1、 北京市师大附中北京市师大附中 20112011- -20122012 学年上学期高一年级期中考试数学试卷学年上学期高一年级期中考试数学试卷 （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 第卷（模块卷） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1. 设全集8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1U，集合5 , 3 , 1S，6 , 3T，则)(TSCU等于（ ） A. B. 8 , 7 , 4 , 2 C. 6 , 5 , 3 , 1 D. 8 , 6 , 4 , 2 2. 给定映射f：)2 ,2(
2、),(yxyxyx，在映射f下（3，1）的原象为（ ） A. （1，3） B. （1，1） C. （3，1） D. （ 2 1 , 2 1 ） 3. 下列函数中是偶函数且在（0，1）上单调递减的是（ ） A. 3 1 xy B. 4 xy C. 2 1 xy D. 2 xy 4. 已知3 . 0log2a， 3 . 0 2b， 2 . 0 3 . 0c，则cba,三者的大小关系是（ ） A. cba B. cab C. acb D. abc 5. 设函数 3 xy 与 2 ) 2 1 ( x y的图象的交点为),( 00 yx，则 0 x所在的区间是（ ） A. （0，1） B. （1，2）
3、C. （2，3） D. （3，4） 6. 若函数)(xfy 是函数 x ay （0a，且1a）的反函数，其图象经过点),(aa， 则)(xf（ ） A. x 2 log B. x 2 1 log C. x 2 1 D. 2 x 7. 函数 2 10 552 )( x xx xf （ ） A. 是奇函数但不是偶函数 B. 是偶函数但不是奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数 8. 已知实数0, 0ba且1ba，则 22 ) 1() 1(ba的取值范围为（ ） A. 5 , 2 9 B. , 2 9 C. 2 9 , 0 D. 5 , 0 二、填空题：本大题共 5 小题
4、，每小题 5 分，共 25 分。 9. 3 2 2 2 1 3 2 ) 27 8 () 2 1 (1627 10. 函数xy 3 log2的定义域是 11. 已知幂函数)(xfy 的图象过点) 2 2 , 2 1 (，则)2(log2f 12. 设)(xf是定义在 R 上的奇函数，且满足)()2(xfxf，则 )2(f 13. 有下列命题： 函数)2(xfy与)2( xfy的图象关于y轴对称； 若函数)( 12)2010( 2 Rxxxxf，则函数)(xf的最小值为2； 若函数) 1, 0(log)(aaxxf a 在), 0( 上单调递增，则) 1()2(aff； 若 ) 1( ,log )
5、 1( ,4) 13( )( xx xaxa xf a 是),(上的减函数，则a的取值范围是) 3 1 , 0(。 其中正确命题的序号是 。 三、解答题：本大题共 3 小题，共 35 分。要求写出必要演算或推理过程。 14. 已知集合2)3(log| 2 xxA，集合 1 2 2 | x xB，求BA。 15. 某租赁公司拥有汽车 100 辆，当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出，当每辆车 的月租金每增加 50 元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费 150 元，未 租出的车每辆每月需要维护费 50 元。 （1）当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出多少辆车？
6、（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 16. 已知：2562 x 且 2 1 log 2 x， （1）求x的取值范围； （2）求函数) 2 (log) 2 (log)( 2 2 xx xf的最大值和最小值。 第卷（综合卷） 四、填空题：本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分。 17. 若函数43 2 xxy的定义域为m, 0，值域为 4, 4 25 ，则 m 的取值范围是 18. 已知a是实数， 若函数axaxxf322)( 2 在区间1 , 1上恰好有一个零点， 则a 的取值范围 19. 已知函数)4( 2 xfy的定义域是5 , 1，则函数
