1、概率论与数理统计全册配套概率论与数理统计全册配套完整课件完整课件人类生活的世界充满了随机现象人类生活的世界充满了随机现象 从投硬币、掷骰子和摸扑克等简单的机从投硬币、掷骰子和摸扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星殒落，到大到世间万物的繁衍生息；从流星殒落，到大自然的千变万化自然的千变万化，我们无时无刻不面对具，我们无时无刻不面对具有不确定性现象有不确定性现象 (即随机现象即随机现象)。当人们在一定条件下对某一现象加以观当人们在一定条件下对某一现象加以观察时，观察到的结果是多个可能结果中察时，观察到的结果是多个
2、可能结果中的某一个，且在每次观察前都无法预知的某一个，且在每次观察前都无法预知观测结果到底是哪一个。即结果的出现观测结果到底是哪一个。即结果的出现呈现出偶然性，或者说：出现哪个结果呈现出偶然性，或者说：出现哪个结果 “凭机会而定凭机会而定”。具有不确定性具有不确定性(或随机性、偶然性或随机性、偶然性)的现象的现象称为随机现象。称为随机现象。随机现象的特点是什么？随机现象的特点是什么？什么是随机现象什么是随机现象?A. 在一个标准大气压下，水在在一个标准大气压下，水在100时沸腾；时沸腾；B. 明天的最高温度明天的最高温度; C. 掷一颗骰子，观察其向上点数；掷一颗骰子，观察其向上点数；D. 上
3、抛的物体一定下落；上抛的物体一定下落；E. 新生婴儿体重。新生婴儿体重。 下列现象哪些是随机现象？下列现象哪些是随机现象？随机现象是不是没有规律可言随机现象是不是没有规律可言? ?否！在一定条件下对随机现象进行大量否！在一定条件下对随机现象进行大量重复观测后就会发现：随机现象的发生重复观测后就会发现：随机现象的发生有一定的规律性。有一定的规律性。例如例如: : 一门火炮在一定条件下进行射击，个一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如一定的命中率，
4、一定的分定的规律性，如一定的命中率，一定的分布规律等等布规律等等. . 再如再如: : 测量一物体的长度，由于仪器及观察受到测量一物体的长度，由于仪器及观察受到的环境的影响，每次测量的结果可能有差异，的环境的影响，每次测量的结果可能有差异，但多次测量结果的平均值随着测量次数的增加但多次测量结果的平均值随着测量次数的增加而逐渐稳定于一固定常数，并且诸测量值大多而逐渐稳定于一固定常数，并且诸测量值大多落在此常数附近，离常数越远的测量值出现的落在此常数附近，离常数越远的测量值出现的可能性越小。可能性越小。 “天有不测风云天有不测风云”和和“天气可以预报天气可以预报”有矛盾吗有矛盾吗? ?没有！没有！
5、“天有不测风云天有不测风云”指的是对随指的是对随机现象进行一次观测，其观测结果具机现象进行一次观测，其观测结果具有偶然性；有偶然性；“天气可以预报天气可以预报”指的是研指的是研究者从大量的气象资料来观察这些观测结究者从大量的气象资料来观察这些观测结果果(偶然现象偶然现象)的规律性的规律性。想一想想一想 随机现象具有偶然性一面，也有必然性一面。随机现象具有偶然性一面，也有必然性一面。偶偶然性一面表现在然性一面表现在“对随机现象做一次观测时，对随机现象做一次观测时，观测结果具有偶然性观测结果具有偶然性(不可预知性不可预知性)” ；必然性一必然性一面表现在面表现在“对随机现象进行大量重复观测，观对随
6、机现象进行大量重复观测，观测结果有一定的规律性，亦即统计规律性测结果有一定的规律性，亦即统计规律性”。 概率论与数理统计是研究和揭示随机现概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的数学分支。象统计规律性的数学分支。概率概率(或然率或几率或然率或几率) 随机事件出现随机事件出现的可能性的量度的可能性的量度 其起源与博弈问题有关其起源与博弈问题有关.16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题；中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家B. 帕帕斯卡、荷兰数学家斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯惠更斯 基于排列组合的方基于排列组合的方法，研究
7、了较复杂法，研究了较复杂 的赌博问题，的赌博问题， 解决了解决了“ 合理合理分配赌注问题分配赌注问题” ( 即得分问题即得分问题 ).概率论是一门概率论是一门研究客观世界随机现象数量研究客观世界随机现象数量规律的规律的 数学分支学科数学分支学科.数理统计学是一门数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策策和行动提供依据和建议的和行动提供依据和建议的 数学分支学科。数学分支学科。本学科的应用本学科的应用概率统计理论与方法的
