1、三、一般迭代法 (补充) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八节的实根求方程0)(xf可求精确根无法求精确根求近似根两种情形(有时计算很繁)本节内容:一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形 方程的近似解 第三三章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、根的隔离与二分法一、根的隔离与二分法，内只有一个根在若方程,0)(baxf内严格单调）（在且baxf,)(为则称,ba.其隔根区间,0)()(, ,)(bfafbaCxf为隔根区间,ba(1) 作图法 1. 求隔根区间的一般方法求隔根区间的一般方法 ;)(估计隔根区间的草图由xfy 转化为等价方程将0)(xfxoy)(xfy xoy.
2、)(, )(的草图估计隔根区间由xyxyab)()(xxab)(xy)(xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 逐步收索法01,3 xx方程例如13 xx由图可见只有一个实根, )5 . 1, 1 (可转化为.)5 . 1, 1 (即为其隔根区间,的左端点出发从区间ba以定步长 h 一步步向右搜索, 若0) 1()(hjafjhaf) 1(;, 1,0(bhjaj.) 1(内必有根，则区间hjajha搜索过程也可从 b 开始 , 取步长 h 0 .xoy213xy 1 xy1a1b2. 二分法二分法，设,)(baCxf，0)()(bfaf只有且方程0)(xf，一个根),(ba取中点，2
3、1ba1，若0)(1f.1即为所求根则，若0)()(1faf, ),(1a则根;,111baa令, ),(1b否则对新的隔根区间,11ba重复以上步骤,反复进行,得,111bba令,11nnbababa的中点若取,nnba则误差满足)(211nnnab )(121abnab)(211nnnba ,的近似根作为0 n1a1b机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 用二分法求方程04 . 19 . 01 . 123xxx的近似实根时,要使误差不超过,103至少应对分区间多少次 ?解解: 设 ,4 . 19 . 01 . 1)(23xxxxf),()(Cxf则9 . 02 . 23)(2xxx
4、f)067. 5(0,),()(单调递增在xf又,04 . 1)0(f06 . 1) 1 (f故该方程只有一个实根 , 1,0为其一个隔根区间欲使)01 (1211nn310必需,100021n即11000log2n96. 8可见只要对分区间9次 ,即可得满足要求的实根近似值10(计算结果见计算结果见“高等数学高等数学”(上册上册) P177178)机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、牛顿切线法及其变形二、牛顿切线法及其变形:)(满足xf0)()(,) 1bfafba上连续在不变号及上在)()(,)2xfxfba .),(0)(内有唯一的实根在方程baxf有如下四种情况:xbayoxbay
5、oxbayoxbayo00 ff00 ff00 ff00 ff机动 目录 上页 下页 返回 结束 牛顿切线法的基本思想:程的近似根 .记纵坐标与)(xf 同号的端点为,)(,(00 xfx用切线近似代替曲线弧求方yxbao1x0 x在此点作切线 ,其方程为)()(000 xxxfxfy令 y = 0 得它与 x 轴的交点, )0,(1x)()(0001xfxfxx其中再在点)(,(11xfx作切线 , 可得近似根.2x如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 :)()(111nnnnxfxfxx),2, 1(n2x称为牛顿迭代公式牛顿迭代公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 牛顿法的误差估计
6、牛顿法的误差估计:)()(111nnnnxfxfxx由微分中值定理得)()()(nnxffxfyxbao1x0 x2x)(之间与在nx,0)(f)()(fxfxnn,0则得mxfxnn)(说明说明: 用牛顿法时,若过纵坐标与)(xf 异号的端点作切线 ,则切线与 x 轴焦点的横坐标未必在.,内ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(min,xfmba记牛顿法的变形牛顿法的变形:(1) 简化牛顿法简化牛顿法若用一常数代替yxbao, )(1nxf即用平行, )()(10nxfxf代替例如用则得简化牛顿迭代公式. 线代替切线,得)()(011xfxfxxnnn),2, 1(n优点:，避免每次计
7、算)(1nxf因而节省计算量.缺点: 逼近根的速度慢一些. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxo0 x1x(2) 割线法割线法为避免求导运算 , )(1nxf用割线代替切线,2121)()(nnnnxxxfxf例如用差商代替从而得迭代公式:)()()()(212111nnnnnnnxxxfxfxfxx2x3x(双点割线法), 3,2(n特点特点: 逼近根的速度快于简化牛顿法, 但慢于牛顿法.说明说明: 若将上式中,02xxn换为则为单点割线法, 逼近根的速度与简化牛顿法相当.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 用切线法求方程074223xxx的近似解, 使误差不超过 0.01
8、.解解:.742)(23xxxxf设yxo3 4由草图可见方程有唯一的正实根 ,且9)4(,10)3(ff.43为一隔根区间，因此上，由于在43443)(2xxxf)2)(23(xx046)( xxf)23(2x0)(min4, 3xfm11)3( f机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxo3 4,40 x故取得)4()4(41ffx289468. 3而mxfx)(111103. 109. 0，精度不够故1x再求)68. 3()68. 3(68. 32ffx9 .2103. 168. 363. 3mxfx)(2211042. 001. 0004. 0因此得满足精度要求的近似解63. 3机动
9、目录 上页 下页 返回 结束 三三. 一般迭代法一般迭代法(补充), )(0)(xxxf 转化为等价方程将方程在隔根区,0 x间内任取一点按递推公式),2, 1()(1nxxnn,nx生成数列,limnnx若则 即为原方程的根 .称为迭代格式 ,)(称为迭代函数x称为迭代0 x,lim存在称迭代收敛若nnx初值 .否则称为发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 用迭代法求方程.2, 1 013内的实根在 xx解法解法1 将方程变形为, 13 xx迭代格式为, 131nnxx5 . 10 x取123nnx05 . 1375. 2396.12779.1903发散 !解法解法2 将方程
10、变形为,13xx迭代格式为, 131nnxx5 . 10 x取12nnx05 . 135721. 133086. 17832472. 132472. 1迭代收敛 , 1.32472 为计算精度范围内的所求根 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理. :,)(上满足在区间方程baxxbxaxx)()(1且，连续）1)()(2Lxx且，存在），上有唯一解在方程）,)(1baxx nnnxxbax)(,210）(证明略)迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关.机动 目录 上页 下页 返回 结束 可以证明下述定理:内容小结内容小结1. 隔根方法 作图法 二分法 2. 求近似根的方法二分法 牛顿切线法简化牛顿法割线法一般迭代法思考与练习比较求方程近似根的方法之间的关系及优缺点 . 作业作业(习题3-8)P180 1 ; 3习题课 目录 上页 下页 返回 结束
