1、随机信号分析中国民航大学电子信息工程学院贾桂敏独立增量过程和独立随机过程基本概念泊松过程维纳过程独立增量过程 102110120nnnX tttttX tX tX tX tX tbX tX t随机过程对任意的时刻，过程的增量、 、是相互独立的随机变量，则称为独立增量过程（或可加过程）。性质： 1. 独立增量过程是一种特殊的马尔可夫过程。2. 独立增量过程的有限维分布由它的初始概率分布和所有增量的概率分布唯一确定。 1iiiX tX tY t证明：令增量 12,nY tY tY t相互独立1212111222,; ,;Ynnnnnfy yy t ttfy tfy tfy t独立增量过程 0X t
2、X tY t令0，则和的函数变换关系为 1102211nnnY tX tX tY tX tX tY tX tX t100011001011000011J121212121112212111,; , ,; , ,; ,; ,XnnYnnnnnnnfx xx t ttfy yy t ttfx tfxx t tfxxt t111111111111,; ,; ,;|,;,XnnnnXnnXnnnnfxxx tttfx txxfxxtttt111112121111111212;,; ,;,nnnnnnnnnnnnnnnfx tfxxttfxxt tfx tfxxtt1111; ,|,nnnnnXnnnn
3、fxxtx ttfxt无后效性无后效性泊松过程泊松过程和维纳过程是两个最重要的独立增量过程。在日常生活及工程技术领域中，常常需要研究这样一类问题，即研究在一定时间间隔内某随机事件出现次数的统计规律。例如：l通过某交叉路口的电车、汽车数；l某电话总机接到的呼唤次数；l在电子技术中的散粒噪声的冲激脉冲个数；l数字通讯中已编码信号的误码个数等。所有这些问题一般被称为计数过程。 计数过程 00 , ),0At tX ttt定义：某事件 在内出现的总次数所组成的过程。 X t计数过程满足：1、是正整数。 2121ttX tX t2、时， 2112,X tX tt tA3、表示时间间隔内事件 发生的次数。
4、A计数过程中，不相交叠的时间间隔内事件 出现的次数相互独立时，计数过独立增程是量过程。12211( , )At tttt计数过程中，如果内 出现的次数仅与时间间隔有关，而与时间起点 无关，称此平稳增过程为量过程。泊松过程 0,0X ttt定义：计数过程满足下列条件时，为泊松过程。 00tX t1、从 开始计数，则=0 X t2、为平稳的、独立增量过程。, ,),10tt ttP X t tttt 3、对于充分小的在内出现事件一次的概率为, ,),20tt ttP X t ttt4、对于充分小的在内出现事件两次及两次以上的概率为( )X t称为过程的强度21211212,!kttkttP t t
5、P X t tkek 1212122121 , )(),t tttX t tX tX ttt泊松过程在任意两时刻发生事件的次数，即随机变量的增量服从期望为的泊松分布。泊松过程 0,0,0,1,2,!ktktPtP X tketkk 000, )XtX tt若初始值 ，则内的增量服从期望为 的泊松分布。数学期望： 0kE X tk P X tk0!ktktkek101 !ktkttekttteet 2112210,kE X tX tkP X t tktt方差： D X tt 2121D X tX ttt自相关函数：212121 212( ,)( )( )min,XRt tE X t X tt t
6、t t二进制二进制序列序列举例（半随机电报信号）半随机电报信号是只取1或1的随机过程。若在时间间隔(0,t)内，变号时刻点的总数为偶数（或0），则X(t) =1；若为奇数，则X(t) =1 。变号次数变号次数12345678X(t)-1+1-1+1-1+1-1+1讨论：半随机电报信号的期望、自相关函数和功率谱密度举例（半随机电报信号）0,k0,!ktkttPtek可知：在内有 次变号的概率为：02(k0,0,)1P X tPtPt为偶数，212!tte13( )k0,0,1()tPtPtP X tesht 为奇数，()techt数学期望： 11( 1)1P XPXtX tEt 2()()tte
