1、概率论基础 曹刚 2009-08 趣味题趣味题o 玛丽莲玛丽莲问题 有三扇门门可供选择，其中一扇门门后面是汽车，另两扇门门后面是山羊。你当然想选中汽车。主持人让你随便选。比如，你选中了一号门门。于是，主持人打开了后面是山羊的一扇门门，比如是三号门门。现在主持人问你：“为了以较大的概率概率选中汽车，你是坚持选一号门门，还是愿意换选二号门门？ o 一乘客问空姐，一个恐怖分子恐怖分子带炸弹上飞机飞机的概率概率是多少？空姐答：百万分之一。乘客又问，那正巧两个恐怖分子恐怖分子带炸弹上飞机飞机的概率概率是多少？空姐答：那可要千万分之一了。次日，这位乘客携炸弹上飞机飞机。被警察抓住，询问。乘客问答：为了减低
2、被炸死的概率概率。o 莫泽（1921-1970），加拿大数学家，他曾提出如下一道有趣的数学问题。o 一位数学家与他的妻子、儿子都喜欢下棋。一天，儿子为了周末与女朋友约会，向父亲要100元钱。父亲想了一会儿说：“今天是星期三，你在今天、明天和后天3天中，每天下一盘棋，要选择我与你妈妈轮流作你的对手。如果你能连胜2局(当然也包括连胜3局)，就可以得到钱。”显然，因为3天中要轮流与父母下，因此年轻人可选择的顺序只能是n父亲-母亲-父亲，或者n母亲-父亲-母亲。o 年轻人还知道，父亲的棋艺比母亲要高。问题是：这位年轻人应选择哪种顺序，才能使连胜2局的可能性更大？ o 常理推断：常理推断：要连赢两局，因
3、此必赢第2局，所以这一局要和棋力较弱的母亲下。而对棋力较高的父亲，有两次机会交手，只要赢1局就可达到目的。o 数学解决所需工具：关于可能性（概率）的数学解决所需工具：关于可能性（概率）的乘法规则（乘法规则（举例来说，每次掷硬币国徽朝上的概率是1/2，那么两次掷硬币国徽都朝上的概率就是（1/2）*（1/2）= 1/4，N次掷硬币国徽都朝上的概率就是N个1/2相乘，即（1/2）的N次方；可见当N越大时，国徽均朝上的可能性越来越小。） 莫则问题数学解答：莫则问题数学解答：不妨设儿子赢父亲的概率（通俗地说，就是可能性）是（1/2），赢母亲的概率是（2/3）；要连胜2局，因此其战绩应为：赢赢赢、赢赢输或
4、输赢赢。当采取策略A：父亲母亲父亲时，三种战绩的可能性赢赢赢： （1/2） * （2/3） * （1/2） = 1/6 赢赢输： （1/2） * （2/3） * 1 - (1/2) = 1/6 输赢赢：1 - (1/2) * （2/3） * （1/2） = 1/6 因此连胜两局的可能性就是1/6+1/6+1/6=1/2. 同理，如果采取策略B：母亲父亲母亲时，三种战绩的可能性为赢赢赢： (2/3） * (1/2) * (2/3) = 2/9赢赢输： (2/3) * (1/2) * 1 - (2/3) = 1/9输赢赢：1 - (2/3) * (1/2) * (2/3) = 1/9 因此连胜两局
5、的可能性就是2/9+1/9+1/9=4/9，它小于1/2，因此最佳策略是（A）。以上利用了特殊化的技巧，如果一般地假设儿子赢父亲的概率是p，赢母亲的概率是q，你可类似推得（A）和（B）策略对应的取胜可能性分别为pq(2-p)与pq(2-q)。因为pq,所以应选择策略（A）。第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 第二章第二章 随机变量随机变量 第三章第三章 随机向量随机向量 第四章第四章 数字特征数字特征 第五章第五章 极限定理极限定理 内容提要内容提要第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.1 随机变量的定义随机变量的定义 2.2 离散型随机变量离散型随机变量 2.3 连续
6、型随机变量及其分布函数连续型随机变量及其分布函数 2.4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 ,SPAESSH,TS 0 ,H( )1 ,TeX ee0,1 S 0X HT1X ,SPA,( )XX eS (,)x |( )XxeX exA( )XX e( )XX e( )yy x)var.(.iablerandomXvr简记为( )X eXxSxX xO1e2ex简称随机变量。为一维随机变量，则称是一随机事件，即；若对于任意一个实数一个取实值的单值函数是对于任意是一个概率空间设定义)(,)(:)(: ,)(,),(:2XAxXxXxXPA随机变量随着随机变量随着试验的结果试验的结果不同而取
7、不同的值不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因因此随机变量的取值也有一定的概率规律此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有但它与普通的函数有着本质的差别着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的普通函数是定义在实数轴上的,而而随机变量是定义在样本空间上的随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元样本空间的元素不一定是实数素不一定是实数).2.说明说明(1)随机变量与普通的函数不同随机变量与普通的函数不同实
