1、随机信号分析中国民航大学电子信息工程学院贾桂敏随机过程的微积分随机序列的收敛随机序列的收敛过程的连续过程的连续过程的微分过程的微分过程的积分过程的积分五种收敛模式及其相互关系五种收敛模式及其相互关系处处连续处处连续均方连续（定义、条件、期望、平稳）均方连续（定义、条件、期望、平稳）处处可微处处可微均方可微（定义、条件、性质、平稳）均方可微（定义、条件、性质、平稳）均方积分（三种定义、期望、均方值、均方积分（三种定义、期望、均方值、方差、自相关）方差、自相关）随机过程的时域分析平稳过程平稳过程两个随机过程两个随机过程复过程复过程随机过程的微积分随机过程的微积分各态历经过程各态历经过程高斯过程高斯
2、过程各态历经过程 用一个样本函数得到整个过程的数字特征用一个样本函数得到整个过程的数字特征 时间平均时间平均严各态历经严各态历经宽各态历经宽各态历经各态历经的意义各态历经的意义各态历经的提出实际问题中，如何得到一个随机过程的数字特征？实际问题中，如何得到一个随机过程的数字特征？数字特征（期望、方差等数字特征（期望、方差等）概率密度概率密度对一个过程进行大量重复的对一个过程进行大量重复的实验，次数实验，次数N足够大以满足足够大以满足随机试验的第二个条件，得随机试验的第二个条件，得到足够多的样本函数。到足够多的样本函数。不容易不容易！各态历经的引入俄国的辛钦提出：俄国的辛钦提出： 有一种平稳随机过
3、程在一定补充条件下，对其任意一有一种平稳随机过程在一定补充条件下，对其任意一个样本函数所作的各种个样本函数所作的各种时间平均时间平均，从概率意义上趋近，从概率意义上趋近于此过程的各种于此过程的各种统计平均统计平均。称这种平稳随机过程为称这种平稳随机过程为各态历经过程各态历经过程，或，或遍历过程遍历过程。可以理解为：任何一个样本函数都同样经历了随机过可以理解为：任何一个样本函数都同样经历了随机过程的所有可能状态，从一个样本函数可以得到整个随程的所有可能状态，从一个样本函数可以得到整个随机过程的统计信息。机过程的统计信息。各态历经的引入一般随机过程一般随机过程各态历经过程各态历经过程进行大量重复进
4、行大量重复 实验实验次数次数N足够大足够大得到足够多样本函数得到足够多样本函数概率密度概率密度数字特征（期望、方差等）数字特征（期望、方差等）进行实验，得到各态历进行实验，得到各态历经过程的经过程的一个样本函数一个样本函数计算这个样本函数计算这个样本函数的各类时间平均的各类时间平均确定函数x(t)的时间平均1( )lim( )2TTTx tx t dtT时间自相关时间自相关)()()(21lim)()(TTTgdttxtxTtxtx 1lim2TTTdtT时间均值时间均值常数常数确定函数确定函数随机过程X(t)的时间平均时间均值时间均值1( )lim( ,)()2TTTX tX tdtMMT时
5、间自相关时间自相关)(),(),(),(21lim)()(GGdttXtXTtXtXTTT随机变量随机变量随机过程随机过程严各态历经过程如果一个平稳过程如果一个平稳过程X(t)，它的各种时间平均（时间它的各种时间平均（时间足够长）以概率足够长）以概率1收敛于相应的统计平均，则称随收敛于相应的统计平均，则称随机过程机过程X(t)为严各态历经过程。为严各态历经过程。1lim计平均各种时间平均相应统TP( )( )X tE X t1lim( , )( ; )2TXTTX tdtx fx t dxT( )()( )XX t X tR1lim( )()( )()2TTTX t X tdtE X t X
6、tT22( )( )XtE Xt221lim( , )( ; )2TXTTXtdtxfx t dxT比如比如变量变量常数常数过程过程函数函数变量变量常数常数宽各态历经过程如果一个平稳随机过程如果一个平稳随机过程X(t)，它的均值和自相它的均值和自相关函数都具有各态历经性，则称随机过程关函数都具有各态历经性，则称随机过程X(t)为宽各态历经过程。为宽各态历经过程。1、随机过程、随机过程X(t)为平稳过程为平稳过程2、均值各态历经、均值各态历经3、自相关各态历经、自相关各态历经TTTdttXTtXtXE)(21lim)()( )( )()1lim( )()2XTTTRX t X tX t X td
