1、 2.4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 对于随机变量对于随机变量X，其函数，其函数Y = g(X) 也是一个随机变量，在实也是一个随机变量，在实际中我们常对某些随机变量的函数感兴趣际中我们常对某些随机变量的函数感兴趣 如我们要知道一批钢球的体积，往往是通过测量钢球的直径如我们要知道一批钢球的体积，往往是通过测量钢球的直径X来实现的。直径测量值来实现的。直径测量值X 是一随机变量，而我们关心的是体积是一随机变量，而我们关心的是体积是直径的函数，即随机变量的函数。是直径的函数，即随机变量的函数。 下面将讨论怎样由随机变量下面将讨论怎样由随机变量X 的分布去求其函数的分布去求其函数Y 的分布
2、的分布 一般地，设一般地，设 f (x) 是一个函数，所谓随机变量是一个函数，所谓随机变量X 的函数的函数Y= f (X)是指随机变量是指随机变量Y，当，当X 取值为取值为x 时，时，Y 取值取值y = f (x) 下面分两种情况讨论由随机变量下面分两种情况讨论由随机变量X 的分布求的分布求Y= f (X) 的分的分布布 1X 为离散型随机变量为离散型随机变量 当当X 为离散型随机变量时，一般为离散型随机变量时，一般Y= f(X)也是离散型随机变也是离散型随机变量若量若X 的分布律已知，则不难求出的分布律已知，则不难求出Y 的分布律的分布律 例例1 设设X 的分布律为的分布律为X=xi 1 0
3、 1 2pi 0.2 0.3 0.1 0.4求求Y = 2X1和和Y = (X1)2 的分布律的分布律 解解X=xi 1 0 1 2pi 0.2 0.3 0.1 0.4Y= yi = 2xi+1 1 1 3 5Y= yi = (xi 1)2 4 1 0 1 Y = 2X1的分布律为的分布律为Y= yi 1 1 3 5pi 0.2 0.3 0.1 0.4 Y = (X1)2 的分布律为的分布律为Y= yi 0 1 4pi 0.1 0.7 0.21 . 010 XPYP)2()0(1 XXPYP4 . 03 . 020 XPXP2 . 014 XPYP 一般地，若一般地，若X 的分布律为的分布律为
4、PX = xk = pk (k = 1,2,)则则Y= f (X) 的全部可能取值为的全部可能取值为yk = f (xk ) (k = 1,2,)，由于其中，由于其中可以有重复的，所以在求可以有重复的，所以在求Y 的分布律即计算的分布律即计算PY = yk 时应将时应将使使yk = f (xk ) 的所有的所有xk 所对应的概率所对应的概率PX = xk 累加起来，即有累加起来，即有 kiyxfikxXPyYP)( 2X 为连续型随机变量为连续型随机变量 例例2 设设X N（0，1）,求求Y = eX 的分布的分布 解由题设知，解由题设知，X 的取值范围为全体实数，故的取值范围为全体实数，故Y
5、= eX 的全的全 部可能取值在（部可能取值在（0,）内于是当）内于是当y 0 时显然有时显然有 FY(y) =PYy = 0又由于生成又由于生成Y 的函数的函数 g(x)= ex 为为R上的严上的严 格单增函数，所以当格单增函数，所以当 y0 时时 FY(y) = PYy = PeX y = PX lny = FX(lny)两边对求导，得两边对求导，得2221)(xXexf 而而2ln221)(yYeyyf )(ln1)(yfyyfXY 于是，于是，Y 的密度函数为的密度函数为 02100)(2ln2yeyyyfyY 此时随机变量此时随机变量Y 服从以（服从以（0，1）为参数的对数正态分布）
6、为参数的对数正态分布 例例3 若若XN（0，1），求），求Y=X 2 的概率密度函数的概率密度函数 解解 令令Y 的概率密度函数和分布函数分别为的概率密度函数和分布函数分别为fY(y) 和和FY(y) Y=X 20， 当当y 0时，时，FY(y) = PY y = 0， 0)()( yFyfYY当当y0 时，时，FY(y) = PY y = PX 2y|yXP dtedteyyytt 0222221221 )(212)()(2)(2 yeyFyfyYY 22121yey Y 的概率密度函数的概率密度函数 02100)(221yeyyyfyY 此时称此时称Y 服从自由度为服从自由度为1 的的2
7、分布，记为分布，记为Y 2 (1) 此分布在第六章将详细介绍此分布在第六章将详细介绍 上述两例子解法的关键一步是上述两例子解法的关键一步是从从“Y y ” ，即，即 “g(X)y ” 中解出中解出X ，得到一个与，得到一个与“g(X) y ”等价的关于等价的关于X 的不等式，并的不等式，并以后者代替以后者代替g(X)y 以上做法具有普遍性一般来说，都可以上做法具有普遍性一般来说，都可以用此方法求连续型随机变量的函数的分布函数或概率密度以用此方法求连续型随机变量的函数的分布函数或概率密度 定理定理 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度 fX(x) (- x 0 (或恒有或恒有g(x)
8、0 )，则，则 Y =g(X) 是连续型随机变量是连续型随机变量, 其概率密度为其概率密度为 yyyyhyhfyfXY,0| )(|)()(),(),(min gg 其中其中),(),(max gg 的反函数。的反函数。是是)()(xgyh证明见教材证明见教材50面。面。例例4：XbaXYN ),(2 ),(22 abaN abyyhxbaxxgy )()(法一：用定理。法一：用定理。ayh1)( )(),(mingg )(),(maxgg 其它其它0| )(|)()( yyhyhfyfXY22)|(|2)()|(|21)( abayYeayf baXY ),(22 abaN 表示表示用用定义将定义将法二：先用分布函数的法二：先用分布函数的)()(xFyFXY正负的讨论。正负的讨论。注意对注意对再求导得再求导得ayfY).(),(lg52 NXY ：例例求求X 的概率密度函数。的概率密度函数。Y：X10 法一法一yygx10)( xxhylg)( 其反函数其反函数xexhlg)( 0)(),(min gg )(),(maxgg 套定理套定理)10()()(xPxXPxFYX 法二：法二： 0)lg(00 xxYPx 0)(lg00 xxFx 0lg)(lg00)(xxexfxxfYX