8、例实例 掷一个硬币掷一个硬币, 观察出现的结果观察出现的结果 , 共有两种共有两种情况情况:),(1反面朝上反面朝上 e),(2正面朝上正面朝上 e若用若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有则有)(eX)(1反面朝上反面朝上 e)(2正面朝上正面朝上 e100)(1 eX1)(2 eX即即 X (e) 是一个随机变量是一个随机变量.).,(),(, ),(),(4321女女女女男男女女女女男男男男男男 eeee若用若用 X 表示该家女孩子的个数时表示该家女孩子的个数时 , 则则有有, 0)(1 eX, 1)(2 eX, 1)(3 eX, 2)(4 eX可得随
9、机变量可得随机变量 X(e), ., 2, 1, 0)(4321eeeeeeeeeX实例实例 在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中,考虑考虑其性别其性别 , 共有共有 4 个样本点个样本点:将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情况，则样本空间为况，则样本空间为 TTT,TTH,THT,HTT,THH,HTH,HHT,HHHS X 0,1,2,3XSS 0 TTTX 2 THH,HTH,HHTX 2 TTT,TTH,THT,HTT,THH,HTH,HHTX 33XXHHHS,XYYnNW, ,X Y Z W, , ,x y z wrandom var
10、iable ,r. v随机变量随机变量X的含义是的含义是把把样本点（具体的内容）样本点（具体的内容）映射到映射到实数轴实数轴上。上。随机变量所取的可能值是有限多个的或无限多个的随机变量所取的可能值是有限多个的或无限多个的(可列个的可列个的)或连续的或连续的, 它们对应实数轴上形成的离它们对应实数轴上形成的离散点散点.Xx 随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型(1)离散型离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或随机变量所取的可能值是有限多个或无限多个无限多个(可列个可列个), 叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量. 观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数.随机变量随机变量 X 的可
11、能值是的可能值是 :随机变量随机变量连续型连续型实例实例 1, 2, 3, 4, 5, 6.非离散型非离散型其它其它实例实例2 若随机变量若随机变量 X 记为记为 “连续射击连续射击, 直至命直至命中时的射击次数中时的射击次数”, 则则 X 的可能值是的可能值是: ., 3, 2, 1实例实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次,则随机变量则随机变量 X 记为记为“击中目标击中目标的次数的次数”, 则则 X 的所有可能取值为的所有可能取值为:.30, 3, 2, 1, 0X实例实例 随机变量随机变量 X 为为“测量某零件尺
12、寸时的测误测量某零件尺寸时的测误差差”.则则 X 的取值范围为的取值范围为 (a, b) 内的任一值内的任一值.实例实例 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.)., 0 (2)连续型连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间满某个区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.则则 X 的取值范围为的取值范围为 则则 X 的取值范围为的取值范围为 离散随机变量离散随机变量XX12,kxxx (1,2,)kkP Xxpk,kkpxX (1,2,)kkP Xxpkr.v XXX0P X X0,1,2,3X样本空间为样本空间为 TTT,TTH,TH
13、T,HTT,THH,HTH,HHT,HHHS 181 P X 382P X 383P X 180, 1,2,kpk11kkp11kkkkpP Xx1kkPXx( )1P Skp注：当注：当X取有限个可能值时，取有限个可能值时， 表示有限项和；表示有限项和；当当X取可列无穷多个可能值时，取可列无穷多个可能值时， 表示收敛级数的和表示收敛级数的和iikx (1,2,)kkP Xxpk1212 kkkXxxxpppp1212 kkxxxpppkxkpk0.5,pXXr.v X1,2,3,4p ,1,2,3,4kAkk11()P XP A(1)pp122()P XP A A211(|) ()P AA
14、P A1233()P XP A A A312211(|) (|) () P AA AP AA P A2(1)pp4P X 4123122113(|) (|) (|) ()P A A A AP A A AP A A P A12341234()()P A A A AP A A A A4123312211(|) (|) (|) ()P A A A AP A A AP A A P A34(1)(1)ppp0.5,p X12340.5 0.25 0.125 0.125kXp3(1)p例例 ：袋中有个白球和个黑球，每次从其中任取：袋中有个白球和个黑球，每次从其中任取个球直到取得白球为止，求取球次数的概率分
