1、第六讲平稳随机过程统计特性的时刻无关性统计特性的时刻无关性随机过程的典型模型1x t样本函数（）2xt样本函数 （）3x t样本函数 （）mxt样本函数 （）随机过程的随机过程的样本空间样本空间随机试验的随机试验的样本空间样本空间随机过程的典型模型1titnt1 ix2ix3iximxiXnX1X状态状态：随机变量：随机变量随机过程的理解（三句）随机过程的统计特性随机变量随机变量分布律概率密度分布函数特征函数期望方差协方差相关随机过程随机过程分布律t概率密度( ; )Xfx t分布函数( ; )XFx t期望( )E X t方差( )D X t相关12( ,)XRt t协方差12( ,)XCt
2、 t特征函数( ; )XQu t随机过程的时域分析平稳过程两个随机过程复过程随机过程的微积分各态历经过程高斯过程平稳过程 统计特性不随时间推移而变化 严平稳过程宽随机过程自相关函数的性质自相关系数自相关时间随机过程不同时刻间的影响n实际中有一类很广泛的随机过程，其特点体现在过程中各个时刻的随机变量有一定的相依关系（即非独立）。具体的说：过去只影响现在，而不影响将来，这种过程称为马尔可夫过程（第七章）。n在自然科学和工程技术中，也常常遇到一类与马尔可夫过程不一样的随机过程。从随机过程随时间变化和相互关系来看，不仅它的当时情况而且它的过去情况都对未来有着不可忽略的影响。过去现在将来马尔可夫过程马尔
3、可夫过程影响影响影响影响都影响都影响另一类过程另一类过程随机过程不同时刻间的影响n纺纱过程中，棉纱的截面积看作截点坐标的随机过程。由于棉纱是一束束纤维组成的。因此在a处的截面积大小影响到b（a）处的截面积大小，而且a，b越接近，影响越大。n飞机沿着航线在某一高度飞行时，由于受到湍流的影响而产生随机波动，因为飞机有很大的惯性，所以这个随机波动就不能再看成是马尔可夫过程了。严平稳过程n从随机过程前后联系上来研究随机过程本身变化的统计规律时，很重要的一类就是平稳过程。n所谓平稳过程粗略地说就是指它是统计特性不随时间推移而变化的随机过程。1111( ,;,)( ,; , )XnnXnnfxx tttt
4、fxx tt严平稳过程的性质一维统计特性与时间无关。( ;)( ;( ;()0)XXXXfx ttfxfx tfx 1、概率密度：( )XXxfx dxE X tm2、期望：22()()( XXXxmfx dxD X t3、方差：二维统计特性只与时间间隔有关。12112122112122(,;,)(,;0,)(,; ,)(,; )XXXXfx xfx x tt ttfx xtfx xtt t 4、概率密度：1 2121122( ,( )(,; )XXXx x fx xdxRxRtdt 5、自相关函数：宽平稳过程的引入n要判定某个具体随机信号严平稳是很困难的，它要确定过程的任意有限维分布。n在很
5、多实际问题中，往往并不需要随机过程在所有时间都平稳，只要在观测的有限时间内过程平稳。n因此，在工程实际的应用中，通常只在相关理论的范围内考察过程的平稳性问题。所谓相关理论是指仅限于研究与随机过程的一、二阶矩有关的理论。主要研究随机过程的数学期望，相关函数及功率谱密度等。 ( ),( )( )X ttT X tX t如果随机过程，对于每个的均值和方差都二存在，则称为阶矩过程。宽平稳过程性质：1、严平稳若均方值有界，则宽平稳；反之不成立；2、高斯过程，宽平稳和严平稳等价。举例（平稳过程）解： 2001( )( )( )cos()2)0(XE X tx t fatdmdt12( ,)( )( ,()
6、XXRt tE X tRtt tX 22( )( , )(0)2XXaRt tRE Xt 由可知过程是由可知过程是（宽）平稳随机过程（宽）平稳随机过程 2000coscos(22 )2aEt 2200001coscos(22 )22atd 00 cos()cos()E atat 20cos2( )XRa 三角函数复习sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22ABABABABABABABABABABABAB 2222SSSCSSCSCCCCCCSS sin()sincoscossincos()coscossinsinA
7、BABABABABAB222222sin(2 )2sincos1 cos(2 )sincos(2 )cossin21 cos(2 )2cos1cos21 2sinAAAAAAAAAAAA 例例1、 设随机过程设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布的随为标准正态分布的随机变量。试问机变量。试问X(t)是否平稳？是否平稳？例例2、 设随机过程设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint，- t 。其中其中X，Y为相互独立的随机变量，且分别以概率为相互独立的随机变量，且分别以概率2/3、1/3取值取值-1和和2。试讨论随机过程。试讨论随机过程Z(t)的平稳的平稳性。性。平稳过程RX()的性质2(0
8、)( )( )0XXRE XtR0点值点值P65 性质性质1和和3 偶函数偶函数( )()XXRR 性质性质2周期与非周期周期与非周期()( )()( )XXX tTX tRTR 性质性质4( )( )( )( )ZXZ tX tRR 性质性质52lim( )( )XXXRRm 性质性质6X(t)非周期非周期X(t)周期周期傅立叶变换傅立叶变换( )()XXF RG是 的实函数。 性质性质8( )()1Uj 举例（RX()性质）222( )expXXXRm220( )cosexpXXXRm 20( )cosXXRam 20( )cosexpXRa 举例（ RX()性质）解：2( )36( )6
