1、 1.2 事件的频率与概率事件的频率与概率 概率论研究的是随机现象量的规律性因此仅仅知道概率论研究的是随机现象量的规律性因此仅仅知道试验中可能出现哪些事件是不够的，还必须对事件发生的试验中可能出现哪些事件是不够的，还必须对事件发生的可能性大小的问题进行量的描述可能性大小的问题进行量的描述 一、一、 概率的统计定义概率的统计定义 人们经过长期实践发现，虽然随机事件在一次试验中人们经过长期实践发现，虽然随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量重复的试验中它却呈现可能出现也可能不出现，但在大量重复的试验中它却呈现出明显的规律性出明显的规律性频率稳定性频率稳定性 频率的定义：在相同条件下进行
2、的频率的定义：在相同条件下进行的n次试验中，事件次试验中，事件A发生的次数发生的次数nA称为事件称为事件A发生的发生的频数频数比值比值nA n称为事件称为事件 A发生的发生的频率频率，并记为，并记为fn(A),即即fn(A) = nA n 由定义，易知频率具有下述基本性质：由定义，易知频率具有下述基本性质： (1) 0 fn(A) 1； (2) fn() =1， fn() 0 (3) 若若A、B为互不相容的两个事件，则为互不相容的两个事件，则 fn(A B)= fn(A) + fn(B)事实上，若在事实上，若在次试验中，事件次试验中，事件A发生了发生了A次，事件次，事件B发生了发生了B次，由于
3、次，由于A、B为互不相容，故为互不相容，故AB发生的次数发生的次数AB =A B ，根据频率的定义得，根据频率的定义得 fn(A B)= fn(A) + fn(B) 由于事件发生的频率是它发生的次数与试验次数之比，由于事件发生的频率是它发生的次数与试验次数之比，其大小表示发生的频繁程度频率愈大，事件发生愈频繁，其大小表示发生的频繁程度频率愈大，事件发生愈频繁，这意味着事件在一次试验中发生的可能性愈大因而，直这意味着事件在一次试验中发生的可能性愈大因而，直观的想法是用频率来表示事件在一次试验中发生的可能性观的想法是用频率来表示事件在一次试验中发生的可能性的大小但是否可行的大小但是否可行？ 例例1
4、 (抛掷硬币试验抛掷硬币试验)在一组不变的条件在一组不变的条件 (如硬币是匀的，如硬币是匀的，垂直上抛等等垂直上抛等等)下，重复抛掷一枚硬币，考察事件下，重复抛掷一枚硬币，考察事件A出现出现正面正面发生的频率历史上曾经有不少人做过这个试验，表发生的频率历史上曾经有不少人做过这个试验，表13列出了大量投掷硬币的试验结果列出了大量投掷硬币的试验结果 从上表可见，在多次重复试验中，同一事件发生的频率从上表可见，在多次重复试验中，同一事件发生的频率 虽然并不完全相同，但总是在一个固定的数值附近摆动，呈虽然并不完全相同，但总是在一个固定的数值附近摆动，呈 现出一定的稳定性当重复的次数增加时，这种现象就越
5、明现出一定的稳定性当重复的次数增加时，这种现象就越明 显频率的这种稳定性，反映了随机事件本身固有的属性，显频率的这种稳定性，反映了随机事件本身固有的属性， 也就是说，事件的概率是客观存在的。也就是说，事件的概率是客观存在的。实实 验验 者者投掷次数投掷次数正面次数正面次数 频频 率率蒲蒲 丰丰 4040 2048 0.5069皮皮 尔尔 逊逊 12000 6019 0.5016皮皮 尔尔 逊逊 24000 12012 0.5005概率的概率的统计定义统计定义： 在相同条件下，重复进行在相同条件下，重复进行n次试验，当次试验，当n 充分大，事件充分大，事件A发发生的频率生的频率fn(A) = n
6、A n 稳定地在某一数值稳定地在某一数值 p 附近摆动，则附近摆动，则称称 p为事件为事件A 发生的发生的 概率概率，记作，记作P(A) p关于概率的统计定义关于概率的统计定义: (1) 0P(A)1 P()=0 P()=1; (2) 给出了概率的一种近似求法给出了概率的一种近似求法 (频率近似代替概率频率近似代替概率) (3) 频率与概率不同频率与概率不同, 频率与试验次数有关频率与试验次数有关,而而概率是事物的概率是事物的本身属性本身属性. (实际问题中频率可认为是概实际问题中频率可认为是概 率的随机表现率的随机表现) . (4) 频率代替概率的缺点是不能使频率代替概率的缺点是不能使n+1
