1、第五章第五章 空间力系空间力系 空间汇交力系空间汇交力系 力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影 力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩 空间力系的平衡条件空间力系的平衡条件 重心重心2 工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。间力系是最一般的力系。 (a)图为空间汇交力系；图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；图为空间任意力系； (b)图中去了风力为空间平行力系。图中去了风力为空间平行力系。迎 面风 力侧 面风 力b空间汇交力系概述空间汇交力系概述 本
2、章重点本章重点 1 力在空间坐标轴上的投影力在空间坐标轴上的投影 2 力对坐标轴的矩力对坐标轴的矩 3 空间力系平衡方程的应用空间力系平衡方程的应用 一、空间力沿坐标轴的分解与投影一、空间力沿坐标轴的分解与投影xyzABFxFyFzF1、力沿直角坐标轴的分解、力沿直角坐标轴的分解 如图以力矢如图以力矢 为对角线作直平行六面为对角线作直平行六面体，其三棱边分别平行于坐标轴体，其三棱边分别平行于坐标轴,则可将则可将力力 直接分解为沿坐标轴的三个正交分直接分解为沿坐标轴的三个正交分力。力。FF一、空间力沿坐标轴的分解与投影一、空间力沿坐标轴的分解与投影2、力在空间直角坐标轴上的投影、力在空间直角坐标
3、轴上的投影 称为称为直接投影法直接投影法。cosyFFcoszFFcosFFx（1）已知力）已知力 与与坐标方向的夹角坐标方向的夹角为为 、 、 ，则则 在坐标轴在坐标轴上的投影为：上的投影为：FF一、空间力沿坐标轴的分解与投影一、空间力沿坐标轴的分解与投影ABxyzFxyF（2）已知力）已知力 的仰角的仰角 和方和方位角位角 ，则则 在坐标轴上的投在坐标轴上的投影为：影为：FFcoscosFFxsincosFFysinFFz称为称为二次投影法二次投影法。反之，若已知力反之，若已知力 在坐标轴上的投影在坐标轴上的投影 、 、 ，则该力的大小和方向为：则该力的大小和方向为：FxFyFzF222z
4、yxFFFFFFFFFFzyxcos,cos,cos力力 的解析表达式：的解析表达式：FkFjFiFFFFFzyxzyx二、力对点之矩二、力对点之矩OxyzF),(zyxABrd)(FmOijk 空间力对点的矩的作用效果取空间力对点的矩的作用效果取决于：力矩的大小、转向和力矩作决于：力矩的大小、转向和力矩作用面方位。这三个因素可用一个矢用面方位。这三个因素可用一个矢量量 表示，如图。表示，如图。其模表示力矩的大小；其模表示力矩的大小；指向表示力矩在其作用面内的转向指向表示力矩在其作用面内的转向（符合右手螺旋法则）；（符合右手螺旋法则）；方位表示力矩作用面的法线。方位表示力矩作用面的法线。由于力
5、矩与矩心的位置有关，由于力矩与矩心的位置有关，所以所以 的的始端一定在矩心始端一定在矩心O处，是定位矢量处，是定位矢量。)(FmO)(FmO二、力对点之矩二、力对点之矩 )(Fr 根据右手螺旋法则，矢量根据右手螺旋法则，矢量 的指向与的指向与 的指向一致，且都垂直于点的指向一致，且都垂直于点O与力与力 所决定的平所决定的平面。所以：面。所以：)(FmOFFrFmO)(即：即：空间力对点之矩矢等于矩心到该力作用点的空间力对点之矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。矢径与该力的矢量积。OABFdFmO2)(由力矩的定义由力矩的定义的面积的面积由图可知由图可知OABFdrFFrFr2),si
