1、电子信息与自动化学院电子信息与自动化学院贾桂敏贾桂敏北教北教12-211 12-211 1590033071615900330716gmjia_gmjia_ 随机信号分析主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论课程的学习方法课程的学习方法 基本方法 课堂课堂 作业作业 答疑答疑 进一步 复习和预习复习和预习 讨论讨论 参考资料参考资料主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论课程的考核课程的考核 平时成绩（30） 班级的总体表现班级的总体表现 点名和作业点名和作业 抄题目抄题目 每周四交作业，随机产生要交作业的学
2、生序号每周四交作业，随机产生要交作业的学生序号 答疑和课堂回答问题答疑和课堂回答问题 考试成绩（70）主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论t确定信号确定信号随时间做有规律的、已知有规律的、已知的变化。可以用确定的时间函数来描述。如：方波、锯齿波。人们可以准确地预测准确地预测它未来的变化，即：这次测出的是这种波形，下次测出的还是这种波形。主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论随机信号随机信号随时间做无规律的、未知的、无规律的、未知的、“随机随机”的变化。无法用确定的时间函数来描述，无法准确地预测无法准确地预
3、测它未来的变化。这次测出的是这种波形，下次测出的会是另一种波形。t( )X t随机过程理论研究的对象随机过程 微积分、线性代数、复变函数分析确定信号所用的数学工具有：傅氏变换、拉氏变换、等等X概率论研究的对象随机变量 概率论上述的所有分析随机信号所用的数学工具有：随机过程理论数学工具主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论概率论（复习和提高）概率论（复习和提高）概率空间高斯分布随机变量的数字特征随机变量函数的分布多维随机变量（随机矢量）随机变量概率论概率论第一讲概率空间随机现象的数学空间主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一
4、章 概率论概率论随机问题的建模随机问题的建模随机现象随机现象随机试验随机试验概率空间概率空间样本空间样本空间事件域事件域 F概率概率 P主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论随机现象随机现象 雷达自动跟踪到的飞机的轨迹 证卷交易所中，某股票一周的波动记录 新街口测量噪音的分贝记录 体育彩票下次开奖的特等奖号码 明天上午我的心情 。 随机现象随处可见。主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论一个随机现象一个随机现象连续抛一枚硬币三次正，正，正正，正，反正，反，正正，反，反反，正，正反，正，反反，反，正反，反，反
5、主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论随机试验随机试验随机试验随机试验是具有以下是具有以下三个特征三个特征的试验：的试验：1、试验在相同的条件下可以重复；、试验在相同的条件下可以重复；2、每次试验的可能结果不止一个，并能事先明确试验、每次试验的可能结果不止一个，并能事先明确试验将会出现的所有可能；将会出现的所有可能；3、每次试验前不能确定哪个结果会出现。、每次试验前不能确定哪个结果会出现。随机试验简称试验，通常用随机试验简称试验，通常用 E 表示表示样本点样本点：随机试验可能出现的结果，一般用：随机试验可能出现的结果，一般用ksi表示。表示。样本空间
6、样本空间：随机试验：随机试验 E 中所有可能出现的结果，即全体样本中所有可能出现的结果，即全体样本点的集合，一般用点的集合，一般用 表示。表示。主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论事件举例事件举例 随机试验：随机试验：连续抛一枚硬币三次，观察出现的结果连续抛一枚硬币三次，观察出现的结果 样本点：样本点：随机试验每个可能出现的结果：随机试验每个可能出现的结果： A0=正，正，正正，正，正 A1=正，正，反正，正，反 A2=正，反，正正，反，正 A3=正，反，反正，反，反 A4=反，正，正反，正，正 A5=反，正，反反，正，反 A6=反，反，正反，反，
7、正 A7=反，反，反反，反，反 B1A0， A1， A2， A3 第一次抛的结果为正的第一次抛的结果为正的事件事件 B2A0， A7 三次结果相同的三次结果相同的事件事件 B3A0， A1， A2， A3， A4， A5， A6， A7 必然必然事件事件=样本空间样本空间主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论随机试验：随机试验：抛一颗骰子，观察出现的点数抛一颗骰子，观察出现的点数样本空间：样本空间：全体样本点的集合全体样本点的集合 1,2,3,4,5,6样样 本本 点：点：随机试验每个可能出现的结果：随机试验每个可能出现的结果： 1、2、3、4、5、
8、6投掷结果为投掷结果为3的事件的事件 A=3投掷结果为奇数的事件投掷结果为奇数的事件 B=1,3,5投掷结果为大数的事件投掷结果为大数的事件 C=4,5,6必然事件必然事件 D=1,2,3,4,5,6不可能事件不可能事件 E=随机事件：随机事件：随机试验中可能出现的结果，随机试验中可能出现的结果，它是个它是个集合集合。主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论事件的运算事件的运算（事件的关系）事件之间的关系等价于集合之间关系。事件之间的关系等价于集合之间关系。AB包含：包含：B AAB和：和：AB积：积：ABBAAB差：差：AB互不相容：互不相容：ABA
