1、二、二、 导数应用导数应用习题课一、一、 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 中值定理及导数的应用 第三三章 拉格朗日中值定理 )()(bfaf一、一、 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用1. 微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 0)(fxyoab)(xfy )()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()()()()(bfafxxF 柯西中值定理 xxF)(xyoab)(xfy机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用(1) 研究函数或导数的性态(2) 证明恒
2、等式或不等式(3) 证明有关中值问题的结论机动 目录 上页 下页 返回 结束 (4) 利用洛必达法则求极限3、未定式、未定式:,0 ,00,1型0解决方法解决方法:通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 0,0说明说明利用洛必达法则求极限，注意利用洛必达法则求极限，注意(1)两种基本形式的解题方法要熟悉(2) 其它类型的未定式转化为基本形式的方法要明确(3) 要结合以前学过的各种方法，灵活解题.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 导数应用导数应用1. 研究函数的性态:增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 ,曲率2. 解决最值
3、问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题3. 其他应用 :求不定式极限 ;几何应用 ;相关变化率;证明不等式 ;研究方程实根等.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的连续性及导函数例例1. 填空题填空题(1) 设函数上连续，在),()(xf的则)(xf其导数图形如图所示,机动 目录 上页 下页 返回 结束 单调减区间为 ;极小值点为 ;极大值点为 .)(xf ),0(),(21xx),(),0,(21xx21, xx0 x提示提示:)(xf根据的正负作 f (x) 的示意图. 单调增区间为 ;o2x1xyxox)(xf1x2xo)(xfx .在区间 上是凸弧 ;拐点为 ),0(),(21xx
4、)0(, 0( ,)(,( ,)(,(2211fxfxxfx提示提示:)()(xfxf 的可导性及根据的正负作 f (x) 的示意图. 形在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图 (2) 设函数上可导，在),()(xf的图形如图所示,机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(),0,(21xx)(xf o2x1xyx2x)(xf 1xln)1ln()()(1xxxfxf例例2. 证明在xxxf)1 ()(1),0(上单调增加.证证:)1ln()(ln1xxxfln)1ln(xxx11ln)1ln()11()(xxxxxfx令,ln)(ttF在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,机动 目
5、录 上页 下页 返回 结束 111xxx) 10(1ln)1ln(xxxxx11故当 x 0 时,0)( xf从而)(xf在),0(上单调增.得例例3. 设在)(xf),(上可导, 且证明 f ( x ) 至多只有一个零点 . 证证: 设)()(xfexx则 )()()(xfxfexx0,0)()(xfxf故)(x在),(上连续单调递增, 从而至多只有一个零点 .又因,0 xe因此)(xf也至多只有一个零点 .思考思考: 若题中0)()(xfxf改为,0)()(xfxf其它不变时, 如何设辅助函数?)()(xfexx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求数列nn的最大项 .证证: 设
6、),1()(1xxxfx用对数求导法得)ln1()(21xxxfx令,0)( xf得, ex x)(xf )(xfe), 1e),(e0ee1因为)(xf在),1只有唯一的极大点,ex 因此在ex 处)(xf也取最大值 .又因,32 e442 且,33nn为数列故33中的最大项 .极大值机动 目录 上页 下页 返回 结束 列表判别:例例5. 证明. )0(1arctan)1ln(xxxx证证: 设xxxxarctan)1ln()1 ()(, 则0)0(211)1ln(1)(xxx)0(0 x故0 x时, )(x单调增加 , 从而0)0()(x即)0(1arctan)1ln(xxxx机动 目录
7、上页 下页 返回 结束 例例6. 设,0)0(f且在),0上)(xf 存在 , 且单调递减 , 证明对一切0,0ba有)()()(bfafbaf证证: 设, )()()()(xfafxafx则0)0()()()(xfxafx)0(0 x所以当时，0 x)(x0)0(令,bx 得0)()()()(bfafbafb即所证不等式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求)0()1arctan(arctanlim2ananann解法解法1 利用中值定理求极限原式)1(11lim22nanann之间）与在1(nana221) 1(limannnna机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 利用罗必塔法则)0()1arctan(arctanlim2ananann原式21arctanarctanlimxxbxaxxt1令20arctanarctanlimtt bt at机动 目录 上页 下页 返回 结束
