1、 1.6 事件的独立性事件的独立性一、一、相互独立的事件相互独立的事件 在前面的讨论中我们看到对在前面的讨论中我们看到对“有放回抽样有放回抽样”问题第问题第1次取次取到到正品与否，不影响第正品与否，不影响第2次取到正品的概论，即次取到正品的概论，即P(A2|A1) = P(A2)，此时由乘法公式可得此时由乘法公式可得 P(A2A1) = P(A1)P(A2) 设设A、B是两事件，若是两事件，若P(AB) = P(A)P(B)，则称则称A与与B为为相互相互独立的事件独立的事件 由上述定义不难验证由上述定义不难验证: (1)若若A、B相互独立，则相互独立，则A与与都相互独立。都相互独立。与与与与B
2、ABAB,相互独立相互独立与与只证明只证明证明证明BABAABAABBB )( )(BAAB而而)()(BAABPBP )()(BAPABP 相互独立相互独立与与BA即即P(AB) = P(A)P(B)()()(ABPBPBAP )()()(BPAPBP )(1)(APBP )()(APBP 相互独立相互独立与与BA (2)若若P(A)0，P(B)0，则则A、B相互独立与相互独立与A、B互不互不相容不能同时成立相容不能同时成立 事实上，当事实上，当A、B相互独立时，相互独立时，P(AB)=P(A)P(B)， 若若P(A)0，P(B)0 ，则则P(AB)0 而在而在A、B互不相容时互不相容时P(
3、AB)=0，故两者不能同时成立故两者不能同时成立 例例1 P(A)= 0.4，P(AB)= 0.7，A、B相互独立，求相互独立，求P(B) 解解 A、B相互独立，即相互独立，即P(AB)=P(A)P(B) P(AB)= P(A)P(B) P(AB) = P(A)P(B) P(A)P(B) = P(A)P(B)1 P(A) )()()(APBPAP 相互独立概念可以推广相互独立概念可以推广: n事件事件A1，A2，An若满足若满足P(Ai Aj)=P(Ai)P(Aj)，(ij，i、j=1,2,n)，则称则称A1，A2，An两两独立两两独立 例例2 当当A、B、C两两独立时，两两独立时，P(ABC
4、)=P(A)P(B)P(C)是否一定成立？是否一定成立？ 解解 不一定如，一袋中有不一定如，一袋中有4张大小相同的卡片，上面分张大小相同的卡片，上面分别印有下列数字：别印有下列数字：111，001，100，010从中任取一张，用从中任取一张，用A、B、C分别表示取到的卡片上第分别表示取到的卡片上第1、2、3位上数字为位上数字为1则则 5 . 06 . 03 . 04 . 014 . 07 . 0)()()()( APAPBAPBP 于是于是 A、B、C 满足满足 P(AB) =P(A)P(B) P(AC) =P(A)P(C) P(BC) = P(B)P(C) 故故 A、B、C 为两两独立事件为
5、两两独立事件 但是但是 P(ABC)=1/4，P(A)P(B)P(C) =1/8， P(ABC)P(A)P(B)P(C)41)(,41)(,41)( BCPACPABP21)(,21)(,21)( CPBPAP 设设A、B、C为三个事件，若满足为三个事件，若满足 P(AB) =P(A)P(B) P(AC) =P(A)P(C) P(BC) = P(B)P(C) P(ABC) =P(A)P(B)P(C)则称则称A、B、C为为相互独立的事件相互独立的事件 一般地，一般地， 设设A1,A2,An为为n 个事件，个事件， 若对任意若对任意k, 任意任意1i1i2ikn，都有都有 P(A i1 A i2
6、A ik )=P (A i1 )P(A i2 )P(A ik )则称则称A1，A2，An为为相互独立的事件相互独立的事件 例例3 甲、乙两人射出同一目标，已知甲的命中率为甲、乙两人射出同一目标，已知甲的命中率为0.6，乙的命中率为乙的命中率为0.5，若两人同时射出，求目标被击中的概率，若两人同时射出，求目标被击中的概率 解解 令令A表示表示“甲命中目标甲命中目标”，B表示表示“乙命中目标乙命中目标”，C 表示表示“目标被击中目标被击中”，则，则C =AB P(AB) =P(A)P(B)P(AB)根据题意，可以认为根据题意，可以认为A、B为相互独立，即有为相互独立，即有 P (AB) =P(A)
7、P(B) P(C) = P(AB) = P(A)P(B) P(A)P(B) =0.60.50.60.5 =0.8 例例4 一个元件能正常工作的概率叫做这个一个元件能正常工作的概率叫做这个元件的可靠性元件的可靠性， 由元件组成的系统能正常工作的概率叫做由元件组成的系统能正常工作的概率叫做系统的可靠性系统的可靠性，设构，设构成系统的每个元件的可靠性均为成系统的每个元件的可靠性均为 p(0p1)，且各元件能否正且各元件能否正常工作是相互独立的由常工作是相互独立的由4个元件按图个元件按图17的两种连接方式构成的两种连接方式构成系统系统和系统和系统，试比较两个系统可靠性的大小，试比较两个系统可靠性的大小
