1、随机信号分析中国民航大学电子信息工程学院贾桂敏窄带高斯过程窄带随机信号 ( )X t窄带信号 ( )s t解析形式窄带随机信号0( )( )cos( )X tA ttt窄带随机信号窄带随机信号角频率角频率随机包络随机包络随机相位随机相位窄带随机信号 ( )X t复指数形式希尔伯特变换000( )( )cos( )( )cos( ) cos( )sin( ) sinX tA tttA tttA ttt( )CA t( )SA t随机部分随机部分确定部分确定部分( )X t 的分布( )( )CSA tA t期望、自相关函数、互相关函数，的分布功率谱密度、互相关函数等窄带随机信号总结相关函数之间的
2、关系( )XR( )XR( )XR( ),( )XXXXRR( )XR谱之间的关系( )XG( ),( )XXXXGG( )XG( )XG( )XR( ),( )CSAtA t 的统计特性总结总总 结结期望( )( )0CSE A tE A t00( )( )( )cos( )sinAcAsXXRRRR 自相关函数00( )( )sin( )cos( )CSSCA AXXA ARRRR 互相关函数( )( )CSA tA t，均实平稳窄带随机信号 窄带高斯过程窄带随机信号 ( )X t窄带信号 ( )s t( )X t 高斯( )( )CSAtA t，高斯2( )( )( )A ttA t，的
3、概率分布包络和相位的提取实际系统中经常遇到这样的情况高频窄带系统理想带通限幅器包络检波器宽带噪声低通滤波器相位检波器窄带高斯信号0( )( )cos( )X tA ttt 02costcos( ) t( )A t( )X t研究对象研究内容2( )0( )( )X tA tt若已知窄带高斯信号是均值为 ，方差为，讨论随机包络和随机相位的概率分布（仅限于一维和二维）。( )( )Afaf一维概率密度：，1212(,)(,)Afa af 二维概率密度：，已知条件已知条件问题问题思路：( )X t窄带信号的性质高斯信号的已知条件( )( )CSAtA t，的联合分布( )( )A tt，的联合分布边
4、缘分布雅克比变换雅克比变换包络和相位的一维概率密度由窄带随机信号垂直分解的统计特性可知( ), ( ),( ),( ),( ), ,CSCStX tA ttAtA tX AAA在给定时刻 ，对进行采样，得到的随机变量为，即000coscossinCSXAAAttt1( )( )0CSE AtE A t、0CSE AE A3( )X t、高斯( )X t高斯( ),( )CSAtA t联合高斯,CSAA联合高斯4( ),( )CSAtA t、同一时刻正交,CSAA正交不相关2( )( )( )CSD AtD A tD X t、2CSD AD A 独立(,)AcAscsfa a求包络和相位的一维概
5、率密度2212(,)(,)cscsscscAgAAAAAgAAarctgA 12( ,)cos( ,)sincsAh AAAhAA ( , )Afa求,CSAA由上述四点可得的联合概率密度22221e(xp)2)2(),AccAcAscssAscsfafaaafa a( , )(,)AAcAscsfaJ fa acossin0sincosaJaa2220exp,02220,aaaelse 与 无关包络和相位的一维概率密度( )( )Afaf求边缘分布，20()( ,AAfafad01( , ),)02(2Afadaf20( , )1Afad222exp,02aaa瑞利分布瑞利分布 均匀分布均匀
6、分布 ( )( )( , )AAfaffa( )( )A tt包络和相位在同一时刻独立。包络和相位的二维概率密度思路1211211222( ),( ),(,),AcAscscCScscssAtAtt tAAAAfaaaa1、对在进行采样，求的四维联合概率密度1212121122(,)( ),( ),AA ttt tA Afaa 2、在的状态为，由雅克比变换求联合概率密度1212(,)(,)Afa af 3、求边缘概率密度和具体过程见书具体过程见书P218-220，自学，自学包络平方的分布实际系统中还会遇到这样的情况平方律检波器高频窄带系统宽带噪声0( )( )cos( )X tA ttt 2(
7、 )At( )X t2( )( )A tA t包络的一维分布服从瑞利分布,求的一维分布？雅克比变换雅克比变换 22( )( )tU tA tUA令随机过程，则在 时刻的状态为AU12 UJ 雅克比行列式1( )()( )2AAUJ fafufuu=221exp022uu，指数分布指数分布 随相余弦信号与窄带高斯噪声之和的分布高频窄带系统理想带通限幅器包络检波器噪声相位检波器cos( ) t( )A t( )X t信号信号2( )At平方律检波器( )( )( )X ts tN t0( )cos()s tat0( )( )cos( )N tA ttt 0窄带高斯噪声，功率谱密度关于偶对称。0,(
