1、 3.5 两个随机变量函数的分布两个随机变量函数的分布 本节讨论已知二维随机变量本节讨论已知二维随机变量(X, Y) 的概率密度的概率密度 f(x, y)的情的情况下，如何求随机变量函数况下，如何求随机变量函数),()(zYXPzZPzFZ DdxdyyxfDyxP),(),( zyxdxdyyxf),(),( 与单个随机变量的函数类似，先求出随机变量函数与单个随机变量的函数类似，先求出随机变量函数Z 的分的分布函数，然后再求其概率密度借助几何直观，随机点落在区布函数，然后再求其概率密度借助几何直观，随机点落在区域域D的概率等于以概率密度为顶，的概率等于以概率密度为顶，D为底的曲顶柱体体积，所
2、以为底的曲顶柱体体积，所以 ),(YXZ 的分布密度问题的分布密度问题其中其中D=(x，y)| (x,y)z 下面讨论几个常用的二维随机变量函数的分布下面讨论几个常用的二维随机变量函数的分布(以下设以下设X、Y是定义在同一样本空间的随机变量是定义在同一样本空间的随机变量) 一、一、Z=XY 的分布的分布 设设(X, Y)的概率密度为的概率密度为 f(x, y)，则，则Z=XY 的分布函数为的分布函数为 FZ(z) =PZz = PX+Yz zyxdxdyyxf),(x+y = zyx xzdyyxfdx),(将上式关于将上式关于z 求导求导(这里设求导与积分次序这里设求导与积分次序可以交换可以
3、交换)，得到，得到Z 的概率密度为的概率密度为 dxxzxfzfZ),()( 若先对若先对x积分，且注意到积分，且注意到x、y的对称性，则得到的对称性，则得到Z 的概率的概率密度的另一种表达式：密度的另一种表达式： dyyyzfzfZ),()(如果如果X 和和Y 是两个相互独立的随机变量，即是两个相互独立的随机变量，即 f(x, y) =fX(x) fY(y)于是于是 dxxzfxfzfYXZ)()()( dyyfyzfzfYXZ)()()(这两个公式称为卷积公式，记为这两个公式称为卷积公式，记为YXff dxxzfxfffYXYX)()( dyyfyzfYX)()( 例例1 设设X与与Y相互
4、独立且都服从相互独立且都服从N(0, 1)，求，求Z=XY的概率密度的概率密度解解 由条件知由条件知)(21)(221 xexfxX )(21)(221 yeyfyY dxxzfxfffzfYXYXZ)()()( 于于是是 dxeexzx22)(2122121 dxeezxz 22)2(421 得得令令tzx 2 442222121)(ztzZedteezf22)2(2221ze 结果表明结果表明XYN(0, 2)即即两个独立的正态随机变量之和仍为两个独立的正态随机变量之和仍为正态随机变量正态随机变量一般地，若一般地，若XN(1,12），），YN(2,22)，X与与Y 相互独立，则相互独立，则
5、XY N(12, 1222)。 还可以推广到还可以推广到n个独立正态随机变量之和情况：个独立正态随机变量之和情况： 若若XiN(i,i2) (i=1,2,n), 则则),(112 niniiiN niiXZ1 一般地，可以证明一般地，可以证明n 个独立正态随机变量个独立正态随机变量Xi N(i,i2)(i=1,2,n)的线性组合的线性组合Z 仍然服从正态分布，且仍然服从正态分布，且 二二、Z=X 2Y 2的分布的分布只就下列情况讨论只就下列情况讨论 例例2 设设X、Y 相互独立且都服从相互独立且都服从N(0, 1)，求，求Z=X2Y2 的概的概率密度率密度 niiiXkZ1 ),(1122 n
6、iniiiiikkN 解解 FZ(z) =PZz =P X 2Y 2z zyxdxdyyxf22),(由于由于X、Y 独立，独立，f (x, y) = fX(x) fY(y)(212221yxe Z 0 时，时， zyxyxZdxdyezF2222)(2121)( rdredrz22120021 zrdrre0212两边对两边对z求导，得求导，得fZ(z) =ze2121 Z 0 时，时，FZ(z) = 0，于是，于是 fZ(z) = 0 00021)(21zzezfzZZ服从自由度为服从自由度为2的的2分布也服从参数为分布也服从参数为1/2的指数分布的指数分布 三三、M=maxX, Y及及N
7、=minX, Y的分布的分布 设设X、Y是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 FX(x)、FY(y)，试求，试求 M=maxX, Y及及N=minX, Y的分布函数的分布函数 因为因为M小于小于z，等价于，等价于X、Y 都小于都小于z再利用独立性，得再利用独立性，得 FM(Z)=PM z = PX z, Y z = PX z PY z = FX(z)FY(z) 类似地可得到类似地可得到N=minX，Y的分布函数为的分布函数为 FN(z) =PN z=1PNz =1 PXz, Yz =1PXzPYz =11 PXz1 PYz =11 FX(z)1