8、应用几乎遍及概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中济的各个部门中. 例如例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与及预测都与概率论概率论紧密相关；紧密相关；2. 产品的抽样验收，新研制的药品能产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均要用到否在临床中应用，均要用到假设检验假设检验；6. 探讨太阳黑子的变化规律时探讨太阳黑子的变化规律时,时间时间可夫过程可夫过程 来描述来描述;7. 研究化学反应的时变率，要以研究化学反应的时变率，要以马尔马尔序列分析序列分析方法非常有用方
9、法非常有用;4. 电子系统的设计电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其火箭卫星的研制及其发射都离不开发射都离不开可靠性估计可靠性估计; 3. 寻求最佳生产方案要进行寻求最佳生产方案要进行实验设计实验设计和和数据处理数据处理；5. 处理通信问题处理通信问题, 需要研究需要研究信息论信息论；水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知的知目前目前, 概率统计理论进入其他自然科学概率统计理论进入其他自然科学装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、8. 生物学中研究生物学中研
10、究 群体的增长问题时，群体的增长问题时，提出了生灭型提出了生灭型随机模型随机模型，传染病流行问传染病流行问题要用到多变量非线性题要用到多变量非线性生灭过程生灭过程；9. 许多服务系统，如电话通信、船舶许多服务系统，如电话通信、船舶识就是识就是 排队论排队论.领域领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题济的稳定增长等问题 , 都大量采用都大量采用概率概率统计方法统计方法. 法国数学家拉普拉斯法国数学家拉普拉斯(Laplace)说对说对了了: “ 生活中最重要的问题生活中最重要的问题 , 其中绝大其中绝大领域的趋势还在不断发展领域的趋势还在不断发展.
11、 在社会科学领在社会科学领多数在实质上只是概率的问题多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对对概率论概率论大加赞美：大加赞美：“ 概率论是生活真正概率论是生活真正的领路人的领路人, 如果没有对概率的某种估计如果没有对概率的某种估计, 那那么我们就寸步难行么我们就寸步难行, 无所作为无所作为.课程主要内容课程主要内容： Ch 1. 概率论的基本概念概率论的基本概念 Ch 2. 随机变量及其分布随机变量及其分布 Ch 3. 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Ch 4. 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 Ch 5. 大数定律及中心极
12、限定理大数定律及中心极限定理I. 概率论概率论 研究随机事件发生的规律研究随机事件发生的规律 课程主要内容课程主要内容： Ch 6. 样本及抽样分布样本及抽样分布 Ch 7. 参数估计参数估计 Ch 8. 假设检验假设检验 II. 数理统计数理统计 以概率论为基础，对以概率论为基础，对观察到的随机现象作出统计推断。观察到的随机现象作出统计推断。主要参考书1. 魏宗舒等译，统计学（David Freedman，etc. statistics ， 中国统计出版社，19972. 谢琍 尹素等编概率论与数理统计解题指导，北京大学出版社，2003。3. 盛 骤，谢式千，潘承毅编 概率论与数理统计 高等教
13、育出版社4.屠俊如 洪再吉译基础统计学（Robert Johnson, Patricia Kuby, Elementary Statistics)，科学出版社，2003。5.大数据时代ViktorMayer-Schonberger， Kenneth Cukier 著，盛杨燕，周涛译，浙江人民出版社作业:每章交一次，最好用作业纸书写。联系方式:手机: 13912963393；“ 得得 分分 问问 题题 ” 甲、乙两人各出同样的赌注，用掷甲、乙两人各出同样的赌注，用掷硬币作为博奕手段硬币作为博奕手段 . 每掷一次，若正面朝每掷一次，若正面朝上，甲得上，甲得 1 分乙不得分分乙不得分. 反之，乙得反
