1、关注公众号品数学 ，每天都有干货！高中数学资料共享群 284110736，每天都有更新！重庆强基联合体高三（上）质量检测2020.12数数 学学 试试 题题考生注意：1、本试卷满分：150 分，考试时长：120 分钟，试卷页数：4 页。2、考生作答时，请将答案答在答题卡上。必须在题号所指示的答题区作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。一、单项选择题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合1|,13yRyBRxAx，则BA（）A.), 1(B.)0 , 1(C.RD.2. 若iiz2（其中i是虚
2、数单位） ，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 我国古代数学家著作九章算术有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤。问本持金几何。”，其意思是“今有人持金出五关，第一关收税金为持金的21， 第 2 关收税金为剩余的31， 第 3 关收税金为剩余税金的41， 第 4 关收税金为剩余税金的,51第 5 关收税金为剩余税金的61”5 关所税金之和，恰好重 1 斤。则在此问题中，第 3 关收税金为（）斤A.101B.103C.31D.1094已知抛物线
3、2:4C yx的焦点F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的交点，若4FPFQ则FQ （）A.4B.52C.32或52D.32关注公众号品数学 ，每天都有干货！高中数学资料共享群 284110736，每天都有更新！5. 设正实数, ,a b c分别满足ccbbaa2log,2log,2354,则, ,a b c的大小关系为（）A.acbB.cbaC.bacD.abc6. 在ABC中，内角CBA,所对的边分别为cba,，若BAabAbBaacoscos2sincos22222，则ABC的形状是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形7. 已知定义在R上的奇函数(
4、 )f x，且其图像是连续不断的，满足03)( xf，则不等式22ln3) 1(xxxf的解集为（）A.), 0(eB.),( eC.) 1 , 0(D.), 1 ( 8. 已知正方形ABCD的边长为 2，则正方形ABCD的内接正MNR（即RNM,三点落在正方形三条边上）的面积最大值为（）A.8 3 12B.3C.2 3D.12 3 8二、多项选择题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。9. 下列叙述正确的是（）A. “1a”是“1:10laxy 与2:30laxy垂直”的充
5、分不必要条件B. 函数)0(33)(xxxxf的最小值332C. 若命题1,:xeRxpx，则1,:000 xeRxpxD. 若四边形ABCD是平行四边形，则ABCD 10. 已知函数 sin0,0,2fxAxA的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间关注公众号品数学 ，每天都有干货！高中数学资料共享群 284110736，每天都有更新！的距离为4且 f x的图象关于点)0 ,12(对称，则下列判断错误的是（）A. 函数 f x的周期为2B. 要得到函数 f x的图象，只需将xy4cos3的图象向右平移6个单位C.)245,24(是)(xf的一个单调减区间D. f x在, 0上有且只有 3 个极
6、值点11设双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点为12,F F，直线l为C的一条斜率为正数的渐近线，O为坐标原点。 若在C的左支上存在点P， 使点P与点2F关于直线l对称， 则下列结论正确的是 （）A.12PFaB.2POF的面积为abC. 双曲线C的离心率为5D. 直线l的方程是30 xy12已知22( )( )ln , ( ),( )fxf xxx g xfxx是)(xf的导函数,则下列结论正确的是（）A.)(xf在12,e上单调递增.B.)(xg在), 0(上两个零点C. 当exx210时，)()()(212221xfxfxxm恒成立，则23mD. 若函数( )( )h x
7、f xax只有一个极值点，则实数0a 三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 已知函数31log (3),0( )3 ,0 xx xf xx,则)12(log)6(3ff=关注公众号品数学 ，每天都有干货！高中数学资料共享群 284110736，每天都有更新！14. 已知非零向量, a b 满足：(2 )(2 )abab且(3 )abb，则向量a与b的夹角为15. 已知数列na的通项公式*2,4sinNnnan，其前n项和为nS，则2020S16. 在平面直角坐标xoy中， 已知)22 , 0(Q，BA，是圆9) 1( :22yxC上的两个动点， 满足|QBQA
