1、高一数学参考答案（第1页 共6页） 福州市福州市 20212022 年第年第一一学期质量检查学期质量检查 数学参考答案及评分细则 评分说明： 1 本解答给出了一种或几种解法供参考， 如果考生的解法与本解答不同， 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2 对计算题， 当考生的解答在某一步出现错误时， 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：
2、本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 1D 2D 3C 4A 5B 6B 7A 8D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 9AB 10BD 11ABD 12BCD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共，共 20 分分 132 1456 152，3 16( )3 2xf x = （答案不唯一，形如( )xf xm a=（1,1ma）均可） 8. 【 解 答 】 由 于( 3)(3e)(3)0f =+，(0)3e(3e)0f= ，(e)(e)(e3)0
3、f=+，()(3)(e)0f=+， 由零点存在定理得( )f x在区间( 3,0)，(e,)内存在零点，结合条件可得1( 3,0)x ，2(e,)x . 由1( 3,0)x ，2(e,)x ，显然120 x x ，A 选项错误；1(0,3)x，211 1( , ) ex，则123(0, )exx，123(,0)exx ， B 选项错误；1(0,3)x，2(e,)x ， 则21(e,3)xx+，C 选项错误；12(e3,)xx+，故 D 选项正确.选择 D. 高一数学参考答案（第2页 共6页） 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分 17. 【命题意图】本小题
4、考查三角函数定义、诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式等基础知识； 考查抽象概括能力、 运算求解能力； 考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查数学抽象、数学运算等核心素养；体现基础性. 【解析】 （1）由于角的终边过点3 4( ,)5 5P，由三角函数的定义可得3cos5=， 3 分 则3cos()cos5+= = . 5 分 （2）由条件得4tan3=， 7 分 则4( 2)tantan3tan()=281tantan13 = +. 10 分 18. 【命题意图】本小题主要考查函数的概念、函数的单调性等基础知识；考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力、推理论证能力；考查
5、化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想；考查数学运算、逻辑推理等核心素养；体现基础性和综合性. 【解析】 （1）由(1)5f=得15a+=，解得4a =. 3 分 （2）( )f x在区间(0,2)内单调递减. 4 分 证明：由（1）得244( )xf xxxx+=+. 对任意12,(0,2)x x ，且12xx，有 21121 2121212121 21 24()()(4)44()()()xxxxx xf xf xxxxxxxx xx x=+=+=， 9 分 由12,(0,2)x x ，得1204x x，1240 x x .又由12xx，得120 xx， 于是121212()(4)0
6、xxx xx x，即12()()f xf x， 11 分 所以4( )f xxx=+在区间(0,2)上单调递减. 12 分 19. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质等基础知识；考查数据处理能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查直观想象、数学运算等核心素养；体现基础性和综合性. 高一数学参考答案（第3页 共6页） 【解析】 （1）因为 2( )3sin22cos23sin2cos23f xxxxx=+=+2sin(2)36x=+， 4 分 所以函数( )f x的最小正周期22T =. 5 分 （2）若选择， 由（1）知( )2si
7、n(2)36f xx=+，那么将( )f x图象上各点向左平移6个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到( )2cos43g xx=+. 9 分 当,6 4x 时，可得4,3x ，cos4 1,1x ，( )1,5g x ， 11 分 由方程( )g xm=有解，可得实数m的取值范围为1,5 12 分 若选择， 由（1）知( )2sin(2)36f xx=+，那么将( )f x图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6个单位得( )2sin3g xx=+. 9 分 当,6 4x 时，12sin,22x ，( )2,32g x +， 11 分 由方程( )g x
