1、第十一章第十一章 弯曲应力弯曲应力11-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力11-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力11-4 弯曲切应力弯曲切应力11-5 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施11-1 纯弯曲纯弯曲回顾与比较回顾与比较内力内力NFA应力应力PITFSM?. .纯弯曲纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无剪应力的弯曲）。剪力剪力“Fs”切应力切应力“”；弯矩弯矩“M”正应力正应力“”2.2.横力弯曲（剪切弯曲）横力弯曲（剪切弯曲）aaFBAFMxFsxFaFF 梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（横截面上既有正应力又有剪应力的弯曲）。一、一、 纯
2、弯曲和横力弯曲的概念纯弯曲和横力弯曲的概念11-1 纯弯曲纯弯曲11-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力（一）变形几何关系：（一）变形几何关系：由纯弯曲的变形规律纵向线应变的变化规律。1 1、观察实验：、观察实验：abcdabcdMM2 2、变形规律：、变形规律：、横向线、横向线：仍为直线，：仍为直线，只是相对转动了一个角度只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。且仍与纵向线正交。、纵向线、纵向线：由直线变为：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸缩短，靠近下部的纤维伸长。长。3 3、假设：、假设：（1 1）弯曲平面假设：）弯曲平面假设：梁变形前原为平面
3、的横截面变形后仍为平梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。动了一个角度。凹入凹入一侧纤维一侧纤维缩短缩短突出突出一侧纤维一侧纤维伸长伸长 根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层-称为中中性层性层 。中间层与横截面中间层与横截面的交线的交线中性轴中性轴（2 2）纵向纤维假设：）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。之间无挤压。 梁的弯
4、曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。Aabcdyxd A4 4、线应变的变化规律：、线应变的变化规律：(1) . ydxyoo1在弹性范围内，ABABBA111111OOOOBAdddy)(yE（二）物理关系：（二）物理关系：由纵向线应变的变化由纵向线应变的变化规律规律正应力的分布规律。正应力的分布规律。(2) . EyEabcd EyE应力的分布图：应力的分布图：MZymaxmax中性轴的位置？中性轴的位置？中中性性层层的的曲曲率率 1为梁弯曲变形后的曲率1y
5、xMZANdAF) 1 (00zzAASSEydAEdAyE（中性轴（中性轴Z轴为形心轴）轴为形心轴）AydAzM) 2(00yzyzAAIIEyzdAEzdAyE（y轴为对称轴，自然满足轴为对称轴，自然满足）yzAAzdAyM) 3(MIEdAyEydAyEzAA2弯曲变形计算的基本公式弯曲变形计算的基本公式Z1EIM（三）、静力方面：（三）、静力方面： 由横截面上的弯矩和正应由横截面上的弯矩和正应力的关系力的关系正应力的计算公正应力的计算公式。式。zIMy弯曲正应力计算公式。弯曲正应力计算公式。 弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。 当当M
6、0时，下拉上压；时，下拉上压； 当当M 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲正应力公式弯曲正应力公式Z)(IyxM可推广应用于横力弯曲和小曲率梁1m2mBA截面关于中性轴对称zctWMmaxmaxmax截面关于中性轴不对称(最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内)ZmaxmaxmaxIyM横力弯曲梁上的最大正应力横力弯曲梁上的最大正应力横力弯曲正应力公式横力弯曲正应力公式Z)(IyxMmaxmaxmaxmaxZZMyMIW横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力细长梁的细长梁的纯弯曲纯弯曲或或横力弯曲横力弯曲横截面惯性积横截面惯性积 I IYZ YZ =0=0弹性变形
7、阶段弹性变形阶段公式适用范围公式适用范围弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件 ZWmaxmaxmaxmaxzMyMI1.1.等截面梁弯矩最大的截面上等截面梁弯矩最大的截面上2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处4.4.脆性材料脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑ttmax,ccmax,3.3.变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与MzIBAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力2.2.C 截面上截面上最大最大正应力正应力3.3.全梁全梁上上最大最大正应力正应力4
8、.4.已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径 FSx90kN90kNmkN605 . 0160190CM1. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832. 51218. 012. 012bhIMPa7 .61Pa107 .6110832. 510)302180(10606533ZKCKIyM（压应力）（压应力）解：解：例题BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN2.2.C C 截面最大正应力截面最大正应力C C 截面弯矩截面弯矩mkN60CMC C 截面惯性矩截面惯性矩45Z