8、，则ABQ面积的最大值是四、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17.（本小题 10 分）已知直线1: 310lxy 的倾斜角为;)3, 1 (),sin,(cosnm且m与n共线，其中0;角的终边经过点2,2 3,其中0请你从这三个条件中任选一个给以下小题中的提供信息并加以解答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)求10sincos29cos3sin1818的值；(2)设( )sin 23cos 2,0,4f xxxx求( )f x的最大值.18.（本小题 12 分）已知数列 na满足：24nnSan，设4nnba，1nncb
9、。关注公众号品数学 ，每天都有干货！高中数学资料共享群 284110736，每天都有更新！(1)求数列 na的通项公式；(2)设数列 nc其前n项和为nT，如果nTm对任意的*nN恒成立，求实数m的取值范围。19.（本小题 12 分）不透明的纸箱里装有大小，材质一样的 7 个小球，其中有红色球 4 个，编号分别为 1，2，3，4；白色球 3 个，编号分别为 2，3，4.现从箱子中任摸取 4 个小球（假设取到任何一个球的可能性相同） （1）求取出的 4 个球中，含有编号为 3 的球的概率；（2）在取出的 4 球中，记红色球编号最大值为X，求随机变量X的分布列和数学期望20.（本小题 12 分）在
10、ABC中，角, ,A B C对应的三边分别为, ,a b c，(tan1)(tan1)2AB，2 2,2,caO为ABC的外心，连接,OA OB OC。（1）求OAB的面积；（2）过B作AC边的垂线交于D点，连接OD,试求cosOBD的值.21. （本小题 12 分） 已知点(0, 1)A,圆8) 1(:22 yxB，C为B上一动点， 连接,AC BC， 设E线段AC的中点，D为BC上一点，且满足0DE AC ，动点D形成曲线F。（1）求OD的取值范围；（2）直线DE与曲线F是否相切？请说明理由.关注公众号品数学 ，每天都有干货！高中数学资料共享群 284110736，每天都有更新！22.（本
11、小题 12 分）已知函数2( )12,xf xxeaxax ,xR aR，其中2.71828e （1）试讨论函数( )f x的单调性；（2）在12ae时，( )f x是否存在极值点？如果存在不妨设为12,x x且12xx试判断12( )()f xf x与1ee的大小并说明理由.关注公众号品数学 ，每天都有干货！高中数学资料共享群 284110736，每天都有更新！高三数学联考参考解答一、单项选择题题号12345678答案CDACBCCA8.设aNRMRMNAMRNMB,，则,32,cosaMB )32cos( aMA，)6sin(2)32cos(cos2, 2cos)32cos(aaaAB不妨
12、设,3,又)6(sin),6sin(2sin2aaaBN若)6(sinsin2623,2，），（上式不成立，故则125,652),6(),2, 0()6(故，1238)26(2242622127,26,125,3maxSaa二、多项选择题题号9101112答案ACBCDABCACD12.正确。故得令Aexxxxfxxxxf,21ln01ln20)()0)(1ln2()(21上为增函数上为减函数，在在故得令)(), 0()(,21ln0)(,ln21)(2121212eexgexxxgxxxg0)(g0)(,;)(,0 xxgxxgx且时当时当的大致图像为)(xgOxyRNMDCBA关注公众号品
13、数学 ，每天都有干货！高中数学资料共享群 284110736，每天都有更新！错只有一个零点，故Bxg)(恒成立对上为减函数，在则记), 0(02) 1ln2()(), 0()(,)()(2exmxxxxexmxxfx正确。故恒成立对Cmmexxm2332), 0(1ln223ln21) 1(ln2)(,) 1ln2()( xxxhaxxxh0)(,),(; 0)(,), 0(, 0)(), 0()(00230 xhxxxhxxexxhxh时当时当得上为增函数，令在 )(,0),(), 0()(00 xhxxxxh时上为增函数且当上为减函数，在在不含原点）：的大致图像如下()(xh正确故D三、填
14、空题15).13(14).65(15).1010(16).4327的垂直平分线上在ABQQBQA|.16 9ABQSAB过圆心，则若2930 ,dHBddABCAB的距离为到不过圆心，设圆心若Oxy关注公众号品数学 ，每天都有干货！高中数学资料共享群 284110736，每天都有更新！4327)3()(2,3()3, 0)(,21cos0)() 1cos2)(1(cos9) 1coscos29)(),20(cos1 (sin9)()cos1 (sin9)cos33(sin3),20(cos324327)23()(3 ,23()23, 0()(),23()3(2)()3)(3()(,)3)(3(
15、)3()9(13 , 0(),3(9|21max2maxmax233222ffffffSdSfdfdfdddfdddfddddSdddQHABSQABQABQABQAB）上为减函数上为增函数，在在故得令（则记则：令法上为减函数上为增函数，在在故则记：法四、解答题17解：若选，则23（1）101sincos2( sin) ( cos)sin19932974cos3sin2(coscossinsin)2cos181818318318 （2）22( )sin 23cos 22sin 2333f xxxx04x2336x1sin(2)sin362x( )f x的最大值为 2（若选条件或，答案一样）18