6、n(的面积的面积有：有：FrFmO)(二、力对点之矩二、力对点之矩 建立如图坐标，有建立如图坐标，有kzj yi xrkFjFiFFzyx所以：所以：kyFxFjxFzFizFyFFFFzyxkjiFrFmxyzxyzzyxO)()()()(上式为力对点的矩的解析表达式。上式为力对点的矩的解析表达式。OxyzF),(zyxABr)(FmO一、力对轴之矩一、力对轴之矩dABFOABzxyxyF 力力 对对z 轴之矩定义为：轴之矩定义为：FBAOdFFmxyz2)(的面积的面积即：力对任一轴之矩，等于力在即：力对任一轴之矩，等于力在垂直于该轴平面上的投影对于轴垂直于该轴平面上的投影对于轴与平面的交
7、点之矩。与平面的交点之矩。符号规定：符号规定：从从z轴正向向里看，若力使刚体逆时针转取正，轴正向向里看，若力使刚体逆时针转取正，反之取负。力对轴的矩为代数量。反之取负。力对轴的矩为代数量。 由定义可知：（由定义可知：（1）当力的作用线与轴平行）当力的作用线与轴平行或相交或相交（共面）时，力对轴的矩等于零（共面）时，力对轴的矩等于零。（。（2）当）当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。)()(FmRmzz 同样，同样，力对轴之矩亦有合力矩定理力对轴之矩亦有合力矩定理：合力对任：合力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。即：一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的
8、代数和。即：力对轴之矩实例力对轴之矩实例FzFxFy那个力才能使得门绕轴转动？那个力才能使得门绕轴转动？门把手应该安装在什么位置上？门把手应该安装在什么位置上？ 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零力对该轴的矩为零. .( )()zOxyxyM FM FFh例1 yyF 求力 对三坐标轴的矩。F解：由合力矩定理：zxzyyyxyyxFzFFmFmFmFm)()()()(yzzxyxxxxzFyFFmFmFmFm)()()()(xyzzyzxzzyFxFFmFmFmFm)()()()(以上三式是力对轴的矩的解析表达式。xxyzz
9、abF),(zyxABxFxFyFzFxyF三、力对点之矩与力对过该点的轴的矩的关系三、力对点之矩与力对过该点的轴的矩的关系 将将 表示为如下形式：表示为如下形式：)(FmOkFmjFmiFmFmzOyOxOO)()()()(比较前两式，得：比较前两式，得：)()()()()()(xyzOzxyOyzxOyFxFFmxFzFFmzFyFFm 比较上式和例比较上式和例1的结果，得：的结果，得：)()()()()()(FmFmFmFmFmFmzzOyyOxxO即：即：力对任一点之矩矢在通过该点的任一轴上的力对任一点之矩矢在通过该点的任一轴上的投影，等于力对该轴之矩。投影，等于力对该轴之矩。例2 P
10、xyzabc 求力 在三轴上的投影和对三轴的矩。P解：解：222coscoscbaPaPFx222sincoscbaPbPFy222sincbaPcPFzcFPmPmPmPmyzxyxxxx)()()()(0)(PmyaFPmPmPmPmyzzyzxzz)()()()(例3 如图所示，长方体棱长为a、b、c，力 沿BD，求力 对AC之矩。FF解：ACCACFmFm)()(22cos)(baFbaaFFmCABCDabcF22222cos)()(cbabaFabcFmFmCAC球形铰链球形铰链空间约束空间约束2、向心轴承，蝶铰链，滚珠、向心轴承，蝶铰链，滚珠(柱柱)轴承轴承3、滑动轴承、滑动轴承
11、 4、止推轴承、止推轴承 5、带有销子的夹板、带有销子的夹板6、空间固定端、空间固定端5.4 空空 间间 汇汇 交交 力力 系系1、合成、合成 将平面汇交力系合成结果推广得：将平面汇交力系合成结果推广得：FFFFRn 21合力的大小和方向为：合力的大小和方向为：222)()()(FzFyFxRRFRFRFzyxcos,cos,cos2、平衡、平衡 空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：0FR以解析式表示为：以解析式表示为：0, 0, 0zyxFFF即为空间力系的即为空间力系的平衡方程平衡方程。解题思路解题思路+ +注意事项注意事项1 取研究对象，画受力图。取研