9、B逆：逆：AAA主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论事件域事件域 事件域事件域 F 是由样本空间中的某些子集构成的非空集类非空集类。 集类集类是指以集为元素的集合是指以集为元素的集合。集：集：就是就是事件。事件。所以，所以，事件域事件域就是就是事件事件的集合。的集合。主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论事件域事件域F 随机事件： 在随机试验中每一种可能出现的结果一般称为随机事件，简称事件。一般用大写字母A，B，C 表示 基本事件：（1）任何两个基本事件是互斥的。（2）任何事件（除不可能事件外的）都可以表
10、示为若干个基本事件的和。 必然事件：样本空间也可以看成为一个事件，由于每次试验中必然出现中的一个样本点，所以称为必然事件。 不可能事件：空集也可以看成为一个事件，由于每次试验中必然不在中 ，所以称为不可能事件。 事件域 F ：是由样本空间中的某些子集构成的非空集类。（集类是指以集为元素的集合。）主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论概率概率P古典概型几何概型统计概型公理化定义的个数样本空间中所有样本点包含的样本点的个数事件AAP)(有限、等可能，有限、等可能，A ( )( )( )L AP AL无限、等可能，无限、等可能，( )lim,AAnnP A
11、nAn是事件 出现的频率。无限、非等可能，无限、非等可能，非负性、规范性、完全可加性非负性、规范性、完全可加性 （参见教材P5）主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论 在概率论的发展史概率论的发展史上，人们曾针对不同问题，从不同角度给出了概率的三种定义和计算方法。 这三种定义和计算方法都具有各自的适用范围，存在一定的局限性，但在三种定义下概率的性质却是完全相同的。 因此，人们从概率的性质出发，给概率赋予一个新的数学定义，即概率的公理化定义概率的公理化定义。 这个定义只指明概率应具有的基本性质只指明概率应具有的基本性质，不具体规定概率的计算方法。主主讲
12、讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论若定义在事件域若定义在事件域 F 上的一个集合函数上的一个集合函数 P 满足下列三个条件：满足下列三个条件： 非负性：非负性： 规范性：规范性： 完全可加性：若完全可加性：若 且两两互不相关时，有且两两互不相关时，有概率的公理化定义概率的公理化定义: :(1,2,)iAF i( )0P AAF ，11()()iiiPAP A( )1P 则称则称 P 为概率。为概率。样本空间 、事件域 F 和概率 P 构成的总体（ , F, P）称为随机试验 E 的概率空间概率空间。 主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航
13、大学第一章第一章 概率论概率论概率的性质概率的性质: : 给定概率空间（, F, P），从概率的公理化定义的三个条件，可以推出概率的性质： 不可能事件的概率为不可能事件的概率为 0， P()=0 必然事件的概率为必然事件的概率为 1，P( )=1 逆事件的概率为，逆事件的概率为， 有限可加性：若有限可加性：若 ，且两两互不相容，则，且两两互不相容，则 : ()1( )P AP A 单调性：若单调性：若 ，则，则:()( )( )P ABP AP B11()()nniiiiPAP A()( )( )( )( )P ABP AP BP BP A且(1,2,)iAF i()( )( )()P ABP
14、 AP BP ABBA 加法公式：加法公式： 次可加性：次可加性：主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论条件概率条件概率定义定义乘法公式乘法公式全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论概念概念1条件概率条件概率定义：定义：P(A/B)表示在表示在B事件已发生的条件下，事件已发生的条件下，A事件事件发生的概率。发生的概率。P(A/B)L(AB)/L(B)=P(AB)/P(B)可看成在缩小可看成在缩小“样本空间样本空间” B上上,求求A发生的概率。发生的概率。AB=BAB同
15、理可得：同理可得：()()( )P ABBPAP A 若若A于于B 互不相容互不相容 P(AB)=0，则，则P(A/B)=0，P(B/A)=0。且有：且有：110() 1()1()()iiiiP A BPBPA BP A B，主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论条件概率条件概率乘法公式乘法公式定义定义：1212131211211()() () ()() ()nnnnnP A AAP A P AA P AA AP AAAP AAA例例1.3 一批零件共一批零件共100个，次品率为个，次品率为10。每次从其中任取一。每次从其中任取一个，取出后不再放回，
16、求第三次才取得合格品的概率？个，取出后不再放回，求第三次才取得合格品的概率？121312123121312()10 100()9 99()90 98()()()()10 100 9 99 90 980.0084P AP AAP AA AP A A AP AP AAP AA A，解：设第一次取出零件是次品为事件解：设第一次取出零件是次品为事件A1，第二次取出零件是次，第二次取出零件是次品为事件品为事件A2，第三次取出零件是合格品为事件，第三次取出零件是合格品为事件A3。主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论条件概率条件概率全概率公式全概率公式完备事件集
17、完备事件集：1( )() ()niiiP AP A B P B1nijiiBBijB ，；AB1B2BiBn全概率公式：全概率公式：例例1.4 某工厂生产的产品以某工厂生产的产品以100个为一批。在进行抽样检查时，个为一批。在进行抽样检查时，只从每批中抽取只从每批中抽取10个来检查，若发现其中有次品，则认为这批个来检查，若发现其中有次品，则认为这批产品不合格。假定每批中的次品最多不超过产品不合格。假定每批中的次品最多不超过4个，且有如下分布，个，且有如下分布，求各批产品通过检查的概率？求各批产品通过检查的概率？ 一批产品中的次品数一批产品中的次品数 0 1 2 3 4 概率概率 0.1 0.2
