1、随机信号分析中国民航大学中国民航大学电子信息工程学院电子信息工程学院贾桂敏贾桂敏随机过程的时域分析平稳过程平稳过程两个随机过程两个随机过程复过程复过程随机过程的微积分随机过程的微积分各态历经过程各态历经过程高斯过程高斯过程复随机过程复随机变量复随机变量复随机过程复随机过程定义定义数学期望数学期望方差方差相关、独立、正交相关、独立、正交平稳平稳随机过程可以看成是随机过程可以看成是随随时间时间t变化的随机变量。变化的随机变量。复随机过程看成是复随机过程看成是随随时间时间t变化的复随机变量。变化的复随机变量。复变量1、定义、定义 X和和Y为实随机变量，定义复随机变量为实随机变量，定义复随机变量Z为为
2、 ZXjY2、数学期望、数学期望zXYmE ZE XjYEXjEYmjm复数复数3、方差、方差2*| ()()()() ZZZZZZXYDDZEZmEZmZmEZmZmDD实数实数相关、正交、独立两个复随机变量两个复随机变量Z1X1jY1Z2X2jY21212*Z ZRE ZZ1 212*12() ()Z ZZZCE ZmZm1 1）互相关）互相关2 2）互协方差）互协方差2 2、不相关不相关1 1、正交、正交120Z ZR1 20Z ZC),(),(),(2211221122112211yxfyxfyxyxfYXYXYXYX3 3、独立、独立X1 , Y1 , X2 , Y2四个变量的联合概
3、率密度四个变量的联合概率密度举例（复变量）112233441123XXmXmXMXmXm11021433039523516XC112234YXjXYXjX令令两个复随机变量两个复随机变量求：求：121212,YYY YY YmDRC问：两个复变量是否独立？正交？不相关？问：两个复变量是否独立？正交？不相关？( X X1 1,X,X2 2,X,X3 3 ,X,X4 4) )是四维高斯变量，其期望和方差为是四维高斯变量，其期望和方差为复随机过程复随机变量复随机变量复随机过程复随机过程定义定义数学期望数学期望方差方差相关、独立、正交相关、独立、正交平稳平稳随机过程可以看成是随机过程可以看成是随随时间
4、时间t变化的随机变量。变化的随机变量。复随机过程看成是复随机过程看成是随随时间时间t变化的复随机变量。变化的复随机变量。复过程),;,(21212121ttttttyyyxxxfmnmnXY1、定义、定义 复随机过程复随机过程Z (t)为为Z (t)X (t)jY(t)其统计特性可以由两个实随机过程其统计特性可以由两个实随机过程X(t)和和Y(t)的联的联合概率密度来描述：合概率密度来描述：2、数学期望、数学期望( )( )( )ZXYmtmtjmt复函数复函数3、方差、方差2*( )( )|( )( ) | ( )( )( )( )( )( )ZZZZXYDtD Z tEZ tmtEZ tm
5、tZ tmtDtDt实函数实函数复过程4、自相关函数、自相关函数212*1( ,) ( )( )ZRt tE Z tZ t5 5、自协方差函数、自协方差函数复函数复函数121122*( ,) ( )( ) ( )( )ZZZCt tEZ tmtZ tmt复函数复函数6、复平稳、复平稳如果复随机过程如果复随机过程Z(t)=X(t) +jY(t) 满足满足1221( ,)( )ZXYZZmmjmRt tRtt则称复随机过程则称复随机过程Z(t)Z(t)是宽平稳的。是宽平稳的。121212( ,)( ,)( )( )ZZZZCt tRt tmt mt12112*2( ,)( ,)( )( )ZZZZ
6、Ct tRt tmtmt举例（复过程）()( )jtZ te设复随机过程设复随机过程Z(t)Z(t)其中其中 为常数，为常数， 是服从（是服从（0 0，2 2 ）上的均匀分布）上的均匀分布的随机变量。的随机变量。求：求：1 1） m mZ Z(t(t) ,) ,D DZ Z(t(t) )2 2） R RZ Z(t(t1 1,t,t2 2), ), C CZ Z(t(t1 1,t,t2 2) )3 3）是否平稳？）是否平稳？两个复过程 两个复随机过程两个复随机过程Z1 (t) X1 (t) jY1 (t) Z2 (t) X2 (t) jY2 (t) 1 1）互相关函数）互相关函数2 2）互协方差
7、函数）互协方差函数122122*11( ,)( )( )Z ZRt tE Z tZt121212111222*( ,)( )( ) ( )( )Z ZZZCt tEZ tmtZtmt1、正交、正交1212( ,)0Z ZRt t2、不相关、不相关1212( ,)0Z ZCt t3、联合平稳、联合平稳121212( ,)( )Z ZZ ZRt tR随机过程的微积分随机序列的收敛随机序列的收敛过程的连续过程的连续过程的微分过程的微分过程的积分过程的积分1.距离空间X在所有的随机变量和过程组成的空间中，定义212,YXEYX，则可以证明它就是一种距离2范数范数到原点的距离表示xx3内积3.内积空间内
8、积空间 , 0,yx若若称称x，y正交。正交。XYEYX,数列的收敛若数列若数列S S1 1,S,S2 2, , ,S Sn n, ,对任意小正实数对任意小正实数 00，总能找总能找到一个正整数到一个正整数N N，使得当使得当nNnN时，存在时，存在| |S Sn n-a| -a|N nN ，则称数列则称数列S S1 1,S,S2 2, , ,S Sn n, ,收敛于常数收敛于常数a a 。limnnSa表示为表示为称：数列称：数列 S Sn n 的极限为的极限为a.a.随机序列的处处收敛与均方收敛2lim ( ) 0nE X nX4 4）均方收敛）均方收敛.( )M SX nX ( )(1),(2),( ),X nXXX n随机序列：lim( )nX nX1 1）处处收敛）处处收敛( )eX nX 习题必做题：必做题：2-102-12改题：其中改题：其中A是均值为是均值为XH，方差为，方差为9的随机的随机变量。变量。2-14选做题选做题2-92-13XH表示学号的最后两位表示学号的最后两位例：例：040420524同学同学 XH24两情若是久长时，又岂在朝朝暮暮。