14、之，乙得1分，分，甲不得分甲不得分. 谁先得到规定分数就赢得全部谁先得到规定分数就赢得全部赌注赌注. 当进行到甲还差当进行到甲还差 2分乙还差分乙还差3分，就分，就分别达到规定分数时，发生了意外使赌分别达到规定分数时，发生了意外使赌局局不能进行下去不能进行下去，问如何公平分配赌注？问如何公平分配赌注？确定性现象确定性现象随机现象随机现象 q 每次试验前不能预言出现什么结果q 每次试验后出现的结果不止一个q 在相同的条件下进行大量观察或试 验时，出现的结果有一定的规律性 称之为统计规律性统计规律性 第一章第一章 随机事件及其概率1.1 随机事件随机事件是指对研究对象所进行的观察、测量或科学若它有
15、如下特点,则称为随机试验随机试验,用E表示q 试验前不能预知出现哪种结果。 基本术语基本术语 q 可在相同的条件下重复行；q 试验结果不止一个,但能明确所有的结果；是指对研究对象所进行的观察、测量或科学实验, 统称试验试验.样本空间样本空间 随机试验E 所有可能的结果样本空间的元素, 即E 的直接结果, 称为随机事件随机事件 的子集, 记为 A ,B ,它是满足某些条件的样本点所组成的集合.组成的集合称为样本空间样本空间 记为样本点样本点(or基本事件基本事件) 常记为 ， = ,., 3 , 2 , 1 , 02N),(213TyxTyx其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度:3E观察某
16、地区每天的最高温度与最低温度:2E观察总机每天9:0010:00接到的电话次数有限样本空间无限样本空间:1E投一枚硬币3次，观察正面出现的次数3 , 2 , 1 , 01例例1 1 给出一组随机试验及相应的样本空间基本事件基本事件 仅由一个样本点组成的子集它是随机试验的直接结果,每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件. 必然事件必然事件全体样本点组成的事件,记为, 每次试验必定发生的事件.随机事件发生随机事件发生 组成随机事件的一个样本点发生不可能事件不可能事件不包含任何样本点的事件,记为 ,每次试验必定不发生的事件.A 随机事件的关系和运算雷同集合的关系和运算 事件的关系和运算事件的关系和
17、运算文氏图文氏图 ( Venn diagram ) A 包含于BBA 事件 A 发生必导致事件 B 发生 A B BA BA AB 且1. 事件的包含2. 事件的相等BA或BA BAAB事件 A与事件B 至 少有一个发生BA发生nAAA,21的和事件 niiA1,21nAAA的和事件 1iiA A 与B 的和事件3. 事件的并(和) BA或AB事件 A与事件B 同时 发生BA 发生nAAA,21的积事件 niiA1,21nAAA的积事件 A 与B 的积事件1iiABAB A4. 事件的交(积)BABA发生 事件 A 发生，但 事件 B 不发生BAB A A 与B 的差事件5. 事件的差 A 与
18、B 互斥ABA、 B不可能同时发生ABnAAA,21两两互斥,21nAAA两两互斥njijiAAji, 2 , 1, 2 , 1,jijiAAji6. 事件的互斥(互不相容) A 与B 互相对立BAAB,每次试验 A、 B中有且只有一个发生ABAB 称B 为A的对立事件(or逆事件)，记为注意：“A 与B 互相对立”与“A 与B 互斥”是不同的概念7. 事件的对立A8. 完备完备事件组niiA1nAAA,21若 两两互斥，且nAAA,21则称 为完备完备事件组1AnA1nA2A3AnAAA,21或称 为 的一个划分q 吸收律AABAAAA)(ABAAAAA)(q 幂等律AAAAAAq 差化积)
19、(ABABABAq 重余律AA运算律运算律对应事件运算集合运算q 交换律ABBABAABq 结合律)()(CBACBA)()(BCACABq 分配律)()()(CBCACBA)()(CABABCABABABAABniiniiAA11niiniiAA11q 反演律运算顺序： 逆交并差，括号优先逆交并差，括号优先 B CA)(BCABA CA 分配律 图 示)(CABAA例例3 3 化简事件ACCBA)(解解 原式ACCBAACCBCACBAACCBAACCBA)( CBCCA)(CBA 例例4 4 利用事件关系和运算表达多 个事件的关系A ,B ,C 都不发生CBACBA A ,B ,C 不都发
