1、二次函数二次函数 典型习题典型习题 1.抛物线 yx 22x2 的顶点坐标是 （ D ） A.（2，2） B.（1，2） C.（1，3） D.（1，3） 2.已知二次函数cbxaxy 2 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ） ab0，c0 ab0，c0 ab0，c0 ab0，c0 C A E F B D 第,题图 第 4 题图 3.二次函数cbxaxy 2 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0 4.如图，已知ABC中，BC=8，BC 上的高h 4，D 为 BC 上一点，EFBC/ /，交 AB 于点 E
2、，交 AC 于点 F（EF 不过 A、B） ，设 E 到 BC 的距离为x，则DEF的面积y关于x的函 数的图象大致为（ ） D O 4 24 O 4 24 O 4 24 O 4 24 A y x BC 2 4 82 ,4 84 EFx EFxyxx 5. 如图所示，已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象的顶点 P 的横坐标是 4，图象交 x 轴于点 A(m，0)和点 B，且 m4，那么 AB 的长是( C ) A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 6.抛物线32 2 xxy与 x 轴分别交于 A、B 两点，则 AB 的长为 4 7.已知二次函数11)(2k 2 x
3、kxy与 x 轴交点的横坐标为 1 x、 2 x（ 21 xx） ，则对于下 列结论：当 x2 时，y1；当 2 xx时，y0；方程011)(2 2 xkkx有 两个不相等的实数根 1 x、 2 x；1 1 x，1 2 x； 2 21 1 4k xx k ，其中所有正 确的结论是 （只需填写序号） 8.已知二次函数cbxaxy 2 中，cba= 2，则该函数必过 (1，2) 这个点 9.求二次函数54 2 xxy在-3X0 上的取值范围为 1，5) 注意区间的开闭 10.有一个运算装置，当输入值为 x 时，其输出值为y，且y是 x 的二次函数，已知输入值 为2,0,1时, 相应的输出值分别为
4、5,3,4 （1）求此二次函数的解析式； （2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时 输入值x的取值范围. 解： （1）设所求二次函数的解析式为cbxaxy 2 , 则 4 300 5)2()2( 2 2 cba cba cba ,即 1 42 3 ba ba c ,解得 3 2 1 c b a 故所求的解析式为:32 2 xxy. （2)函数图象如图所示. 由图象可得，当输出值y为正数时， 输入值x的取值范围是1x或3x 11.已知抛物线 yx2mxm2. （1）若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧，并且 AB5，试求 m 的值； （2）
5、设 C 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点 M、N，并且 MNC 的面积等于 27，试求 m 的值. 解: (1)（x1，0）,B(x2，0) . 则 x1 ，x2是方程 x2mxm20 的两根. x1 x2 m , x1 x2 =m2 0 即 m2 ; 又 ABx1 x2 121 2 45x xx x 2 （ + ） , m24m3=0 . 解得：m=1 或 m=3(舍去) , m 的值为 1 . （2）M(a，b)，则 N(a，b) . M、N 是抛物线上的两点, N M C x y O 2 2 2, 2. amamb amamb 得：2a22m40 . a2m2
6、. 当 m2 时，才存在满足条件中的两点 M、N. 2am . 这时 M、N 到 y 轴的距离均为2m, 又点 C 坐标为（0，2m）,而 SM N C = 27 , 2 1 2 （2m）2m=27 . 解得 m=7 . 12某商店销售一种商品，每件的进价为 2.50 元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如 下关系：在一段时间内，单价是 13.50 元时，销售量为 500 件，而单价每降低 1 元，就可以 多售出 200 件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大. 思路点拨：通过阅读，我们可以知道，商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间呈现如 下关系式： 总利润=单个商品的利润销售量.
7、这里我们不妨设每件商品降价 x 元，商品的售价就是(13.5-x)元了. 单个的商品的利润是(13.5-x-2.5) 这时商品的销售量是(500+200x) 总利润可设为 y 元. 利用上面的等量关式，可得到 y 与 x 的关系式了，若是二次函数，即可利用二次函数的 知识，找到最大利润. 解：设销售单价为降价 x 元. 顶点坐标为(4.25，9112.5). 即当每件商品降价 4.25 元，即售价为 13.5-4.25=9.25 时，可取得最大利润 9112.5 元 13.已知二次函数的图象如图所示 （1）求二次函数的解析式及抛物线顶点 M 的坐标 （2）若点 N 为线段 BM 上的一点，过点
8、 N 作 x 轴的垂线，垂足为点 Q当点 N 在线段 BM 上运动时（点 N 不与点 B，点 M 重合） ，设 NQ 的长为 l，四边形 NQAC 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使PAC 为直角三角形?若存在，求出所有 符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （4）将OAC 补成矩形，使OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶 点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶 点坐标（不需要计算过程） 解： （1）设抛物线的解析式)2)(1(xxay， )2(12a 1a 2 2 xx
9、y 其顶点 M 的坐标是 4 9 2 1， （2）设线段 BM 所在的直线的解析式为bkxy，点 N 的坐标为 N（t，h） ， . 2 1 4 9 20 bk bk， 解得 2 3 k，3b 线段 BM 所在的直线的解析式为3 2 3 xy 3 2 3 th，其中2 2 1 t tts)3 3 2 2( 2 1 21 2 1 1 2 1 4 3 2 tt s 与 t 间的函数关系式是1 2 1 4 3 2 ttS，自变量 t 的取值范围是2 2 1 t （3）存在符合条件的点 P，且坐标是 1 P 4 7 2 5， ， 4 5 2 3 2 ，P 设点 P 的坐标为 P)(nm，则2 2 mm
10、n 222 ) 1(nmPA，5)2( 2222 ACnmPC， 分以下几种情况讨论： i）若PAC90，则 222 ACPAPC . 5) 1()2( 2 2222 2 nmnm mmn， 解得： 2 5 1 m，1 2 m（舍去） 点 4 7 2 5 1 ，P ii）若PCA90，则 222 ACPCPA . 5)2() 1( 2 2222 2 nmnm mmn， 解得：0 2 3 43 mm，（舍去） 点 4 5 2 3 2 ，P iii）由图象观察得，当点 P 在对称轴右侧时，ACPA，所以边 AC 的对角APC 不 可能是直角 （4）以点 O，点 A（或点 O，点 C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边 OA（或 边 OC）的对边上，如图 a，此时未知顶点坐标是点 D（1，2） ， 以点 A，点 C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边 AC 的对边上，如图 b， 此时未知顶点坐标是 E 5 2 5 1， ，F 5 8 5 4， 图 a 图 b