7、次试验优于次试验优于n次试验所次试验所得得 结果结果.(很多问题中影响并不大很多问题中影响并不大)为此，人们要寻找更精确的定义为此，人们要寻找更精确的定义.二、二、概率的公理化体系概率的公理化体系 在勒贝格测度论和积分理论基础上，前苏联数学家柯尔在勒贝格测度论和积分理论基础上，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫在莫哥洛夫在1933年提出了概率的公理化体系年提出了概率的公理化体系 公理公理1 对任一事件对任一事件A有有P(A)0 公理公理2 P()=1 公理公理3 对可列个两两互不相容的事件对可列个两两互不相容的事件A1,A2,An,有有)()(11 iiiiAPAP 在此基础上得到概率的理论定义：在此基
8、础上得到概率的理论定义： 设实值函数设实值函数 P P(A)的定义域为所考虑的全体随机事件组成的定义域为所考虑的全体随机事件组成 的集合，且这个集合函数满足公理的集合，且这个集合函数满足公理1、2、3，则称，则称 P P(A) 为事为事件件A的概率的概率 通常将公理通常将公理1、2、3称为概率的三个基本性质，第三条称为概率的三个基本性质，第三条称为称为可列可加性可列可加性 三、三、 性质性质由概率的三个基本性质可以推出其他的重要性质由概率的三个基本性质可以推出其他的重要性质:（1） P()=0证明证明 令令Ai = （i =1,2,），则），则 ,1 iiA).(jiAAji 且且故由公理故由
9、公理3：)()()()(111 iiiiiPAPAPP 而实数而实数P()0，由上式知，由上式知P() = 0(2) (有限可加性有限可加性)设设A1,A2,An为为n个两两互不相容的事件，则个两两互不相容的事件，则)()(11niiniiAPAP 只需令只需令An 1=An2=，利用公理，利用公理3即可证明即可证明 特别地，当特别地，当A、B为两个互不相容的事件，则为两个互不相容的事件，则 P(AB)=P(A)P(B)(3) 设设A为任一事件，则为任一事件，则).(1)(APAP AAAA,证明证明)()()()(1APAPAAPP ).(1)(APAP 从而从而(4) (单调性单调性) 若
10、若A B,则则P(BA)=P(B) P(A)，且，且P(A)P(B) 证明证明 当当A B,有有B =A(BA)，且，且A(BA) =，则，则 P(B)=P(A)P(BA)， P(BA)= P(B) P(A) 由概率的非负性由概率的非负性P(BA)0，故，故P(A)P(B) (5) 两个事件概率的加法公式两个事件概率的加法公式:若若A、B为任意两个事件，则为任意两个事件，则 P(AB)=P(A)P(B)P(AB) (1-7)证明证明 AB = A(BAB)且且A与与BAB互不相容互不相容 P(AB)=P(A)P(BAB) AB B P(BAB) = P(B)P(AB) P(AB) = P(A)
11、 P(B)P(AB) 例例1 若事件若事件A、B的概率分别为的概率分别为1/4和和1/3，在下列三种情况，在下列三种情况下分别求下分别求).( ABP (1)A与与B互不相容；互不相容；(2)A B；(3) P(AB)=1/5 解解 (1)若若A、B为互不相容，则为互不相容，则,AB BAB 从从而而3/1)()( BPABP (2)若若A B，则，则12/1)()()()( APBPABPABP (3) 若若P(AB)=1/5，则，则互不相容互不相容与与且且ABAABABA, )()()()(ABPAPABAPBAP 又由加法公式又由加法公式 P(AB) = P(A) P(B)P(AB)，)()()(APBAPABP 15/2)()( ABPBP解法解法2 B = B)()()(ABABAAB )()(ABAB 而而)()()(ABPABPBP )( ABP15/2)()( ABPBP