8、m=有解，可得实数m的取值范围为2,32+ 12 分 20. 【命题意图】本小题主要考查函数奇偶性、解一元二次不等式等基础知识；考查逻辑推理能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查数学抽象、数学运算等核心素养；体现基础性和综合性. 【解析】 （1）当0 x 时，0 x ， 1 分 因为函数( )f x是定义在R上的偶函数，则( )()23xf xfx=+. 4 分 所以|( )23xf x =+. 5 分 （2）由（1）得|( )23xf x =+，所以不等式 (2 )2 ( )fxf x |2 | |232(23)xx+，即|2 | |22230 xx， 7 分 高一数学参考答案（第4页
9、 共6页） 令2xt =，则1,+ )t，于是2230tt，解得3t，所以2log 3x， 9 分 得2log 3x或2log 3x， 11 分 从而不等式(2 )2 ( )fxf x的解集为22(, log 3log 3,) + 12 分 21. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变换、三角函数的应用；考查运算求解能力、逻辑推理能力；考查化归与转化思想、数形结合思想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数据分析等核心素养；体现基础性、综合性、创新性与应用性. 【解析】解法一： （1）由于筒车转一周需要120秒，所以P从出发到开始倒水入槽的40秒，线段OA按逆时针方向旋转了402212
10、03=， 1 分 因为A点坐标为(2, 2 3)，得222(2 3)4R =+=，以OA为终边的角为3， 2 分 所以P距离水面的高度24sin()2 34 36.9m33=+=. 4 分 （2）由于筒车转一周需要120秒，可知P转动的角速度为rad s60，又以OA为终边的角为3，则P开始转动t秒后距离水面的高度14sin()2 3603ht=+，0120t. 7 分 如图，P，Q两个盛水筒分别用点B，C表示，则22412BOC=，点C相对于点B始终落后rad12，此时Q距离水面的高度254sin()2 36012ht=+. 8 分 则P、Q距离水面的高度差1255| 4 sin()sin(
11、)4 sin()sin()60360126031260Hhhtttt=+，0120t. 10 分 利用sinsin2sincos22+=，可得38sincos()24608Ht=. 当30608t =或3608t =，即22.5t =或82.5t =时，H最大值为8sin1.024. 所以，筒车旋转一周的过程中，P与Q距离水面高度差的最大值约为1.0m. xBAOyC高一数学参考答案（第5页 共6页） 12 分 解法二： （1）当0t =时，P位于点(2, 2 3)A，以OA为终边的角为3；根据筒车转一周需要120秒，可知P转动的角速度为rad s60，依题意可得P开始转动t秒后距离水面的高度
12、4sin()2 3603ht=+，0120t. 3 分 当40t =，得4sin(40)2 34 36.9m603h =+=. 4 分 （2）由（1）知，P开始旋转t秒后距离水面的高度14sin()2 3603ht=+. 5 分 如图，P，Q两个盛水筒分别用点B，C表示，则22412BOC=，点C相对于点B始终落后rad12，此时Q距离水面的高度24sin()2 360312ht=+. 6 分 令603t=，则P、Q距离水面的高度差 12| 4 sinsin()12Hhh= 4 sinsincoscossin1212=+ 4 (1cos)sinsincos1212=+ 224 (1cos)si
13、nsin()1212=+（其中1124=） 9 分 当2+=或32+=时，24=或2524=时，即22.5t =或82.5t =时，H最大值为224 (1cos)sin1212+24 22cos4 4sin1224=8sin1.024=. 所以，筒车旋转一周的过程中，P与Q距离水面高度差的最大值约为1.0m. 12 分 22. 【命题意图】 本小题主要考查对数的运算、 函数最值问题的求解； 考查运算求解能力、逻辑推理能力；考查化归与转化思想、数形结合思想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养；体现基础性、综合性、应用性和创新性. 【解析】 xBAOyC高一数学参考答案（第6页 共6页）
14、（1）222(2)2(2)()loglog2xxg xgxxx+=+， 1 分 22(2)2log2xxxx= 2 分 2log 42= 3 分 （2）由（1）知，( )g x的图象关于点( 1,1)M 中心对称， 4 分 取函数( )g x图象上两点(2,0)C，( 4, 2)D ， 显然线段CD的中点恰为点M； 5 分 再取函数( )g x图象上两点2(,1)3E，8(,3)3F ， 显然线段EF的中点也恰为点M. 6 分 因此四边形CEDF的对角线互相平分，所以四边形CEDF为平行四边形， 7 分 所以函数( )g x具有性质P. 8 分 （注：若考生能构造出其他符合题意的平行四边形，同样给分.) （3）( )2( )22g xxh xx=+，设0002(,)2xB xx +（02x 或00 x ） ， 则2222222000000002244(4)()(4)(2)222xxABxxxxxx=+=+=+， 9 分 2002001616(2)4(2)44(2)2xxxx=+， 记02xt+=（0t 或2t ） ，则222216164448()4()16ABtttttttt=+=+， 10 分 记4tut=，则222416(2)12ABuuu=+=+， 所以，当2u = ，即035x = 时， 11 分 min2 3AB=. 12 分
