1、随机信号分析中国民航大学电子信息工程学院贾桂敏单/双边谱解析形式复指数形式希尔伯特变换误差分析窄带信号通过窄带系统窄带信号 ( )s t0( )( )cos( )s ta ttt窄带信号窄带信号角频率角频率包络包络相位相位0?窄带高斯过程窄带随机信号 ( )X t窄带信号 ( )s t解析形式窄带随机信号0( )( )cos( )X tA ttt窄带随机信号窄带随机信号角频率角频率随机包络随机包络随机相位随机相位窄带随机信号 ( )X t复指数形式希尔伯特变换000( )( )cos( )( )cos( ) cos( )sin( ) sinX tA tttA tttA ttt( )CA t(
2、)SA t随机部分随机部分确定部分确定部分( )X t 的分布( )( )CSA tA t期望、自相关函数、互相关函数，的分布功率谱密度、互相关函数等窄带随机信号 窄带高斯过程窄带随机信号 ( )X t窄带信号 ( )s t( )X t 高斯( )( )CSAtA t，高斯2( )( )( )A ttA t，的概率分布2( )( )bSUbj%实信号的单边谱( )( )s tS( )S双边谱：(0)S %单边谱：(0)( )tts ts t 单侧信号区分：双侧信号第四章讨论过第四章讨论过( )2 ( ) ( )SSU%两者关系：( )bSbj负频率物理不可实现负频率物理不可实现b带宽相同单边谱
3、信号的时域表示单边谱信号在时域是复信号( )2 ( ) ( )SSU%什么关系？什么关系？( )( )Ss t( )( )Ss t%0011( )( )( )22j tj ts tSedSed0011( )()22j tj tSedSed0011( )( )22*j tj tSedSed02 ( )Re(1Re)2j tedsSt%解析信号解析信号（或预包络） ：实信号 的单边谱信号( )s t( )s t%( )2 ( ) ( )SSU%( )s t%( )Re( )s ts t%( )( )Im( )s ts tjs t%问题：虚部是什么？问题：虚部是什么？111( )2 ( )( )(
4、)( )2s ts tts tj s tj tt%11( )( )( ) ( )ss tdH s ttts t定义：11( )( )2Utj t其中P278-15希尔伯特变换希尔伯特变换希尔伯特变换总结：( )s t( )S( )2 ( ) ( )SSU( )( )( )s ts ts t 1()( )s ts tt1( )( )( )s thtttsst定义希尔伯特变换( )( )( )sgn( )( )SHSjS ( )s t( )s t1( )( )sgn( )h ttHj 1 ,0sgn( )1 ,0P278-14一次变换( )sgn( )Hj 希尔伯特变换前后( )1H幅频特性 (
5、)2,02,0H相频特性 ( )( )SS( )( )2SS正交正交一次希尔伯特变换相当于一个正交滤波器( )s t( )s t1( )( )sgn( )h ttHj 线性变换两次变换111( )( )( )()( )H H s tH s ts tss ttttt( )h t( )h t( )s t( )s t( )s t2( )sgn()( )sgn)(SjSjSS 两次希尔伯特变换前后( )( )SS()()SS倒相倒相两次希尔伯特变换相当于一个倒相器Ret0ImRet0ImRet0ImRet0ImRet0ImRet0Im)( ts( )S( )S)(ts)(ts)(S逆变换 ( )( )
6、H s ts t1H( )s t1( )Hs t希尔伯特逆变换相当于负的正变换 ( )( )H H s ts t ( )( )H H s ts t 1 ( )( )H s tHs t两边都取逆变换两边都取逆变换 1HH cos()11coscosttdtHt111coscossinsinttd 1cossincossintdtd余弦展开余弦展开整理整理奇函数奇函数偶函数偶函数1sinsintd( )Sa x dxsinsgn( )t cossgn( ) sinsinsgn( ) cosHttHtt 逆变换逆变换0000( )cos( )sin( )sin( )cosH a tta ttH a
7、tta tt 01( )cos( )a tstt低频限带信号( )a t0( ) |( )20AAelse，/ 20/ 2( )A0001( )S0101(),021(),02( )AAS1010() ,02( )sgn( )( )() ,02jAjSjAS 0000( )cos( )sin( )sin( )cosH a tta ttH a tta tt 逆变换逆变换111sgn( ) ( )2)j tjSeds t000011()()2 22 2j tj tjjAedAed 0011()()2 22 2j tj tjjAedAed 0000()A0000()A000001( ) ( )( )
8、sin( )() ( )222jtjtjtjtjjja t ea t eeea ts ta tt 希尔伯特变换的性质n希尔伯特变换相当于一个正交滤波器。n两次希尔伯特变换相当于一个倒相器。n希尔伯特逆变换等价于负的希尔伯特正变换。ncost和sint的希尔伯特变换。na(t)cos0t和a(t)sin0t的希尔伯特变换，其中a(t)是低频限带信号。6.1.3 高频窄带信号的复指数形式高频窄带信号的复指数形式 一般高频窄带信号的时域，频域情况如下图000| )(|S)(tat0cos)(ts0人能感受的声波人能感受的声波 20Hz20kHz 0106.8兆赫天津交通台兆赫天津交通台这类窄带信号通