15、布个球直到取得白球为止，求取球次数的概率分布,假定：（）每次取出的黑球不再放回去；假定：（）每次取出的黑球不再放回去； （）每次取出的黑球仍放回去（）每次取出的黑球仍放回去解解：（）设随机变量：（）设随机变量X是取球次数，因每次取出的球是取球次数，因每次取出的球不放回去，所以不放回去，所以X的可能值是的可能值是1,2,3,4易知易知.1.022314253)4(,2.0324253)3(,3.04253)2(,4.052)1( XPXPXPXP（）设随机变量（）设随机变量Y是取球次数，因为每次取出的黑是取球次数，因为每次取出的黑球仍放回去，所以球仍放回去，所以Y的可能值是一切正整数易知的可能值
16、是一切正整数易知, 3 , 2 , 1,6 . 04 . 05253)(11 kkYPkk几何分布几何分布：一次试验中只考虑事件：一次试验中只考虑事件A出现或不出现出现或不出现)10( ,1)(,)( pqpAPpAP做独立重复试验直到事件做独立重复试验直到事件A出现为止，设试验次数为出现为止，设试验次数为X,则则X的可能取值为的可能取值为1,2,3,其概率分布为：其概率分布为：, 2 , 1,)(1kpqkXPk1P Xcr.v Xr.v Xc1,1P Xc.a ecX ( . )Xca e1P XY.a eYX ( . )XYa ea.e. 为almost everywhere, 几乎处处
17、含义下相 1 , 01P XpP Xp r.v Xr.v X01p(0 1)实例实例1 “抛硬币抛硬币”试验试验,观察正、反两面情观察正、反两面情况况. 随机变量随机变量 X 服从服从 (0-1) 分布分布., 1)(eXX , 0,正面正面当当 e.反面反面当当 eXkp012121其分布律为其分布律为则称则称 X 服从服从 (0-1) 分布分布或或两点分布两点分布.记为记为Xb(1,p)Xkp0p 11p 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种
18、籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点都属于两点分布分布.说明说明超几何分布超几何分布设设X的分布律为的分布律为),min,(nMmCCCmXPnNmnMNmM210 .,服从超几何分布服从超几何分布则称则称这里这里XNMMmNn 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用超几何分布在关于废品率的计件检验中常用 到到.说明说明),(NMnHX记为例例 ：设一批产品中有：设一批产品中有N件，其中件，其中M件次品，现从中任取件次品，现从中任取n件（件（nN),则此则此n件产品中的次品数件产品中的次品数X是一离散随机变是一离散随机变量量X的可能值是的可能值是0,1,2,.,min(n
19、,M),其概率分布为：其概率分布为：),min,(nMmCCCmXPnNmnMNmM210 ,A An , AAnn , AAnn( )P An人物介绍人物介绍伯努利伯努利( ) , ( )1P ApP Ap ( )P Ap ,1,2,iAini12 1kiiin 1212()() ()()kkiiiiiiP A AAP AP AP AXnAX : iAAAXX0,1,2,nXk1111kn kkiijjiinAA AA1111 kn kkiijjiinP XkPAA AA1111kn kkiijjiinP AA AA11(1)(1)kkn kiinpppp (1) (0,1,2, )kkn
20、knppCknAkAnknXnA1 nk (0,1,2, )kkn knp qP XkCkn1,qp X0 (0,1,2, )P Xkkn00nnkkn knkkp qP XkC()1npqr.v X (0,1,2, )kkn knp qP XkCkn X( ,)n p( ,)Xb n p(0-1)(0-1)1n , (1,)bp1 (0,1)kkp qP XkkXnA X二项分布的图形二项分布的图形例如例如 在相同条件下相互独立地进行在相同条件下相互独立地进行 5 次射击次射击,每每次射击时击中目标的概率为次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次则击中目标的次数数 X 服从服从 B
21、 (5,0.6) 的二项分布的二项分布.5) 4 . 0(44 . 06 . 015 324 . 06 . 025 234 . 06 . 035 4 . 06 . 0454 56 . 0Xkp012345 XX(20,0.9)b P20P X 202020 20200.90.1C200.90.1216?)20, 1 , 0(20.20, 2 . 0.1500,一级品的概率是多少一级品的概率是多少只只中恰有中恰有只元件只元件问问只只现在从中随机地抽查现在从中随机地抽查品率为品率为级级已知某一大批产品的一已知某一大批产品的一小时的为一级品小时的为一级品用寿命超过用寿命超过某种型号电子元件的使某种型
22、号电子元件的使按规定按规定 kk分析分析 这是不放回抽样这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很但由于这批元件的总数很大大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.2020,重重伯伯努努利利试试验验只只元元件件相相当当于于做做检检查查试试验验否否为为一一级级品品看看成成是是一一次次把把检检查查一一只只元元件件看看它它是是例例解解,20 只只元元件件中中一一级级品品的的只只数数记记以以 X),.,(2020BX则则因此所求概率为因此所求概率为.,).().(201080202020
