.033 Z=1 Ba: 1b (0.5, 0.5, 0.51) Ti: 1a (0, 0, -0.11) O: 1a (0, 0, 0.52) O: 2c (0.5, 0, 0.22)试描述每种晶相的对称信息，并根据等效点系数据库给出试描述每种晶相的对称信息，并根据等效点系数据库给出每种晶相的单位晶胞中全部原子的分布信息。每种晶相的单位晶胞中全部原子的分布信息。