9、常可表示为这类窄带信号通常可表示为0( )( ) cos( ),(634)s ta ttt其中 s(t)的振幅调制，称“包络函数” s(t)的相位调制，称“相位函数” ( )a t( ) t由于 ，所以 a(t), (t) 相对载波 来讲是“慢变化慢变化”的时间函数。 0t0cos 将式6-34展开，则00000( )( ) cos( ) ( )cos ( ) cos( )sin ( ) sin ( ) cos( ) sinCSs ta ttta ttta tttm ttm tt( )( )cos ( )( )( )sin ( )CSmta ttm ta tt其中 可见， 相对于 来讲也是低频
10、低频信号， 且 与 在几何上彼此正交。)(),(tmtmSCt0cos)(tmC)(tmS复指数形式复指数形式 因为s(t)的解析信号)( )()(ts jtsts0000( )( ) cos( ) sin( ) cos( ) sinCSCSs tH mttm ttH mttH m tt 均为低频限带低频限带信号，即)(),(tmtmSC00( ), |,()( )( )20, ( ), |( )( )20, CCCSSSMmtMMm tM低频其它（限带）其它（限带）利用例例6.26.2结论结论可得00000( )( ) sin( ) cos ( )cos ( ) sin( )sin ( )
11、cos ( ) sin( )CSs tm ttm tta ttta ttta ttt0 ( )jtm te则则s(t)的解析形式的解析形式可以用复指数表示可以用复指数表示00( )( ) cos( )( ) sin( )s ta tttja ttt%0( ) ( )jtta t e0( ) ( )jtjta tee( )( )cos ( )( )sin ( ) ( )( )CSm ta ttja ttm tjm t将 展开)(tm其中这里复包络复包络m(t)相对 来讲也是一低频限带低频限带信号。t0cos)()()(tjetatmtje0)(ts称为信号s(t)的复包络复包络称为s(t)的复载
12、频复载频称为s(t)的包络包络称为s(t)的预包络预包络( )a t因此，对于一个理想的高频窄带信号或因此，对于一个理想的高频窄带信号或低频限带低频限带复包络复包络的窄带信号而言，其的窄带信号而言，其解析信号的型式可以用一个复指数解析信号的型式可以用一个复指数信号的型式表示。信号的型式表示。误差分析复指数形式 0( )( )jta tste复解析形式( )()s tstjs t解001( )()()2SAA则实信号频谱0)(AS复频谱002 ( ) ( ) () ()()SUAAUS解频谱已知实信号0( )( )coss ta tt包络( )( )a tA存在误差存在误差误差00( )( )(
13、 ) 1( )() ( )AUSSAU 复解00()1)Im)(jtAedt | ( )|Ao00| )(|So0001|()|2A01|() |2A|( )|S解|2 ( ) ( )|SUo00|( )|S复0|() |Ao00| ( )| 0() 1()AUo000() ( )AU0() 1()AU误差00( )( )( ) 1( )() ( )AUSSAU 复解0() ( )AU高频窄带信号通过窄带系统高频窄带信号通过窄带系统)()()()(mmiiHthMtm，令： 设输入高频窄带信号为)(Re)(0tjiietmts)(Re)(0tjmethth001( )()()2mmHHH输出：
14、)()()()()()(HSSthtstsioio)()()()(41)(0000mmiioHHMMS00001( )( )( ) 21( )()()2jtjtiiiiiis tm t em t eSMMQ则：系统冲激响应为| )(|iS000| )(|0iM| )(|0iM2121| )(|0mH| )(|0mH| )(|OS)(H0000000000()()0() ()0imiMHMH 因为高频窄带无重叠，所以交叉项为零因为高频窄带无重叠，所以交叉项为零 001()()4imMH 001() ()4iMH 00001( )() ()4()()oiimSMHMH 0000001( )( )(
15、 )( )( )41( ( )( )( )( )4jtjtjtjtoimimjtjtimimstm t eht emt eht em tht em tht e输出信号s(t)的复包络为1( )( )( )Re( )2ooooststststtjotjmioetmethtmts00)()()(21)()()(21)(thtmtmmio)()()()(41)(0000miioHMHMS由于对比得出：c因此输出也可写成：)(Re)(Re)(0tjoooetmtstsc高频窄带信号通过窄带系统高频窄带信号si(t)的复指数形式为0( )( )jtiis tm t e窄带系统h(t)的复指数形式为0( )( )jtmh tht e窄带系统输出信号so(t)的复指数形式为0( )( )jtoos tm t e( )os t)(Ho( )is t00| )(|21mH)(tmi1( )( )( )2oimm tm thto00避开高频分量对计算的影响。0窄带高斯过程窄带随机信号 ( )X t窄带信号 ( )s t单/双边谱解析形式复指数形式希尔伯特变换误差分析窄带信号通过窄带系统窄带信号 ( )s t窄带随机信号0( )( )cos( )s ta ttt窄带信号窄带信号角频率角频率包络包络相位相位0习题n必做题n6-1n6-3n6-4鸟美在羽毛，人美在学问。