20、生CBAABC例例5 5 在图书馆中随意抽取一本书，A表示数学书，B表示中文书，C表示平装书. 抽取的是精装中文版数学书CABBC 精装书都是中文书BA 非数学书都是中文版的，且中文版的书都是非数学书则事件 作业: P30 习题一 2 、5、7、9、11、13、 18。 在一次乒乓球比赛中设立奖金1千元.比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部奖金.设甲,乙二人的球技相等,现已打了3盘, 甲两胜一负, 由于某种特殊的原因必须中止比赛.问这1000元应如何分配才算公平? 问问 题题1 1.2 概率的定义及计算概率的定义及计算历史上概率的三次定义历史上概率的三次定义 公理化定义 统计定义 古典定义概率的最
21、初定义基于频率的定义1930年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次， 频率频率nmfn则称 为事件 A 发生的 频率频率频率的性质频率的性质q 1)(0Afnq 1)(nfq 事件 A, B互斥，则)()()(BfAfBAfnnn可推广到有限个两两互斥事件的和事件非负性非负性归一性归一性可加性可加性稳定性稳定性某一定数某一定数)()(limAPAfnnq 投一枚硬币观察正面向上的次数 n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069 n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016n = 24000,
22、nH =12012, f n( H ) = 0.5005频率稳定性的实例频率稳定性的实例 蒲丰蒲丰( Buffon )投币投币 皮尔森皮尔森( Pearson ) 投币投币例例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词 中各字母出现的频率, 发现各字母出现 的频率不同：A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186Q: 0.
23、0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016Y: 0.0202 Z: 0.0006 频频 率率 的的 应应 用用第五章指出第五章指出:当试验次数较大时有当试验次数较大时有事件发生事件发生的的概概 率率事件发生事件发生的的频频 率率根据如下百年统计资料可得根据如下百年统计资料可得世界每年发生大地震的概率世界每年发生大地震的概率 近百年世界重大地震近百年世界重大地震1905.04.04 克什米尔地区 8.0 88 万1906.08.17 智利瓦尔帕莱索港地区 8.4 2 1917.01.20 印度
24、尼西亚巴厘岛 1.5 万1920.12.16 中国甘肃 8.6 10 万1923.09.01 日本关东地区 7.9 14.2 万1935.05.30 巴基斯坦基达地区 7.5 5 万 时 间 地 点 级别死亡“重大”的标准 震级 7 级左右 死亡 5000人以上 时 间 地 点 级别死亡1948.06.28 日本福井地区 7.3 0.51 万1970.01.05 中国云南 7.7 1 万1976.07.28 中国河北省唐山 7.8 24.2 1978.09.16 伊朗塔巴斯镇地区 7.9 1.5 1995.01.17 日本阪神工业区 7.2 0.6 万1999.08.17 土耳其伊兹米特市 7
25、.4 1.7 万2003.12.26 伊朗克尔曼省 6.8 3 万2004.12.26 印尼苏门答腊岛附近海域 9.0 15 万世界每年发生大地震概率约为世界每年发生大地震概率约为1414% % 世界性大流感每世界性大流感每30-4030-40年发生一次年发生一次 近百年世界重大流感1918年年 西班牙型流感西班牙型流感 H1N1亚型亚型4 4亿人感染亿人感染 50005000万人死亡万人死亡1957年年 亚洲型流感亚洲型流感 H2N2 亚型亚型1968年年 香港型流感香港型流感 H3N2 亚型亚型2020天传遍美国天传遍美国 半年席卷全球半年席卷全球 概率的概率的统计定义统计定义概率的定义概
26、率的定义在相同条件下重复进行的 n 次试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).对本定义的评价对本定义的评价优点：直观 易懂缺点：粗糙 模糊不便使用 设 是随机试验E 的样本空间，若能找到一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋于一个实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种赋值满足下面的三条公理：q 非负性：0)(,APAq 归一性：1)(P11)(iiiiAPAPq 可列可加性：,21AA其中 为两两互斥事件， 概率的公理化定义概率的公理化定义概率的性质概率的性质q 0)(Pq