9、XXXXmRmR 性质性质622( )(0)( )40364XXXD XE X tmRR 非周期非周期2( )(0)100100100300XE X tR 性质性质1 非周期非周期 周期周期 常数常数1( )0mR 20m 3( )10mR 10( )100100cos10100XRe例2.7：200D X 性质性质6 性质性质1平稳过程的自相关系数n为了表示平稳过程在两个不同时刻状态间的线性关联程度，排除其它因素的影响，要对自相关函数进行归一化处理，从而得到了过程的自相关系数222( )( )( )( )( )(0)( )XXXXXXXXXXCRmRRRR非周期24( )15XR例：3622
10、4361154361(5)X+36+3610( )100100cos10100XRe例：1011cos1022( )Xe平稳过程的自相关时间相关程度减弱相关程度减弱时间间隔增加时间间隔增加问题：时间间隔增加到什么时候，可以认为平稳过程的两个状态已经互不相关呢？00( )cosexp( )expXa 包络2( )expX自相关时间的定义一00.0500.05包络a()00()0.05()0.05Xa或2( )expX自相关时间的定义二00000( )( )Xdad或22( )3( )(0)3XXXCeeC00()0.05ln(0.05)1.731X00( )0.8862Xd050100-4-20
11、24050100-10-50510两个不同相关时间随机过程的样本函数 1010002.3 平稳随机过程平稳随机过程相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依赖性越强，变化越缓慢，相关时间越小，反映随赖性越强，变化越缓慢，相关时间越小，反映随机过程前后取值之间的依赖性越弱，变化越缓慢机过程前后取值之间的依赖性越弱，变化越缓慢平稳过程 统计特性不随时间推移而变化 严平稳过程宽随机过程自相关函数的性质自相关系数自相关时间两个随机过程统计特性统计特性相关、正交、独立相关、正交、独立联合平稳联合平稳两个随机过程的引入n实际工作中常常碰到这样的情况：接收机输出Y(
12、t)输入信号X(t)输入噪声N(t)要讨论两个随机过程或多个随机过程的相互关系；要讨论输出和输入的关系以及噪声的影响。两个过程的统计特性对于随机过程X(t)和Y(t)，它们的概率密度分别为：1212( ,; , , )Ynnf y yy t tt 1212( , , ; , , )Xnnfx xx t tt定义：1、两个随机过程的联合分布函数12121212( , , , , ; , , , , , )XYnnnnFx xx y yy t tt t tt 2、两个随机过程的联合概率密度12121212( , , , ,; , , , , , )XYnnnnfx xx y yy t tt t t
13、t 两个过程的统计特性3、两个随机过程的互相关函数1212( ,)( ) ( )XYRt tE X t Y t121122( , )( )( ) ( )( )XYXYCt tEX tmtY tm t1212( ,) ( )( )YXRt tE Y tX t4、两个随机过程的互协方差函数1212( , )( )( )XYXYRt tmt m t不相关、正交、独立1、两个随机过程的不相关121212(,)0(,)()()XYXYXYCttRttmtmt121212( ,)0( ,)( )()XYXYXYRt tCt tmtmt 2、两个随机过程的正交3、两个随机过程的相互独立12121212121
14、21212( , , , ,; , , , , , )( , , ; , , )( ,; , , )XYnnnnXnnYnnfx xx y yy t tt t ttfx xx t ttf y yy t tt )sin()()cos()(tbtYtatX两个随机过程X（t）和Y（t）为其中a，b，为常数，是服从（0，2 ）均匀分布。求：1）两个随机过程的互相关函数和互协方差函数？2）两个随机过程如果不相关应满足什么条件？举例（两个过程）联合平稳联合严平稳两个随机过程的联合概率分布不随时间的平移而变化，与时间的起点无关。11111111, , , , ,; , , , , , , , , ,;,
15、, ,XYnmnmXYnmnmfxx yy tt ttfxx yy tttt联合宽平稳两个随机过程的互相关函数仅是单变量的函数，即121221( ,)( )()( )XYXYRttE X tY tRtt互相关函数的性质21( )(0)(0)2( )(0)(0)XYXYXYXYRRRRRR()()()( )()()( )()X YYYXXX YRRREXt YtRE YtXt1）非偶函数2）0点值3）互相关系数( )(0)(0)XYXYXYCCC当当 XYXY0 0时，两个平稳随机过程不相关。时，两个平稳随机过程不相关。举例（两个过程）)sin()()cos()(tbtYtatX两个随机过程a，b，为常数，是服从（0，2 ）上的均匀分布。问：X(t)和Y(t)是否单独平稳？是否联合平稳？习题n必做题n2-6n2-7n2-8n2-20n改题：n选做题n2-5sin( )XRXH XH表示学号的最后两位表示学号的最后两位例：例：040420524同学同学 XH24熟悉可以减除对于事物的恐惧。