12、究对象，画受力图。 注意：注意：1）球铰链球铰链 2）空间二力杆空间二力杆 3）不再单独取分离体不再单独取分离体2 建立坐标系，列平衡方程。建立坐标系，列平衡方程。 注意：注意：1）代数量代数量 2）避免解联立方程避免解联立方程3 求解求解注意：负值的力学含义注意：负值的力学含义 负值的代入问题负值的代入问题例4ABCDEPABCDEPDTCTSxyz 重为P的物体用杆AB和位于同一水平面的绳索AC与AD支承，如图。已知P=1000N，CE=ED=12cm，EA=24cm，不计杆重；求绳索的拉力和杆所受的力。45 解：以铰A为研究对象，受力如图，建立如图坐标。0sinsin:0DCxTTF0s
13、incoscos:0STTFDCy0cos:0PSFz由几何关系：52241224cos22解得：NS1414NTTDC5595.4 空间力偶系空间力偶系 力偶由一个平力偶由一个平面平行移至刚体另面平行移至刚体另一个平行平面不影一个平行平面不影响它对刚体的作用响它对刚体的作用效果。效果。ABFFORR1A1B1F1F2F2F 力偶的作用面不在同一平面内的力偶系称为空力偶的作用面不在同一平面内的力偶系称为空间力偶系。间力偶系。二、力偶的矢量表示二、力偶的矢量表示mmFF 由力偶的性质可知：力偶的作用效果取由力偶的性质可知：力偶的作用效果取决于力偶矩的大小、力偶转向和作用面方决于力偶矩的大小、力偶
14、转向和作用面方位。因此可用一矢量位。因此可用一矢量 表示：表示：选定比例尺，选定比例尺，用用 的模表示力偶矩的大小的模表示力偶矩的大小； 的指向按的指向按右手法则表示力偶的转向；右手法则表示力偶的转向； 的作用线与的作用线与力偶作用面的法线方位相同力偶作用面的法线方位相同。如图所示。如图所示。 称称 为力偶矩矢。为力偶矩矢。mmmmm力偶矩矢为一自由矢量。力偶矩矢为一自由矢量。 空间力偶的等效条件是：空间力偶的等效条件是：两个力偶的力偶矩矢相等。两个力偶的力偶矩矢相等。BAMrF三、空间力偶系的合成三、空间力偶系的合成 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，合空间力偶系合成的最后结果为一个合力
15、偶，合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：mMmmMn 21根据合矢量投影定理：根据合矢量投影定理：zzyyxxmMmMmM, 于是合力偶矩的大小和方向可由下式确定：于是合力偶矩的大小和方向可由下式确定：222)()()(zyxmmmMMMkMMMjMMMiMzyx),cos(,),cos(,),cos(四、空间力偶系的平衡四、空间力偶系的平衡 空间力偶系可以合成一合力偶，空间力偶系可以合成一合力偶，所以空间力所以空间力偶系平衡的必要与充分条件是：合力偶矩矢等于偶系平衡的必要与充分条件是：合力偶矩矢等于零零。即：。即：0mM因为因为：222)()()(zyx
16、mmmM所以所以：000zyxmmm上式即为上式即为空间力偶系的平衡方程空间力偶系的平衡方程。5.4 空间力系向一点的简化、主矢与主矩空间力系向一点的简化、主矢与主矩 xyzO1F2FnFxyzO1F2FnF1m2mnmxyzOROM 空间力系向点空间力系向点 O简化得到一空间汇交力系和一简化得到一空间汇交力系和一空间力偶系，如图。其中：空间力偶系，如图。其中： iiFF)(FmmOi), 3 , 2 , 1(ni 空间汇交力系可合成一合力空间汇交力系可合成一合力 ：RFFR力系中各力的矢量和称为空间力系的力系中各力的矢量和称为空间力系的主矢主矢。主矢。主矢与简化中心的位置无关。与简化中心的位
