1、目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 二重积分的概念与性质 第十章 1目录 上页 下页 返回 结束 解法解法:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底：底：顶顶:侧面：侧面：求其体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” D),(yxfz xOy 面上的闭区域 D0),(yxfz连续曲面以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面类似定积分解决问题的思想:2目录 上页 下页 返回 结束 D),(yxfz
2、1)“大化小”n,21以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个k, ),(kk3)“近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk用 曲线网分D为 n 个区域任意3目录 上页 下页 返回 结束 4)“取极限”的直径为定义kkk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk则曲顶柱体的体积为：4目录 上页 下页 返回 结束 2. 平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D ,),(Cyx计算该薄片的质量
3、 M .度为),(),(常数若yx设D 的面积为 , 则M若),(yx非常数 , 仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求极限” 解决.1)“大化小”,21n相应把薄片也分为小块 .DyxO用 曲线网分D 为 n 个小区域任意5目录 上页 下页 返回 结束 yx2)“常代变”中任取一点k在每个),(kk3)“近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk则第 k 小块的质量O6目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“大化小,
4、常代变, 近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 7目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义 ),(yxf设将区域 D 任意分成 n 个小区域),2,1(nkk任取一点,),(kkk若存在一个常数 I , 使nkkkkfI10),(lim可积可积 , ),(yxf则称Dyxfd),(称为积分变量yx,积分和Dyxfd),(积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , ),(yxfI为称在D上的二重积分二重积分.8目录 上页 下页 返回 结束 Dyxf
5、Vd),(引例1中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,),(yxf元素d也常记作,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 这时分区域 D , 因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(yxO9目录 上页 下页 返回 结束 二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数),(yxf),(yxf定理2 ),(yxf上可在则Dyxf),(证明略)定理1 在D上可积可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D上连续, 则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如, yxyxyxf22),(在 D :
6、10 x10 y上二重积分存在 ;yxyxf1),(但在D 上 二重积分不存在 . y1x1DO10目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质三、二重积分的性质Dyxfkd),(. 1( k 为常数)Dyxgyxfd),(),(. 2Dyxfd),(. 3, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 为D 的面积, 则 ),(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(21d),(d),(DDyxfyxf11目录 上页 下页 返回 结束 特别, 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yx
7、f, ),(yxDyxfd),(6. 设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为 ,MyxfmDd),(则有12目录 上页 下页 返回 结束 7.(二重积分的中值定理),(yxf设函数,),(D),(),(fdyxfD证证),(maxd),(1),(minyxfyxfyxfDDD由连续函数介值定理, 至少有一点D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此由性质6 可知,13目录 上页 下页 返回 结束 例例1d)(,d)(32DDyxyx其中2) 1()2( :22yxD解解1 yx332)()(yxyx2
8、) 1()2(22yx它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线.1相切 yx, 1 yx从而d)(d)(32DDyxyx而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上1y2x1OD比较下列积分的大小:积分域 D 的边界为圆周14目录 上页 下页 返回 结束 例例2 估计下列积分之值10:coscos100dd22yxDyxyxID解解200)210(2由于yx22coscos1001积分性质5100200 I102200即: 1.96 I 210101010D10011021xyOD 的面积为15目录 上页 下页 返回 结束 例例3 判断积分yxyxyxdd1432222的正负号.解解,321DD
9、D则原式 =yxyxDdd11322yxyxDdd12322yxyxDdd133221ddDyxyxDdd1333)34(2323D32D11D0)21 (3猜想结果为负 但不好估计 .舍去此项yxO分积分域为16目录 上页 下页 返回 结束 xyO8. 设函数),(yxfD 位于 x 轴上方的部分为D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍1D在 D 上d),(21Dyxf在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有1:,221 yx
10、DD 为圆域例如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0D17目录 上页 下页 返回 结束 yyxfxxxbad),(d)()(21xbad 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱体的)(2xy)(1xy0 x),(yxfz zxyabDO记作记作 18目录 上页 下页 返回 结束 ydcd dycyxyyxD),()(),(21同样,
11、 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcydOydcx)(2yx)(1yxy记作记作 19目录 上页 下页 返回 结束 例例4解解,222Ryx利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxDxyzRRO求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.设两个直圆柱方程为20目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 二重积分的
12、定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法21目录 上页 下页 返回 结束 被积函数相同, 且非负, 思考与练习思考与练习yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解 321,III由它们的积分域范围可知312III11xyO1. 比较下列积分值的大小关系:22目录 上页 下页 返回 结束 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小顺序为 ( ).)(;)(;)(;)(21312331232
13、1IIIDIIICIIIBIIIA因 0 y 1, 故;212yyyD故在D上有, 03x又因323321xyxyxyyOx1D提示:23目录 上页 下页 返回 结束 3 计算.dd)(sin2200yxyxI解解 )cos(yx 0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyId)(sind22000224目录 上页 下页 返回 结束 4 证明:, 2d)cossin(122Dyx其中D 为.10, 10yx解解d)cossin(22Dyxd)cossin(d)cossin(222221DDxyyxd)cossin(d)cossin(222221DDyyxxd)cossin(
14、22Dxxd)sin(242Dx,1)sin(,1042212xx又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .yOx1D1利用题中 x , y 位置的对称性, 有25目录 上页 下页 返回 结束 5 . 04 . 0 I即补充题补充题1. 的值, 其中 D 为DxyyxI162d22. 20, 10yx解解 被积函数16)(1),(2yxyxf2D 的面积41)0 , 0( fM的最大值),(yxfD上在51431)2, 1 (22 fm),(yxf的最小值,4252 I故yOx2D1 估计26目录 上页 下页 返回 结束 220yx 0)ln(22 yx2. 判断的正负.) 10(dd)ln(122yxyxyx解解 当1yx时，故0)ln(22 yx又当时，1 yx于是2)(yx 10dd)ln(122yxyxyx1111xyOD27