7、) 12(xfy的定义域为 五、解答题：本大题共 3 小题，共 38 分。要求写出必要演算或推理过程 20. 已知)(xf是定义在), 0( 上的增函数，且满足)()()(yfxfxyf，1)2(f。 （1）求)8(f （2）求不等式3)2()(xfxf的解集 21. 已知定义在 R 上的函数 a b xf x x 2 2 )(是奇函数 （1）求ba,的值； （2）判断)(xf的单调性，并用单调性定义证明； （3）若对任意的Rt，不等式0)()2( 2 kfttf恒成立，求实数k的取值范围。 22. 设二次函数cbxaxxf 2 )(的图象以y轴为对称轴，已知1ba，而且若点 ),(yx在)(
8、xfy 的图象上，则点) 1,( 2 yx在函数)()(xffxg的图象上 （1）求)(xg的解析式 （2）设)()()(xfxgxF，问是否存在实数，使)(xF在) 2 2 ,(内是减函数，在 )0 , 2 2 (内是增函数。 【试题答案】【试题答案】 一、选择题 1-5 BBDCB 6-8 BAA 二、填空题 9. 3； 10. 9 , 0； 11. 2 1 ； 12. 0； 13. 三、解答题 14. 解：由 43 03 2)3(log2 x x x 则31x 3 , 1A 由021 2 2 x x 0 , 2B A0 , 1B 15. 解： （1）当每辆车月租金为 3600 元时，未租
9、出的车辆数为12 50 30003600 ，所以 这时租出了 88 辆。 （2）设每辆车的月租金定为x元，则公司月收益为 50 50 3000 )150)( 50 3000 100()( x x x xf 整理得：307050)4050( 50 1 21000162 50 )( 2 2 xx x xf 当4050x时，)(xf最大，最大值为307050)4050(f元 16. 解： （1）由2562 x 得8x，由 2 1 log 2 x得2x 82 x （2）由（1）82 x得3log 2 1 2 x )2log)(log2log(log) 2 (log) 2 (log)( 22 22 2
10、2 xx xx xf 4 1 ) 2 3 (log)2(log) 1(log)( 2 222 xxxxf。 当 2 3 log 2 x， 4 1 )( min xf，当3log2x，2)( max xf 四、填空题： 17. 3 , 2 3 ； 18. 51 a或 2 73 a； 19. 10, 2 5 五、解答题： 20. 解： （1）由题意得)2()22()2()4()24()8(ffffff )2(3)2()2()2(ffff 又1)2(f 3)8(f （2）不等式化为32)-f(xf(x) 3)8(f )168()8()2()(xffxfxf )(xf是), 0( 上的增函数 )2(8
11、 0)2(8 xx x 解得 7 16 2 x 21. 解： （1）)(xf是定义在 R 上的奇函数，0 1 1 )0( a b f，1b 2 分 x x a xf 2 21 )( ， xx aa212即12) 12( xx a对一切实数x都成立， 1a1ba （2）1 21 2 21 21 )( xx x xf，)(xf在 R 上是减函数 证明：设Rxx 21, 且 21 xx 则 21 xx ， 12 22 xx ，021 1 x ，021 2 x ， )()( 21 xfxf0，即)()( 21 xfxf，)(xf在 R 上是减函数 不等式)()2(0)()2( 22 kfttfkftt
12、f 又)(xf是 R 上的减函数，ktt 2 2 8 1 ) 4 1 (22 22 tttk对Rt恒成立 8 1 k 22. 解（1）1) 1()(, 1)( 222 xxgxxf。 （2）由（1）可得2)2()()()( 24 xxxfxgxF。 设 2 2 21 xx， 则)2)()()( 2 2 2 1 2 2 2 121 xxxxxFxF 要使)(xF在) 2 2 ,(内为减函数，只需0)()( 21 xFxF，但0 2 2 2 1 xx，故只 要02 2 2 2 1 xx， 所 以2 2 2 2 1 xx， 然 而 当) 2 2 ,(, 21 xx时 ， 32 2 2 2 1 xx，因此，我们只要3，)(xF在 2 2 ,内是减函数。 同理，当3时，)(xF在)0 , 2 2 (内是增函数。 综上讨论，存在唯一的实数3，使得对应的)(xF满足要求。