27、 )(1)(APAP1)( APq 有限可加性: 设 nAAA,21两两互斥niiniiAPAP11)(q 若BA)()()(APBPABP)()(BPAPq 对任意两个事件A, B, 有 )()()(ABPBPABP BAB=AB+(B A)P(B)=P(AB)+ P(B AB) B - ABABq 加法公式：对任意两个事件A, B, 有 )()()()(ABPBPAPBAP)()()(BPAPBAP推广推广：)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP)() 1()()()()(2111111nnnnkjikjinjijiniiniiAAAPAAAPAAP
28、APAP一般一般：右端共有 项.12 n例例1 1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王解解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”(1)6 . 01 . 07 . 0)()()(ABPAPBAP(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率(2)8 . 0)()()()(ABPBPAPBAP(3)2 . 0)()(BAPBAP例例2 2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下， P(AB) 取
29、得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？解解)()()()(ABPBPAPBAP)()()()(BAPBPAPABP3 . 01)()(BPAP1)(BAP最小值在 时取得 6 . 0)()(APABP 最小值 最大值)()(BPBAP最大值在 时取得 最小值是否正确？ 例2 中回答当 时, 取得BA)(BAP这相当于问如下命题是否成立答：不成立 ！BA1)(BAP 式是式是“ “羊肉包子打狗羊肉包子打狗 ” ”有去路有去路,没回路没回路为什么呢？学了几何概型便会明白.设 随机试验E 具有下列特点：q 基本事件的个数有限q 每个基本事件等可能性发生则称 E 为 古典(等可能)概型古典概型中概率的
30、计算：记 中包含的基本事件总数n的基本事件个数组成 Ak nkAP/)(则古典（等可能）概型古典（等可能）概型 概率的概率的古典定义古典定义排列组合有关知识复习排列组合有关知识复习加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 niim1种不同的方法乘法原理：完成一件事情有n 个步骤，第 i 个步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 niim1种不同的方法共有 共有 排列排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有) 1()2)(1(mnnnnAmn全排列全排列!nAnn可重复排列可重复排列 从
31、n 个不同的元素中可重复地 取出 m 个排成一排, 不同的排法有mn种不尽相异元素的全排列不尽相异元素的全排列 n 个元素中有 m 类，第 i 类中有 个相同的元素，ik,21nkkkm将这 n 个元素按一定的次序排成一排，!21mkkkn种不同的排法共有mkkk,21nkkkm21，不同的分法共有多组组合多组组合 把 n 个元素分成 m 个不同的组（组编号）， 各组分别有 个元素， nnkkkknknCCC211种组合组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）组成一组， 不同的分法共有)!( !mnmnCmnbam例例3 3 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按不放回与放回两种
32、方式取m个球（ ),求其中恰有 k 个 （ ）白球的概率mkak ,bam) 1() 1)()(mbababaAnmba解解 （1）不放回情形不放回情形E: 球编号，任取一球，记下颜色，放在一边， 重复 m 次:记事件 A 为m个球中有k个白球，则)!(!)!(!)!( !kmbbkaakmkmAACnkmbkakmA又解又解 E1: 球编号, 一次取 m 个球,记下颜色mbaCn11:记事件 A 为m个球中有k个白球，则kmbkaACCn不放回地逐次取 m 个球, 与一次任取 m 个球算得的结果相同.则mbakmbkakmAAACAP)(mkak ,因此mbakmbkaCCCAP)(mkak
