1、随机信号分析中国民航大学电子信息工程学院贾桂敏随机过程的频域分析功率谱密度维纳-辛钦定理互谱密度白噪声白噪声白噪声的定义n随机过程可以按照它的概率密度和功率谱密度的函数形式来分类。n就概率密度而言，高斯随机过程是最重要的一类随机过程。n就功率谱密度而言，具有均匀功率谱密度的随机过程是最重要的一类随机过程。n把具有均匀功率谱密度的随机过程称为白噪声过程，简称为白噪声。n把任意非白噪声过程称为有色噪声过程，简称为色噪声。理想白噪声若平稳随机过程N(t)的均值为零，功率谱密度在整个频率轴(,)上均匀分布。满足0( )2NGN其中N0是一正实常数。则称N(t)为白噪声过程。( )NGo02N1,0(
2、)( )0,0)(0)NNNRR 自相关系数02No( )NR01( )2( )NRN 自相关函数白噪声的特点n理想化的数学模型 n在任何两个相邻时刻的状态都是不相关的。n功率谱无限宽，因此其平均功率就无限大。n数学上有很好的运算性质 n是大多数重要噪声的模型n白噪声可以替代实际应用中的宽带噪声n高斯白噪声n任意两相邻时刻的状态之间是相互独立的。n具有各态历经性。 限带白噪声n平稳随机过程均值为零，功率谱密度在有限频率范围内均匀分布，在此范围外为零，则称此过程为限带白噪声。 2002sin(2)1( )22(2)jXGRGed低通型低通型02( )0XGG，其它带通型带通型00022( )0Y
3、GG其它000cos)(22)(2)()()()()()(0000XjjXjXjXYXXYReeReReRRGGG随机过程的频域分析功率谱密度维纳-辛钦定理互谱密度白噪声随机过程的频域分析功率谱密度维纳-辛钦定理互谱密度白噪声随机过程的时频域分析内容回顾三者的引入相似三者的引入相似随机问题的建模随机现象随机现象随机试验随机试验概率空间概率空间随机变量随机变量随机矢量随机矢量随机过程随机过程随机变量的引入kkRx 映射每个样本实数轴（ 空间）的确定值确定值二维随机变量的引入2kkkRxy映射每个样本实平面（空间）的（ , ）确定值确定值三维随机变量的引入3kkkkRx y z映射每个样本实空间（
4、 空间）的（ , , ）确定值确定值随机过程的引入,kkkxtx t映射每个样本确定函数 （） （）时间时间t的函数的函数随机过程的典型模型1x t样本函数（）2xt样本函数 （）3x t样本函数 （）mxt样本函数 （）随机过程的随机过程的样本空间样本空间随机试验的随机试验的样本空间样本空间随机过程的典型模型1titnt1 ix2ix3iximxiXnX1X状态状态：随机变量：随机变量随机过程的理解（三句）随机过程的统计特性随机变量随机变量分布律概率密度分布函数特征函数期望方差协方差相关随机过程随机过程分布律t概率密度( ; )Xfx t分布函数( ; )XFx t期望( )E X t方差(
5、 )D X t相关12( ,)XRt t协方差12( ,)XCt t特征函数( ; )XQu t随机过程的时域分析平稳过程两个随机过程复过程随机过程的微积分各态历经过程高斯过程平稳过程 统计特性不随时间推移而变化 严平稳过程宽随机过程自相关函数的性质自相关系数自相关时间两个随机过程统计特性统计特性相关、正交、独立相关、正交、独立联合平稳联合平稳复随机过程复随机变量复随机变量复随机过程复随机过程定义定义数学期望数学期望方差方差相关、独立、正交相关、独立、正交平稳平稳随机过程可以看成是随时间t变化的随机变量。复随机过程看成是随时间t变化的复随机变量。随机过程的微积分随机序列的收敛随机序列的收敛过程
6、的连续过程的连续过程的微分过程的微分过程的积分过程的积分五种收敛模式及其相互关系五种收敛模式及其相互关系处处连续处处连续均方连续（定义、条件、期望、平稳）均方连续（定义、条件、期望、平稳）处处可微处处可微均方可微（定义、条件、性质、平稳）均方可微（定义、条件、性质、平稳）均方积分（三种定义、期望、均方值、均方积分（三种定义、期望、均方值、方差、自相关）方差、自相关）各态历经过程 用一个样本函数得到整个过程的数字特征 时间平均时间平均严各态历经严各态历经宽各态历经宽各态历经各态历经的意义各态历经的意义随机过程的频域分析功率谱密度维纳-辛钦定理互谱密度白噪声随机过程的频域分析习题课二 做在作业本上
7、 试着不要看课本，独立完成n一、填空题1、高斯白噪声X(t)的功率谱密度为1，则X(t)的二维特征函数为 。1212( ,; , )XQ u u t t2、各态历经过程X(t)的自相关函数RX()=4()，则X(t)的时间均值 ，时间自相关 。( )X t( ) ()X t X t4、联合平稳过程X(t),Y(t)互谱密度GXY()已知,则RYX()= 。5、复过程Z(t)的自相关函数Rz(t1,t2)的定义式为 。3、平稳过程X(t)均方可微，自相关函数为21( )exp()2XR( )( )( )( )Y tX tE X tE Y t，则，( )(0)XYXRR，。二、判断题1、复随机过程
8、Z(t)只要满足Rz(t,t+)= Rz(),则Z(t)平稳。2、随机过程在tT上均方可微的充要条件是RX(t1,t2) 在(t,t)t T上二元可微。3、均方可积过程的积分运算次序和数学期望运算次序可互换。4、理想白噪声过程在不同时刻的两个状态独立。5、各态历经过程、高斯过程、白噪声过程都是平稳过程。6、X(t)和Y(t)都是高斯过程，则X(t)-Y(t)也是高斯过程。7、 可以成为平稳过程的自相关函数。223( )1f8、 可以成为平稳过程的自相关函数。sin( )f9、 可以成为平稳过程的功率谱密度。2424653( )53f10、 可以成为平稳过程的功率谱密度。3( )jfe11、两个高斯白噪声不相关、正交和独立三者之间等价。12、互谱密度GXY()是实函数时，GXY()是偶函数。13、功率谱密度GX()是实函数，并且是偶函数。 三、计算和证明随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A是均值为2，方差为1的高斯变量，B是（0，2）上均匀分布的随机变量，且A和B独立。求（1）证明X(t)是平稳过程。（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。0tX(t,i)-1122诺言就是债务。