7、chtshte自相关函数： 122212,ttXXeeRRt t功率谱密度： 22244XjeedG举例（随机电报信号）( )( )Y tAX t定义随机电报信号为数学期望： ( )0E AX tE Y t自相关函数： 122212,ttYXYReeRtRt11( )0.50.5AAX tAP随机变量 与半随机电报信号独立，其中 的分布律：0( )XR1泊松冲激序列 ( )X ttdX tZ tdt定义：泊松过程对时间 的导数，即iiiidU ttttdt冲激序列冲激序列0( )z titt数学期望： dE X tdX tEdtdtE Z t自相关函数： 21222121212,XZRRt t
8、ttt tt t 散粒噪声( )X t( )h tot( )Z totot泊松冲激序列泊松冲激序列N(T)为在0,T)内输入到滤波器的冲激脉冲的个数，它服从泊松分布。 1*,0N TiiX tZ th th ttt 线性时不变系统线性时不变系统散粒噪声散粒噪声温度限制的电子二极管中，由散粒（或散弹）效应引起的散粒（或散弹）噪声电流是过滤的泊松过程。晶体管中有三种类型的噪声：热噪声；散粒噪声；闪烁噪声（又称噪声，是一种低频噪声）。其中散粒噪声的机理与电子管的相类似，也是过滤的泊松过程。维纳过程n维纳过程是另一个重要的独立增量过程，有时称作布朗运动过程。n它可以作为随机游动的极限形式来研究，游动过
9、程中的所有轨迹几乎都是连续的。n电阻中电子的热运动就是具有维纳过程的性质，可用维纳过程来描述。n实际中我们常把白噪声作为热噪声的理想化模型，而维纳过程可看作是白噪声通过积分器的输出。n此外，维纳过程是一个非平稳的高斯过程。苏格兰植物学家罗伯特布朗1827年夏天对各种植物的花粉颗粒浸在水中时的运动做了研究。这种浸泡在水中花粉粒子的奇异的、不规则的运动后来被称为“布朗运动”。维纳过程定义1：若独立增量过程X(t)，其增量的概率分布服从高斯分布，则称X (t) 为维纳过程。定义2：对所有样本函数几乎处处连续的齐次独立增量过程称为维纳过程。（两种定义等价，证明见书P266) 2211221211exp
10、,022uP X tX tdutta tta tt数学期望： 0E X t方差：2121( )(),Da tttXtt自相关函数： 121212min,XE X t X ttRtatt 非平稳非平稳独立随机过程 1212,nnX ttTtnt ttnX tX tX tX t定义：如果随机过程在时间 的任意 个时刻所得到的 个随机变量, ,互为统计独立，则称为独立随机过程。有：12121,; ,;nXnnXiiiFx xx t ttFx t独立随机过程的一维分布函数包含了该过程的全部统计信息。 按照时间T参数的连续还是离散，独立随机过程可分成两类。l当参数集T是一个可列集时，独立随机过程就是独立
11、离散时间随机过程独立随机（变量）序列。（独立重复抛掷硬币） l当参数集是一个不可列集时，独立随机过程就是独立连续时间随机过程。 独立随机过程独立随机过程是一种理想化的随机过程。独立随机过程是一种理想化的随机过程。 连续参数的独立随机过程从物理观点来看是不存在的。因为t1与t2充分接近时我们完全有理由断言，状态X(t2)将依赖于X(t1)的统计信息。所以，连续参数的独立随机过程被认为是一种理想化的随机过程。由于它在数学处理上较为简便，故常用来分析某些实际问题。 独立随机过程的重要应用就是高斯白噪声独立随机过程的重要应用就是高斯白噪声 实际噪声实际噪声高斯白噪声高斯白噪声习题n必做题n7-17n7-19n7-21好奇心造就科学家和诗人。