18、 0.4 0.2 0.1 主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论条件概率条件概率全概率公式全概率公式解：设一批产品中有解：设一批产品中有 i个次品的事件为个次品的事件为 。则有。则有iB01234()0.1()0.2()0.4()0.2()0.1P BP BP BP BP B，设事件设事件A表示这批产品通过检查，即抽样检查的表示这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是个产品都是合格品。则合格品。则 由全概率公式求出由全概率公式求出主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论条件概率条件概率Bayes公式公式
19、定义：定义：()() (|)(|)1,2,.( )() (|)kkkkiiiP AHP HP A HP HAkP AP H P A HHi 概率概率)(iHPHi先验概率先验概率Hi后验概率后验概率)|(AHPk主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论例例 对以往数据分析的结果表明，当机器调整良好时，产品合对以往数据分析的结果表明，当机器调整良好时，产品合格率为格率为90；而当机器发生某一故障时，其合格率为；而当机器发生某一故障时，其合格率为30；并；并且每天早上开机时，机器调整良好的概率为且每天早上开机时，机器调整良好的概率为75。求：某天早。求：某
20、天早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？ 由由Bayes公式求出公式求出解：记解：记“产品合格产品合格”为事件为事件A，“机器调整良好机器调整良好”为事件为事件 B，则，则主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论概念概念2独立独立 两事件独立：A发生的概率与B发生与否无关。即P(A/B)=P(A) 或 P(B/A)=P(B) 或 P(AB)=P(A)P(B)ABABA 43 保持不变P(A)=L(A)/L()=1/5 610可见B变化时，都有 P(A/B)=L(AB)/L(B)=1/5=
21、P(A)（A和B独立）但是，AB （A和B相容） （教材P10）情况1：B 45情况2：B 25主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论两个事件互不相容两个事件互不相容表示两个事件不能同时发生。表示两个事件不能同时发生。 独立与相容的关系：独立与相容的关系：1、如果把、如果把“A与与B互不相容互不相容”放在概率论范畴去讨论，放在概率论范畴去讨论，则表示则表示“A发生发生B就不能发生就不能发生”。因。因A限制了限制了B，则则A与与B相关相关。2、若把、若把“A与与B相互独立相互独立”放在集合论范畴去讨论，放在集合论范畴去讨论，由于由于P(AB)=P(A)
22、P(B) 0, P(A) 0, P(B) 0， 即即AB ,由于由于A与与B可以同时发生，可以同时发生，则则A与与B必定相容必定相容。主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论多个事件相互独立多个事件相互独立A, B, C相互独立相互独立A, B, C两两独立两两独立P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C) “相互独立相互独立”可推出可推出“两两独立两两独立”，反之不行。，反之不行。主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论多个事件相
23、互独立多个事件相互独立例：例：取四只相同的球，在第一只球上写上记号取四只相同的球，在第一只球上写上记号1 2 3，在其他的三只球上分别写上记号在其他的三只球上分别写上记号1、2和和3，把这，把这四只球放在一个口袋中并且随机的取出一只来。四只球放在一个口袋中并且随机的取出一只来。设设 Ai 表示为取出的球上有记号表示为取出的球上有记号 i 。0号球号球 1号球号球 2号球号球 3号球号球123123主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论习题习题 必做题必做题 1-2 1-3 1-8 学号单：问她乘学号单：问她乘汽车汽车来的概率是多少来的概率是多少 ？
24、学号双：问她乘学号双：问她乘火车火车来的概率是多少来的概率是多少 ？ 选做题选做题 1-7主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论常用的钥匙最光亮常用的钥匙最光亮! !主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论高等数学中的一个积分高等数学中的一个积分例1 计算 其中积分区域D如图。22xyDedxdya2222222002001 .2 1axyrrDDaraedxdyerdrderdr dede主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论高等数学中的一个积分高等数学中的一个积分例2计算 其中积分区域S如图。22xyDedxdyD1D2S2222221222222222122222222200022200 14 1411444xyxyxyDSDRRRxyxyxSxyRDxyRDRRxRxedxdyedxdyedxdyedxdyedxedyedxedxdyeedxdyeeedxeRedx 令，上式两端趋于同一极限，从而2 2RR22211( ), ( )xxxedxedxf xef x dx1令=可得1