9、m10832. 5IMPa55.92Pa1055.9210832. 510218010606533ZmaxmaxIyMCCBAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN3. 全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩mkN5 .67maxM截面惯性矩截面惯性矩45m10832. 5zIMPa17.104Pa1017.10410832. 5102180105 .676533ZmaxmaxmaxIyMBAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN4. C 截
10、面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩mkN60CMC 截面惯性矩截面惯性矩45Zm10832. 5Im4 .194106010832. 510200359CZCMEIEIM1 zIyMmaxmaxmax分析（分析（1 1）（2 2）弯矩）弯矩 最大的截面最大的截面M（3 3）抗弯截面系数）抗弯截面系数 最最 小的截面小的截面zW 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知,kN5 .62,m16. 0,m267. 0,1302Fbammd材料的许用应力材料的许用应力.MPa60mm1601d zWMmaxmax例题（3 3）B B截面，截面，
11、C C截面需校核截面需校核（4 4）强度校核）强度校核B B截面：截面：MPa5 .41Pa105 .4116. 0322675 .62326331maxdFaWMzBBMPa4 .46Pa104 .4613. 0321605 .62326332maxdFbWMzCCC C截面：截面：（5 5）结论）结论 轴满足强度要求轴满足强度要求（1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图F Fa aF Fb b解：解：分析分析（1 1）确定危险截面）确定危险截面（3 3）计算）计算maxM（4 4）计算）计算 ，选择工，选择工 字钢型号字钢型号zW 某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知
12、电葫芦某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重自重材料的许用应力材料的许用应力MPa,140kN,7 . 61F,kN502F起重量起重量跨度跨度m,5 . 9l试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。 zWMmaxmax（2 2）例题（4 4）选择工字钢型号）选择工字钢型号（5 5）讨论）讨论（3 3）根据）根据 zWMmaxmax计算计算 33663maxcm962m109621014045 . 910)507 . 6(MWz （1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图解：解：36c36c工字钢工字钢3cm962zWkg/m6 .67q作弯矩图，寻找需要校核的截面
13、作弯矩图，寻找需要校核的截面 ccttmax,max,要同时满足要同时满足分析：分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置 T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。试校核梁的强度。 MPa,60,MPa30ct例题mm522012020808020120102080cy（2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩462323m1064. 728120201212020422080122080zI （1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：（4 4）B B截面校核截面校核 ttMPa2 .27Pa102
14、.271064. 710521046633max, ccMPa1 .46Pa101 .461064. 710881046633max,（3 3）作弯矩图）作弯矩图kN.m5 .2kN.m4（5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？ ttMPa8 .28Pa108 .281064. 71088105 . 26633max,（4 4）B B截面校核截面校核（3 3）作弯矩图）作弯矩图 ttMPa2 .27max, ccMPa1 .46max,kN.m5 .2kN.m4梁满足强度要求梁满足强度要求例：例：求图示悬臂梁的最大、压应力。已知：,/6,1mkNqml10槽钢槽钢q解：解：1）画弯矩图
15、）画弯矩图kNmqlM35 . 0|2max2）查型钢表：）查型钢表：cmycmIcmbz52. 1,6 .25,8 . 414cmy28. 352. 18 . 423）求应力）求应力：1maxyIMzt6106 .2552. 13000MPa1782maxyIMzc6106 .2528. 33000MPa384MPaMPact384,178maxmaxbz1yy2ycmaxtmaxbz1yy2yM11-4 弯曲切应力弯曲切应力一、 矩形截面梁横截面上的切应力1、两点假设： 切应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，切应力 相等。2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图b；0)(112dxbFF