16、解： （1）当1n 时，1124Sa，14a当2n 时，24nnSan1124(1)nnSan由-得11224nnnnSSaa关注公众号品数学 ，每天都有干货！高中数学资料共享群 284110736，每天都有更新！124nnaa142(4)nnaa12nnbb11222nnnbb224nna（2）由（1）知21( )2nnc，111( )111821( )142412nnnT14m19解： （1）设含有编号为 3 的球的概率为1P，则45147617CPC 。（2）由已知X的所有可能值为 1,2,3,433471(1)35CP XC，34474(2)35CP XC，354710(3)35CP
17、XC，364720(4)35CP XC所以随机变量X的分布列为X1234P13543510352035故18308011917()35353535355E X 20.解： （1）(tan1)(tan1)2ABtantantantan1ABABtantantan()11tantanABABAB4AB34C关注公众号品数学 ，每天都有干货！高中数学资料共享群 284110736，每天都有更新！在ABC中，22 2423sinsin4OAA，则1sin2A ，,612AB11| |2 222 (|22OABSABOHOH是O到AB的距离）（2）2OAOBBC3OBC又4DBC34OBDOBCDBC
18、26coscos()344OBD21.解：(1)设( , )D x y由题意得0DE ACDEAC E线段AC的中点DEAC是线段的中垂线。DADC2 22 22BDDCBCBDADAB,22 2,22DA Bac点的轨迹是以为焦点，的椭圆2212yDx点的轨迹方程为222222(22)22-1101ODxyxxxxx =OD的取值范围是1, 2关注公众号品数学 ，每天都有干货！高中数学资料共享群 284110736，每天都有更新！（2）直线DE与曲线F相切。理由如下：设00(,)C xy当01y 时02x ，此时DE的方程为1x ，由（1）知曲线F的方程为2212yx，DE与曲线F相切成立。
19、当01y 时，(0, 1)A001,22xyE00 1DExky 00001()122xxyDEyxy 的方程为0000221()+1221,(1)2xxyyxyyx 由220022000(1)8+72yxxyy00000000162(),(2)122121xxyx xyyxyyy 将（2）式代入（1）式整理得22220000002123720 xyxxyxyy2220000200323030yxxyxxyxxDEF与曲线 有唯一交点关注公众号品数学 ，每天都有干货！高中数学资料共享群 284110736，每天都有更新！综上：直线DE与曲线F相切.22.解： （1）2( )12,( )1211
20、2xxxf xxeaxax aRfxxea xxea 当20a 时，20 xea所以,( ),( )x fxf x的变化如下表x, 1 11, ( )fx0( )f x极小值所以( )f x在, 1 单调减，在1, 单调增。 当12ae时，即ln 21a 所以,( ),( )x fxf x的变化如下表x, 1 11, ( )fx0( )f x所以( )f x在, 单调增。当ln(2 )1a 时，即102ae时。当ln(2 )20;10 xxaeax 时，ln(2 )210ln(2 )12101210 xxxxaeaxaxeaxxeax 时，当时,当时，所以( )f x在,ln2a单调增，ln2
21、 , 1a 单调减，1, 单调增。当ln(2 )1a 时，即12ae时。关注公众号品数学 ，每天都有干货！高中数学资料共享群 284110736，每天都有更新！1ln(2 )20;10210 xxxaeaxeax 当时，1210ln(2 )210 xxxeaxaxeax 当时，当时,所以( )f x在, 1 单调增，1,ln2a单调减，ln2 , a 单调增。综上：当20a 时( )f x在, 1 单调减，在1, 单调增当12ae时( )f x在, 单调增当102ae时( )f x在,ln2a单调增，ln2 , 1a 单调减，1, 单调增当12ae时( )f x在, 1 单调增，1,ln2a单
22、调减，ln2 , a 单调增。（2）解：12(1)effexx理由如下：由（1）知道12ae12( )1,ln2f xxxa 有两个极值点12()()( 1)(ln2 )f xf xffa2121()()( 1)(ln2 )2ln 2f xf xffaaaae 2211( )2ln 2 ,()21( )1 ln 22ln2 ,(2)h aaaa aeeh aaaae 令ln2 ,1tat 令则关注公众号品数学 ，每天都有干货！高中数学资料共享群 284110736，每天都有更新！200000000( )21,11(0)0, ( )02( )11( )=0ln2()=022( )01( )02( )0( )0g ttttggg ttg tah attg taah aettg taah a 令则且在(-1,+单调减。存在0使得，即存在0使得当-1，即时使得当，即时使得200000000111( )()2ln 222ln221ln222ah ah aaaaaaeeeaae 当时，01( )ln ,(1)( )1 ln01( )ln11( )2ln211( )1u xxxxeu xxxeu xxxeh aeeeeeh aee 设在成立在 ，单增