33、 ,称超几何分布（2）放回情形放回情形E2: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放回去, 重复 m 次mban)(22:记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球, 则mkmkkmbabaCBP)()(kmkkmbabbaaCbaap记),min(, 2 , 1)1 ()(makppCBPkmkkm称二项分布二项分布 设有 k 个不同的球, 每个球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:Nk（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；（4）恰有 k 个盒子中各有一球；（3）某指定的一个盒子没有球；km（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( )（5）至少有两个球在
34、同一盒子中；（6）每个盒子至多有一个球.例例4 4 （分房模型）（分房模型）解解kNn 设 (1) (6)的各事件分别为61AA 则!1kmAkANknmAP!)(11kkNNkCAP!)(4kkNNAP) 1()(3kmkmkNNCAP) 1()(2kkNkNkCNAP!)(5)(14APkANm) 1(3mkmkANCm) 1(2!4kCmkNA!5kCNmkNkA!6kCmkNA)()(46APAP例例4的的“分房模型分房模型”可应用于很多类似场合可应用于很多类似场合“球”可视为人“盒子”相应视为房子信封信钥匙门锁女舞伴生日人男舞伴例例5 5 “分房模型分房模型”的应用的应用生物系二年级
35、有 n 个人，求至少有两人生日相同（设为事件A ) 的概率.解解为 n 个人的生日均不相同,这相当于A本问题中的人可被视为“球”，365天为365只“盒子”.若 n = 64，每个盒子至多有一个球. 由例4（6）nnnCAP365!)(365.365!1)(1)(365nnnCAPAP.997. 0)(AP解解.5040410An例例6 6 在0,1,2,3, ,9中不重复地任取四个数，求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.设 A为“能排成首位非零的四位偶数” 四位偶数的末位为偶数, 故有 种可能15C而前三位数有 种取法,由于首位为零的四39A 位数有 种取法,所以有利于A发生的取1248C
36、 A229628143915ACACnA 法共有 种.904150402296)(AP2121AAAAA解解nn9 设 A 表示事件 “n 次取到的数字的乘积能被10整除”设 A1 表示事件 “n 次取到的数字中有偶数” A2表示事件 “n 次取到的数字中有5”A = A1 A2例例7 7 在1,2,3, ,9中重复地任取 n ( )个数, 求 n 个数字的乘积能被10整除的概率.2 nnAP951nnAP982nnAAP9421 nnnnAAPAPAPAAPAP9485212121 .94851nnnnAP 将15 名同学(含3 名女同学), 平均分成三组. 求(1) 每组有1 名女同学(设
37、为事件A)的概率；(2) 3 名女同学同组(设为事件B)的概率解解55510515CCCn （1）1112134448412CCCCCCnA9125)(AP（2）5551021213CCCCnB916)(BP例例8 8 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入标有 1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球，求至少有一个盒子的号码与放入的球的号码一致的概率。解解 设 A 为所求的事件设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4则41iiAA4 , 3 , 2 , 1,41! 4! 3)(iAPi例例9 9( 类似于教材 P.18 例13 )41,121! 4! 2)(
38、jiAAPji41,241! 4! 1)(kjiAAAPkji241)(4321AAAAP4141)()()(jijiiiAAPAPAP85)()(432141AAAAPAAAPkjikji由广义加法公式1o 明确所作的试验是等可能概型,有时需设计符合问题要求的随机试验, 使其成为等可能概型.3o 计算古典概率时须注意应用概率计算的有关公式, 将复杂问题简单化. 如例7.2o 同一题的样本空间的基本事件总数 随试验设计的不同而不同, 如 例3不放回试验的两种不同设计. 一般 越小越好.nn计算古典概率注意事项计算古典概率注意事项若P(A) 0.01 , 则称A为小概率事件.小概率事件 一次试验