8、解解 令令Ai 表示表示“ 第第i个元件工作个元件工作正正常常”(i =1,2,3,4)，B 表示表示 “系统系统工作正常工作正常”，C表示表示“系统系统工工作作正常正常”，则，则P(Ai)= p (i =1,2,3,4) ，且且A1,A2,A3,A4相互独立相互独立 B= A1A2A3A4，C =(A1A3)(A2A4) P(B) = P(A1A2A3A4) = P(A1A2)P(A3A4)P(A1A2A3A4) =P(A1) P(A2)+ P(A3) P(A4) P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) =2p2p4423142314231)()()(AAAAAAAAAAAAC )()()
9、()()(342142314231AAAAPAAPAAPAAAAPCP =2(1p)2(1p)4)(1)(CPCP =2(1p)2(1p)4 =(2pp2)2 P(C)P(B) = (2pp2)2 （2p2p4） = 2p2(1p)20 故系统故系统优于系统优于系统二、二、n重伯努利概型重伯努利概型 许多问题中，我们只关心试验中某事件许多问题中，我们只关心试验中某事件A发生与否这种发生与否这种只有两个可能结果的试验称为伯努利试验例如：射击只有两个可能结果的试验称为伯努利试验例如：射击“中中”与与“不中不中”，抽样时的，抽样时的“正品正品”和和“次品次品”，投币试验，投币试验“出正出正面面”还还
10、是是“出反面出反面”，等等，等等在 每次试验中事件每次试验中事件A 或者发生或者不发生，且每次试验结或者发生或者不发生，且每次试验结果与其它各次试验结果无关，即每次试验中果与其它各次试验结果无关，即每次试验中A发生的概率都是发生的概率都是P(0 p 1)，这样的这样的n次重复试验叫次重复试验叫n重伯努里试验重伯努里试验.。 例例5 一射手每次射击命中率为一射手每次射击命中率为0.8，向一目标连续射击，向一目标连续射击3次次是三重伯努利试验若令是三重伯努利试验若令Ai表示表示“第第i次射击命中目标次射击命中目标”，由，由已已知知P(Ai) = 0.8(i=1,2,3)这个试验的所有可能结果为这个
11、试验的所有可能结果为 这这8个事件两两互不相容由于个事件两两互不相容由于3次射击是独立的，则事次射击是独立的，则事件件A1，A2，A3是相互独立的上述是相互独立的上述8个事件的概率均可求出：个事件的概率均可求出：128. 02 . 08 . 0)()()(2321321321 AAAPAAAPAAAP,321AAA,321AAA,321AAA,321AAA,321AAA,321AAA,321AAA,321AAA个个共有共有3332313032 CCCC008. 0) 8 . 01 ()()()()(3321321 APAPAPAAAP032. 02 . 08 . 0)()()(23213213
12、21 AAAPAAAPAAAP P(A1 A2 A3) = 0.83 = 0.512 若令若令pi表示表示“3次射击中命中次射击中命中i”的概率的概率(i=0,1,2,3)，那么那么)(3213213212AAAAAAAAAPp )()()(321321321AAAPAAAPAAAP )(3213213211AAAAAAAAAPp 300333210) 8 . 01 (8 . 02 . 0)( CAAAPp)()()(321321321AAAPAAAPAAAP 213) 8 . 01 (8 . 0096. 0 C1223) 8 . 01 (8 . 0384. 0 C332138 . 0)( A
13、AAPp0333) 8 . 01 (8 . 0 C伯努里定理伯努里定理：设一次试验中设一次试验中A发生的概率为发生的概率为p (0 p 1), 则则n重贝努里试验中，重贝努里试验中，A恰好发生恰好发生k次的概率次的概率 例例6 20件产品中件产品中2件次品，每次从中取一件，然后放回件次品，每次从中取一件，然后放回取取5次，求次，求5件中取到次品数为件中取到次品数为k的概率的概率pk(k=0,1,2,3,4,5) 解解 这是有放回抽样，是五重伯努利试验，每次取到次品这是有放回抽样，是五重伯努利试验，每次取到次品的概率的概率p=0.1那么那么59049. 09 . 01 . 050050 Cp32805. 09 . 01 . 04151 Cp0729. 09 . 01 . 032252 Cp00648. 09 . 01 . 023353 Cp0045. 09 . 01 . 04454 Cp00001. 09 . 01 . 005555 Cp