8、FY(z) 以上结果可以推广到以上结果可以推广到n个随机变量情况个随机变量情况 若若X1、X2、Xn为为n个相互独立的随机变量，分布函数个相互独立的随机变量，分布函数分别为分别为则则 M =maxX1, X2, , Xn 的分布函数为的分布函数为)()()(21xFxFxFn、N=min X1, X2, , Xn 的分布函数为的分布函数为)()()()(21zFzFzFzFnM )(1)(1)(11)(21zFzFzFzFnN 特别：若特别：若X1、X2、Xn独立同分布，分布函数都为独立同分布，分布函数都为F(x)，则则 Fmax(z) = F(z)n Fmin(z) =11 F(z)n 例例
9、3 设系统设系统L由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统L1、L2联接而成，联接而成，联接方式分别为串联、并联如图所示已知联接方式分别为串联、并联如图所示已知L1、L2的寿命分的寿命分别为别为X，Y，概率密度分别为，概率密度分别为 ,0,)(xXexf . 0, 0 xx , 0,)(xYeyf . 0, 0 yy其中其中0，0，且，且试分别就以上两种联接方式写试分别就以上两种联接方式写出出L 的寿命的寿命Z 的概率密度的概率密度 解：解：(1)串联情况由于串联情况由于L1、L2中有一个损坏时系统中有一个损坏时系统L就停止工作，就停止工作，所以这时所以这时L的寿命的寿命Z = min(X
10、, Y)XY L1 L2XXL1L2FZ(z) =11 FX(z)1 FY(z) , 0,1)()(xxXXedxxfxF . 0, 0 xx , 0,1)()(yxYYedyyfyF . 0, 0 yy , 0,1)(ze . 0, 0 zz 于是于是 Z=min(X, Y )的概率密度为的概率密度为 , 0,)()()(minzezf . 0, 0 zz (2) 并联情况，由于当且仅当并联情况，由于当且仅当L1、L2都损坏时，系统都损坏时，系统L才停才停止工作，所以此时止工作，所以此时L的寿命的寿命Z=max( X, Y)其分布函数为其分布函数为 Fmax(z) = FX(z)FY(z)
11、, 0,)()()(maxzzzeeezf . 0, 0 zz 000)1)(1(zzeezz 于是于是Z=max(X, Y ) 的概率密度为的概率密度为 例例4 设随机变量设随机变量X、Y相互独立，其概率密度分别为相互独立，其概率密度分别为 其他其他0101)(xxfX 其他其他00)(yeyfyY 求随机变量求随机变量Z=2XY 的概率密度的概率密度 解解 由于由于X、Y相互独立，所以相互独立，所以(X, Y) 的概率密度函数为的概率密度函数为 f (x, y) = fX(x) fY(y) , 0,ye., 0, 10其其他他 yx2x+y = zyz oz/2xdxdyyxfzYXPzF
12、zyxZ 2),(2)(1)当当z 0时，时，f(x, y) = 0 FZ(z) = 0(2)当当0z 2时，时，)1(212)(2020zzxzyZezdyedxzF (3)当当z 2时，时， 10202)(211)(xzzzyZeedyedxzF. 2, 20, 0,)1(21),1(21, 0)()(2 zzzeeezFzfzzZZ 已知两个离散型随机变量已知两个离散型随机变量X、Y的联合分布，求的联合分布，求X、Y的函的函数概率分布与求一维离散型随机变量函数的概率分布类似，数概率分布与求一维离散型随机变量函数的概率分布类似，本质上是利用事件与概率运算法则，下面举例说明本质上是利用事件与
13、概率运算法则，下面举例说明 例例5 设离散型随机变量设离散型随机变量(X, Y)的概率分布为的概率分布为 求：求：(1) S=XY；(2) T=|XY|; (3) M=maxX, Y ；(4)N=minX , Y 的概率分布的概率分布YX解解 (1) S=XY 的可能取值：的可能取值：0，1，2，3.00, 00 YXPSP4 . 00, 11, 01 YXPYXPSP2 . 01, 23 YXPSP4 . 00, 21, 12 YXPYXPSPSPYX(2) T=|X-Y| 的可能取值：的可能取值：0，1，2.6 . 01, 20, 11, 01 YXPYXPYXPTP1 . 01, 10, 00 YXPYXPTP3 . 00, 22 YXPTPYX(3) M=maxX, Y的可能取值：的可能取值：0，1，2.5 . 01, 10, 11, 01 YXPYXPYXPMP00, 00 YXPMP5 . 01, 20, 22 YXPYXPMPYX(4) N=minX , Y的可能取值：的可能取值：0，1.7 . 00, 20, 11, 00 YXPYXPYXPNP3 . 01, 21, 11 YXPYXPNP