8、0,2 )a随相余弦信号，其中为常数，服从上均匀分布。cos( ) t( )A t2( )At随相余弦信号与窄带高斯噪声之和的分布随机余弦信号000cos()( cos ) cos( sin )s(ins tatatat0000( )( cos( )cos sin( )sin( )cos( )sin( )CSCSs tN taA ttaA ttA tXtA ttt）合成信号000( )cos( )( ) cos( )( )sinNNCSAtttAttA tttN 窄带高斯噪声0( cos( )A ttt）1()( )(SCA ttgA tt22( )(CSA tA tA t）0与无关，是慢变化
9、过程。cos( )s( )n( )i( )CSCSA taA taAAtt=随相余弦信号与窄带高斯噪声之和的分布( )N t 高斯( ),( )/ ,/CSCSA tA tAA给定条件下,t时刻的状态用随机变量表示( )( )CSA tA t，高斯( ),( )CSA tA t给定时，高斯思路(,( ),/ ,/)( )csCSCSAtAttAaAf a1、 给定条件下,对在 时刻进行采样，求的联合条件概率密度,( ),)( )(AtA tttAfa 2、 给定条件下,在 时刻的状态为 和，由雅克比变换求联合条件概率密度()(/ )Atfaf 3、求边缘概率密度和随相余弦信号与窄带高斯噪声之和
10、的分布2( )( )0CSE AtE A t、cossincsE AaE Aa222211exp(cos )(sin )22(,)cscsf aaaaaa23( )( )CSD AtD A t、2csD AD A(,)csf aa求( ),( )CSA tA t 给定时，独立，高斯1( )( )CSAtA t、，独立，高斯cos( )s( )n( )i( )CSCSA t aA taAAtt=随相余弦信号与窄带高斯噪声之和的分布12( ,)cos( ,)sincsAh AAAhAA ,( ,)Afa 求,(,)(,)AtcsfaJ f aa cossin0sincostttaJaa22221e
11、xp2cos,0,0222ttttaaaaaa2212(,)(,)cscsscscAgA AAAAgA AarctgA 随相余弦信号与窄带高斯噪声之和的分布()( / )Atfaf 求和,0222( ,)1cos()1expcos()expsin ()222(2)Attfadarrrfr 222,02220(,()()e,02)xpttttAttaaaf aaafadIa ()ra 概率积分函数， 信噪比表示信号幅度与窄带噪声标准差之比。广义瑞利分布广义瑞利分布 （莱斯分布）（莱斯分布）0()I 表示第一类零阶修正贝塞尔函数。讨论（包络的分布）01( )111xrIx 、当时，。即时222,0
12、2220(,()()e,02)xpttttAttaaaf aaafadIa 瑞利分布瑞利分布22202/()exp,02ttttaaaIarr222exp,02()ttttf aaaa在在a附近的附近的高斯分布高斯分布0(11212)xIrxexx、当时，。即时22()1exp,022ttaaa22()1exp2()2tttaaafaataa偏离 很小讨论（相位的分布）10r 、当时（无信号），2221cos()1expcos() expsin ()2222()rrrrf 均匀分布均匀分布()12f 在在附近的附近的高斯分布高斯分布21r 、当时，22cos()expsin)22)(rrfsi
13、n()cos()1ttt偏离 很小时，22exp()22()frr 总结0( )( )( cos( )X ts tN tA ttt）合成信号随机余弦信号0cos()( )ats t( )( )A tt和的一维概率分布总结如下：( )( / )Atfaf ，ra( )A t 服从广义瑞利分布11rra时，近似为瑞利分布；时，在 附件近似为高斯分布。0( )1rtr时，均匀分布；时，在 附件近似为高斯分布。包络平方的分布平方律检波器高频窄带系统宽带噪声2( )At( )X t在许多应用中，如信号检测中，为了改进检测性能(增加信噪比)，通常采用“视频积累技术”，即对包络的平方进行独立采样后再积累，如下图所示。21（归一化）加法器2( )Atm独立取样 次2分布见书见书P226-232，自学，自学习题n必做题n6-11n6-13n6-14生活里是没有旁观者的。