7、tT举例（宽各态历经）设随机过程设随机过程X(t) = Acos(Bt+C) - t + 式中式中A，B都是常数，都是常数，C是在（是在（0，2 ）上均匀）上均匀分布的随机变量分布的随机变量。试问：试问：X( t )是否是平稳随机过程？是否是平稳随机过程？X( t )是否是各态历经过程？是否是各态历经过程？各态历经的实际意义一、工程问题的方便一、工程问题的方便二、随机过程二、随机过程X(t)的均值和自相关函数具有明确的物理意义的均值和自相关函数具有明确的物理意义均值均值平均电压平均电压均值平方均值平方直流平均功率直流平均功率均方值均方值总平均功率总平均功率方差方差交流平均功率交流平均功率 由于
8、，在工程中所遇到的大多数平稳随机过程，每个样本由于，在工程中所遇到的大多数平稳随机过程，每个样本都出于同一随机因素，因而各样本都具有相同的概率分布都出于同一随机因素，因而各样本都具有相同的概率分布特性，可以认为工程中所遇到的大多数平稳随机过程都具特性，可以认为工程中所遇到的大多数平稳随机过程都具有各态历经性。因此，人们通常凭有各态历经性。因此，人们通常凭“经验经验” 先把各态历经先把各态历经性作为一种假设，再根据实验来检验此假设是否合理。性作为一种假设，再根据实验来检验此假设是否合理。高斯过程高斯过程的定义若随机过程若随机过程X(tX(t) )的任意的任意n n维概率分布都是高斯分布维概率分布
9、都是高斯分布的，则称它为高斯过程或正态过程。的，则称它为高斯过程或正态过程。11/211/21()()ex(,; ,)p2(2 )XnnTXXnfxx ttxMxMCC 概率密度概率密度111211121222112.( )( ).,:.:( )( ).nXnnXXnnnnnnn nCCCE X tmtCCCE X tmtCCCMC 高斯过程的性质严平稳和宽平稳等价。严平稳和宽平稳等价。互不相关和独立等价。互不相关和独立等价。高斯过程和确定信号之和是高斯过程。高斯过程和确定信号之和是高斯过程。高斯过程的导数（均方可微）是高斯过程。高斯过程的导数（均方可微）是高斯过程。高斯过程的积分（均方可积）
10、是高斯过程。高斯过程的积分（均方可积）是高斯过程。高斯过程通过线性系统的输出仍是高斯过程。高斯过程通过线性系统的输出仍是高斯过程。证明过程同高斯矢量。证明过程同高斯矢量。严平稳和宽平稳等价1111/2/21()()(,; ,)exp2(2 )TXXXnnnxMxMfxx ttCC 严平稳严平稳宽平稳宽平稳宽平稳宽平稳XM C协方差协方差XM 为常数，与时间无关。2( ,)()(,)ikikk iXikCC t tRmC tt1111(,; ,)(,;,)XnnXnnfxx ttfxx tt高斯过程通过线性系统的输出仍是高斯过程高斯过程和确定信号之和是高斯过程。高斯过程和确定信号之和是高斯过程。
11、高斯过程的导数（均方可微）是高斯过程。高斯过程的导数（均方可微）是高斯过程。高斯过程的积分（均方可积）是高斯过程。高斯过程的积分（均方可积）是高斯过程。( )( ) ,Y tL X tL为线性算子，如积分、微分、加法、数乘等。( )nnY tY证明的 个状态构成的 维随机矢量 是高斯矢量。( )nnX tX已知的 个状态构成的 维随机矢量 是高斯矢量。( )( )Y tL X tYX随机矢量 是高斯矢量 的线性变换。利用高斯矢量性质：高斯矢量的线性变换仍是高斯矢量。证明思路证明思路作业（高斯过程）1212( )cossin ,( )( )( )1( )( )( )(,; ,)4( )5( )( )( )( )XX tAtBtABX tY tX tX tX tX tQu u t tX tY tY tX tY t习题2-24随机过程其中 和 独立同标准高斯分布，且的均方导数为，求：、的期望、方差和自相关函数2、是否严平稳？给出理由。3、写出的二维特征函数、是否各态历经？给出理由。、的自相关系数6、写出的一维概率密度7、相同时刻，和的状态独立吗？给( )( )X tY t出理由。8、和是否联合平稳？给出理由。习题必做题：必做题：2-212-222-24（补充题）（补充题）（58小题）小题）新的东西最美好，老的朋友最可靠。