39、中小概率事件一般是不会发生的. 若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件.小概率原理( 即实际推断原理 )例例1010 区长办公室某一周内曾接待过9次来 访, 这些来访都是周三或周日进行的,是否 可以断定接待时间是有规定的？解解 假定办公室每天都接待，则P( 9次来访都在周三、日) = = 0.00001279972这是小概率事件,一般在一次试验中不会发 发生. 现居然发生了, 故可认为假定不成立,从而推断接待时间是有规定的. 柯尔莫哥洛夫 ( A. H. 1903-1987 ) 1939年任苏联科学院院士.先后当选美,法,意,荷,英,德 等国的外籍院士 及皇家学会会员. 为 2
40、0 世纪最有影响的俄国数学家.俄国数学家 柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一系列重要分支作出重大贡献. 他建立了在测度论基础上的概率论公理系统, 奠定了近代概率论的基础. 他又是随机过程论的奠基人之一,其主要工作包括: 20年代 关于强大数定律、重对数律的基本工作; 1933年在概率论的基本概念一文中提出的概率论公理体系(希尔伯特第6问题) 30年代建立的马尔可夫过程的两个基本方程; 用希尔伯特空间的几何理论建立弱平稳序列的线性理论; 40年代完成独立和的弱极限理论,经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等; 在动力系统中开创了关于哈密顿系统的微扰理论与K系统遍历理论; 50年代中期开创了研究函数特征的信息
41、论方法, 他的工作及随后阿诺尔德的工作解决并深化了希尔伯特第13问题用较少变量的函数表示较多变量的函数 ;60年代后又创立了信息算法理论; 1980年由于它在调和分析, 概率论,遍历理论 及 动力系统方面 出色的工作获沃尔夫奖; 他十分重视数学教育,在他的指引下,大批数学家在不同的领域内取得重大成就.其中包括.M.盖尔范德,B.阿诺尔德, .西奈依等人. 他还非常重视基础教育, 亲自领导了中学 数学教科书的编写工作. 问问 题题 2 已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 , P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/6 则事件A，B，C 全不发生
42、的概率为 .通过做此题 你能发现什么问题？ （此题是1992年考研填空题） 设样本空间为有限区域 , 若样本点落入 内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比, 则样本点落入G内的概率为的测度的测度GAP)(1.3 1.3 几何概型几何概型例例1111 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率9点10点10分钟616010)(AP几何概型几何概型 (等可能概型的推广)例例1212 两船欲停同一码头, 两船在一昼夜内独立随机地到达码头. 若两船到达后需在码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小 时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等待
43、空出码头的概率.解解 设船1 到达码头的瞬时为 x , 0 x 24 船2 到达码头的瞬时为 y , 0 y 0)的一些平行直线， 现向此平面任意投掷一根长为l(a)的针，试求针与任一平行直线相交的概率。M axsin2lx x 解：以x表示针投到平面上时，针的中点M到最近的一条平行的距离， 表示针与该平行线的交角，则针落在平面上的位置可由（x, )完全确定(如下图所示）。投针实验的所有可能结果与如下矩形 区域一一对应：S=(x, )|0 ,20ax设所求事件为A, 则A与如图区域一一对应：G=(x, )|0 ,sin20lx故所求的概率为.22sin2)()()(0aladlSGAPMont
44、e-Carlo 模拟法用此例来计算的近似值。概率论与数理统计主讲谢兆如概率统计概率统计 是研究是研究随机现象随机现象数量规律的数量规律的数学学科数学学科, 理论严谨理论严谨, 应用广泛应用广泛, 发展迅速发展迅速. 目前目前, 不仅高等学校各专业都开设了这门课不仅高等学校各专业都开设了这门课程程, 而且从上世纪末开始，这门课程特意而且从上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之被国家教委定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真学好这门不易学好又一，希望大家能认真学好这门不易学好又前前言言不得不学的重要课程不得不学的重要课程.教材：教材：概率论与数理统计概率论与数理统计高