17、置无关。一、空间力系向一点的简化、主矢与主矩一、空间力系向一点的简化、主矢与主矩 空间力偶系可合成为一合力偶，其矩矢空间力偶系可合成为一合力偶，其矩矢 ：OM)(FmMOO力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和称为力系力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和称为力系对简化中心的对简化中心的主矩主矩。主矩与简化中心的位置有关。主矩与简化中心的位置有关。 结论：结论：空间力系向任一点空间力系向任一点O简化，可得一力简化，可得一力和一力偶，此力作用于简化中心上，其大小和方和一力偶，此力作用于简化中心上，其大小和方向等于该力系的主矢；此力偶矩矢的大小和方向向等于该力系的主矢；此力偶矩矢的大小和方向等于该力系对简
18、化中心的主矩。等于该力系对简化中心的主矩。主矢的大小和方向余弦：主矢的大小和方向余弦： 222)()()(ZYXRRZkRRYjRRXiR),cos(,),cos(,),cos(一、空间力系向一点的简化、主矢与主矩一、空间力系向一点的简化、主矢与主矩 主矩的大小和方向余弦：主矩的大小和方向余弦：由于：由于：)()()()()()(FmFmMFmFmMFmFmMzzOOzyyOOyxxOOx 所以：所以：222)()()(FmFmFmMzyxOOzOOyOOxOMFmkMMFmjMMFmiM)(),cos()(),cos()(),cos(二、简化结果的分析二、简化结果的分析 1、主矢等于零，主矩
19、不等于零。、主矢等于零，主矩不等于零。)0, 0(OMR 简化结果为力偶。此时力偶矩矢与简化中心位简化结果为力偶。此时力偶矩矢与简化中心位置无关。置无关。2、主矢不等于零，主矩等于零。、主矢不等于零，主矩等于零。)0, 0(OMR 简化结果为一力。力的作用线过简化中心简化结果为一力。力的作用线过简化中心O。3、主矢、主矩均不等于零。、主矢、主矩均不等于零。)0, 0(OMR （1） OMROROMROR RdOR 简化结果为一合力。简化结果为一合力。RMRMdOO同时可得空间合力矩定理：同时可得空间合力矩定理：)()(FmFmOO二、简化结果的分析二、简化结果的分析ROM （2）OMR/此时无
20、法进一步合成，这就是简化的此时无法进一步合成，这就是简化的最后结果。这种力与力偶作用面垂直最后结果。这种力与力偶作用面垂直的情形称为的情形称为力螺旋力螺旋。 与与 同方向同方向时，称为时，称为右手螺旋右手螺旋； 与与 反向时，反向时，称为称为左手螺旋左手螺旋。图示为一右手螺旋。图示为一右手螺旋。OMOMRROR1OMdOMRO2OMO1OMR（3） 与与 为任一夹角为任一夹角 。此时简化的结果亦为力螺旋。如图。此时简化的结果亦为力螺旋。如图。其中：其中：ROMRMRMdOOsin24、主矢、主矩均等于零。、主矢、主矩均等于零。)0, 0(OMR此时空间力系平衡。此时空间力系平衡。力螺旋的工程事
21、例例5 PPPxxyyzzO 三个大小相等的力 分别与三坐标轴平行，且分别作用在三个坐标平面内，如图，欲使该力系合成为一个合力，则x、y、z应满足什么关系。P解：欲使该力系合成为一个合力，则0OMR其中：kPjPiPRkPyjPxiPzMO故0)(2zyxPMRO于是力系合成为一合力的条件为：0zyx5.4 空空 间间 力力 系系 的的 平平 衡衡 空间力系平衡的必要与充分条件为：力系的主空间力系平衡的必要与充分条件为：力系的主矢和对简化中心的主矩同时为零。即：矢和对简化中心的主矩同时为零。即：0R0OM所以：所以：0)(0)(0)(000FmFmFmZYXzyx空间力系平衡的必要与充分条件为
22、：空间力系平衡的必要与充分条件为：力系中各力力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和均为零，且各力对在三个坐标轴上投影的代数和均为零，且各力对三轴的矩的代数和均为零。三轴的矩的代数和均为零。上式即为上式即为空间力系的空间力系的平衡方程平衡方程。例6 xm3m2m3m2ABCD60604545GHyzP 扒杆如图所示，立柱AB用BG和BH两根缆风绳拉住，并在A点用球铰约束，臂杆的D端吊悬的重物重P=20kN；求两绳的拉力和支座A的约束反力。 解：以立柱和臂杆组成的系统为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标。 列平衡方程：ABC60604545GHyzAXAYAZGTHT例6 DPABC606045