16、FNNxdxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dx图a图bz1xy21b图c在微段上取一块如图c，平衡dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dx图a图bzzAzANIMSAyIMAFdd11zzNISMMF)d(:2同理zzSzzNNbISFbISxMdxbFFdd)(121由切应力互等zzSbISFy1)(z1xy21b图c横力弯曲时,横截面上切应力的计算公式.)4(2)2(22d22yhbyhbyhAyAyScAzzySz*为面积A*对横截面中性轴的静矩.式中: FS-所求切应力面上的剪力.IZ-整个截面对中性轴的惯性矩.Sz*-
17、过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的静矩.b-所求应力点处截面宽度.,:即随高度变化变化只随则一般也不变定，、则如截面确定公式中注意zSzzSSbIzFbISFyA*yc*325 . 123maxAFS)()4(222为二次抛物线矩yhIFzSQ方向：与横截面上剪力方向相同 (不考虑正负号)；大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。中性轴上有最大切应力. 为平均切应力的1.5倍。二、其它截面梁横截面上的切应力1、研究方法与矩形截面同;切应力的计算公式亦为：其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下部分面积对中性轴之静矩；zzSbISF12、几种常见截面的最大弯曲切应力 Iz为整个截面对z轴之
18、惯性矩；b 为y点处截面宽度。(1)工字钢截面：maxmin结论： 翼缘部分max腹板上的max，只计算腹板上的max。Af 腹板的面积。;maxA FSf腹板最大弯曲切应力:)/(maxmaxzzSSIdFd;maxA Qf 铅垂切应力主要腹板承受（9597%），且max min 故工字钢最大切应力00sFb h(2) 、圆形截面梁Fsmax243sFR(3)薄壁圆环：22maxAFS(4)槽钢：exyzPFsRRzzSbISF，合力为腹板上; 。合力为翼缘上HzSIAF; 210 xMRHhe QeQ ehHR实心截面梁正应力与切应力比较实心截面梁正应力与切应力比较对于直径为对于直径为 d
19、 d 的圆截面的圆截面maxmax = 6 ( l / d )（l 为梁的跨度）为梁的跨度）实心截面梁正应力与切应力比较实心截面梁正应力与切应力比较对于宽为对于宽为b、高为高为h的矩形截面的矩形截面maxmax = 4 ( l / h )（l 为梁的跨度）为梁的跨度）梁的正应力和切应力强度条件梁的正应力和切应力强度条件 1、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。QM2、正应力和切应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大切应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在FS和M均很大的截面的腹、翼相交
20、处。（以后讲） zzSIbSFmaxmaxmax zWMmaxmaxQM、校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计载荷： ;maxmaxmaxMWz)( ;maxmaxMfPWMz3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：(1) 梁的跨度较短梁的跨度较短（l / h 5）；梁的跨度较短，梁的跨度较短，M M 较小，较小，而而FSFS较大时，要校核切应力较大时，要校核切应力; ;(2)(2) 在支座附近作用较大载荷（载荷靠近支座）；在支座附近作用较大载荷（载荷靠近支座）；(3)(3) 铆接或焊接的工字形或箱形等截面梁（腹板、焊缝、铆接或焊接的工字形或箱形等截面梁（腹板、焊缝、 胶合面或铆钉
21、等）胶合面或铆钉等）(4) (4) 各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核要校核切应力。切应力。qBACDElPPa4、需要校核切应力的几种特殊情况： 悬臂梁由三块木板粘接悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为而成。跨度为1 1m m。胶合面胶合面的许可切应力为的许可切应力为0.340.34MPaMPa，木材的木材的= 10 MPa= 10 MPa， =1MPa=1MPa，求许可载荷。求许可载荷。 21maxmax6bhlFWMz1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图2.2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷 SF FM F
22、l 3.75kNN375061015010010692721 lbhF bhFAFS2/32/32max3.3.按切应力强度条件计算许可载荷按切应力强度条件计算许可载荷 kN01N100003/101501001023/2662 bhF Fl100505050z解：解：例题 gZZSbhFbbhhbFbISF 341233323*g4.4.按胶合面强度条件按胶合面强度条件计算许可载荷计算许可载荷 3.825kNN382541034. 010150100343663 gbhF 5.5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 3.75kNkN825. 3kN10kN75. 3minmin iFFFl100505050M FlzSF F11-6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施ZmaxmaxWM1. 1. 降低降低 M Mmaxmax 合理安排支座合理安排支座合理布置载荷合理布置载荷合理布置支座合理布置支座FFF合理布置支座合理布置支座ZmaxmaxWM2. 2. 增大增大 W WZ Z 合理设计截面合理设计截面合理放置截面合理放置截面合理设计截面合理设计截面合理设计截面合理设计截面222()66Zbhb dbW222()bhd2hb221(3)06ZdWdbdb令令22222,33ddbh62bhWZ左62hbWZ右合理放置截面合理放置截面3、等强度梁、等强度梁