45、祖新高祖新 陈华均编陈华均编南京大学出版社南京大学出版社 2002年年主要参考书 茆诗松 程依明 濮晓龙编 概率论与数理统计教程习题与解答，高等教育出版社，2005。 谢琍 尹素菊 陈立萍编概率论与数理统计解题指导，北京大学出版社，2003。 屠俊如 洪再吉译基础统计学（Robert Johnson, Patricia Kuby, Elementary Statistics)，科学出版社，2003。 耿修林 谢兆如编 应用统计学，科学出版社，2002。国内有关经典著作国内有关经典著作1.1.概率论基础及其应用概率论基础及其应用 王梓坤著 科学出版社 1976 年版 2.数理统计引论数理统计引论
46、陈希儒著 科学出版社 1981年版国外有关经典著作国外有关经典著作1.概率论的分析理论概率论的分析理论P.- S.拉普拉斯著 1812年版2. 统计学数学方法统计学数学方法H. 克拉默著 1946年版概率论的最早著作概率论的最早著作数理统计最早著作数理统计最早著作 概率统计专业概率统计专业首位中科院院士首位中科院院士作业:每两周一次，单周交。请用作业纸书写。联系方式:手机: 13912963393。密码:200808本学科的本学科的 ABC概率概率(或然率或几率或然率或几率) 随机事件出现随机事件出现的可能性的量度的可能性的量度 其起源与博弈问题有关其起源与博弈问题有关.16世纪意大利学者开始
47、研究掷骰子等赌博世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题；中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家B. 帕帕斯卡、荷兰数学家斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯惠更斯 基于排列组合的方基于排列组合的方法，研究了较复杂法，研究了较复杂 的赌博问题，的赌博问题， 解决了解决了“ 合理合理分配赌注问题分配赌注问题” ( 即得分问题即得分问题 ).概率论是一门概率论是一门研究客观世界随机现象数量研究客观世界随机现象数量规律的规律的 数学分支学科数学分支学科.发展则在发展则在17世纪微积分学说建立以后世纪微积分学说建立以后.基人是瑞士数学家基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速伯努利
48、；而概率论的飞速论；使论；使 概率论概率论 成为成为 数学的一个分支的真正奠数学的一个分支的真正奠 对客观世界中随机现象的分析产生了概率对客观世界中随机现象的分析产生了概率概率论的特点是先提出数学模型，然后去概率论的特点是先提出数学模型，然后去研究它的性质、特点和规律性。研究它的性质、特点和规律性。数理统计学是一门数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策策和行动提供依据和建议的和行动提供依据和建议的 数学分支学科。数学
49、分支学科。统计方法的数学理论要用到很多近代数学统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这样说：样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系的数学分支学科，并无从属关系.本学科的应用本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经所有科学技术领域
50、、工农业生产和国民经济的各个部门中济的各个部门中. 例如例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与及预测都与概率论概率论紧密相关；紧密相关；2. 产品的抽样验收，新研制的药品能产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均要用到否在临床中应用，均要用到假设检验假设检验；6. 探讨太阳黑子的变化规律时探讨太阳黑子的变化规律时,时间时间可夫过程可夫过程 来描述来描述;7. 研究化学反应的时变率，要以研究化学反应的时变率，要以马尔马尔序列分析序列分析方法非常有用方法非常有用;4. 电子系统的设计电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其火箭卫星的研制及其发射都离不