23、45GHyzAXAYAZGTHT045sin60cos45sin60cos:0GHATTXX045cos60cos45cos60cos:0GHATTYY060sin60sin:0PTTZZGHA05545cos60cos545cos60cos:0)(PTTFmGHx0545sin60cos545sin60cos:0)(GHyTTFm联立求解得：kNTTHG3 .280AXkNYA20kNZA69例7 xyzABCDE3030G 均质长方形板ABCD重G=200N，用球形铰链A和碟形铰链B固定在墙上，并用绳EC维持在水平位置，求绳的拉力和支座的反力。xyzABCDE3030GAXAYAZTBXB
24、Z030sin30cos:0TXXFBAx030cos:02TYFAy030sin:0GTZZFBAz030sin:0)(21ABGABZABTFmBx030sin:0)(21ADTADGFmy0:0)(ABXFmBz 解：以板为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标。解之得：0BBZXNT200NXA6 .86NYA150NZA100例8 用六根杆支撑正方形板ABCD如图所示，水平力 沿水平方向作用在A点，不计板的自重，求各杆的内力。PaPABCD1A1B1C1D123456aa1S2S3S4S5S6Sxyz 解：以板为研究对象，受力如图，建立如图坐标。PSSPY2045cos:044PSS
25、aSaSFmAA2045cos45cos:0)(42241PSSaSaSFmDD2045cos45cos:0)(45541PSSaSaSFmAD434322045cos:0)(PSaSaSFmDC656045cos:0)(PPPPPPSSSSSSSZ1245361045cos45cos45cos:05.5 重心的概念及其坐标公式重心的概念及其坐标公式 重力是地球对物体的吸引力，如果将物体由无重力是地球对物体的吸引力，如果将物体由无数的质点组成，则重力便构成空间汇交力系。由数的质点组成，则重力便构成空间汇交力系。由于物体的尺寸比地球小得多，因此可近似地认为于物体的尺寸比地球小得多，因此可近似地认
26、为重力是个平行力系，这力系的合力就是物体的重重力是个平行力系，这力系的合力就是物体的重量。不论物体如何放置，其重力的合力的作用线量。不论物体如何放置，其重力的合力的作用线相对于物体总是通过一个确定的点，这个点称为相对于物体总是通过一个确定的点，这个点称为物体的重心物体的重心。CPxyzCxCyCziP),(iiiizyxMixiyizO 现在导出确定重心位置的一现在导出确定重心位置的一般公式。如图，由合力矩定理：般公式。如图，由合力矩定理：PxPxCPyPyC 将坐标绕将坐标绕y轴转过轴转过 ，由，由合力矩定理：合力矩定理：90PzPzC重心的概念及其坐标公式重心的概念及其坐标公式 由以上三式
27、可得物体由以上三式可得物体重心坐标公式重心坐标公式为：为：PPzzPPyyPPxxCCC, 对于均质物体对于均质物体P=V、 P=V、均质板、均质板P= S h、 P=Sh、均质杆、均质杆P= l s、 P=ls ，其重心坐标分别为：，其重心坐标分别为： VVzzVVyyVVxxCCC,SSzzSSyySSxxCCC,llzzllyyllxxCCC,例9 求图示均质板重心的位置。 解一：（组合法）建立如图坐标：aaxyaaO1C2CaaaaaaAAxAxAxC652212221221132aaaaaaAAyAyAyC65223221221221132aaxyaaO1C2C解二：（负面积法）aaaaaaaAAxAxAxC65222322212211)(4)(4aaaaaaaAAyAyAyC65222322212211)(4)(4