23、 kkkXPkk012. 00 XP058. 01 XP137. 02 XP205. 03 XP218. 04 XP175. 05 XP109. 06 XP055. 07 XP022. 08 XP007. 09 XP002. 010 XP时时当当11,001. 0 kkXP图示概率分布图示概率分布 XX(10000,0.005)b(1) 40P X 40409960100000.0050.995C0.0214(2) 70P X 70100001000000.0050.995kkkkC0.997 iXi20(20,0.01) , 1,2,3,4iXbi 41( 2)iiPX12P X11101P
24、 XP X 00201110202010.010.990.010.99CC 0.0169X(80,0.01)Xb3041iP XP Xi 38080010.010.99iiiiC 0.0087.,400,02. 0,率率试试求求至至少少击击中中两两次次的的概概次次独独立立射射击击设设每每次次射射击击的的命命中中率率为为某某人人进进行行射射击击解解,X设击中的次数为设击中的次数为).,(020400BX则则的的分分布布律律为为X,)98. 0()02. 0(400400 kkkkXP .400, 1 , 0 k因此因此1012 XPXPXP399400)98. 0)(02. 0(400)98.
25、0(1 .9972. 0 例例knkknnNknMNkMNNqpCCCCpnBXNpqpNMNMnHX lim),(,1,lim),(1即即从从二二项项分分布布近近似似服服时时则则当当假假设设服服从从超超几几何何分分布布设设随随机机变变量量定定理理注：注：1、一批产品、一批产品N个，其中个，其中M个次品，即次品率个次品，即次品率p=M/N进行进行放回抽样，连续抽取放回抽样，连续抽取n次，则次品数服从二项分布次，则次品数服从二项分布B (n,p).2、如果不放回抽样，则连续抽取、如果不放回抽样，则连续抽取n次，次品数服从超几何分布次，次品数服从超几何分布3、当一批产品的总数、当一批产品的总数N很
26、大，而抽取样品的个数很大，而抽取样品的个数n远远小于远远小于N，则放回抽样与不放回抽样实际上没有多大的差别则放回抽样与不放回抽样实际上没有多大的差别r.v X0,1,2,0,1,2,!kP Xkekk0X( ) ( )XXP 0 , 0,1,2,P Xkk00!kkkP Xkek1ee(0, t,Xr.v XX泊松分布的图形泊松分布的图形泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时粒子个数的情况时, ,他们做了他们做了2608 2608 次观察次观察( (每次时
27、间为每次时间为7.5 7.5 秒秒) )发现发现放射性物质在规定的一段时间内放射性物质在规定的一段时间内, , 其放射的粒子其放射的粒子数数X X 服从泊松分布服从泊松分布. . Ot(0, tX(),0,1,2,!kttP Xkekk0,(),Xt 泊松定理泊松定理.!),(,)1(),(npekqpCPXnppCkXPpnBXkknkknknknkn 其其中中下下面面的的近近似似等等式式成成立立：即即近近似似服服从从泊泊松松分分布布时时则则当当设设二项二项分布分布 泊松分布泊松分布n很大很大, p 很小很小 设设1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X , 则则可利用泊
28、松定理计可利用泊松定理计算算, 1 . 00001. 01000 所求概率所求概率为为9991000999900001011000999901. .0047. 0! 11 . 0!011 . 01 . 0 ee解解2 XP1012 XPXPXP),.,(000101000BX例例 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设每辆汽车设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率在一天的某段时间内出事故的概率为为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?离散
29、型随机变量的分布离散型随机变量的分布 两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布1010.p,n 两点分布两点分布1 n小结小结超几何分布超几何分布退化分布退化分布).,(,)10(), 2 , 1(, 0, 1,)10(21pnXXXXniiiXpnni参参数数为为服服从从二二项项分分布布那那末末分分布布并并且且相相互互独独立立它它们们都都服服从从次次试试验验失失败败若若第第次次试试验验成成功功若若第第设设每每次次试试验验成成功功的的概概率率为为立立重重复复伯伯努努里里试试验验次次独独对对于于分分布布的的推推广广二二项项分分布布是是 .)
30、10(. 2泊泊松松分分布布之之间间的的关关系系分分布布二二项项分分布布与与、 )., 2 , 1 , 0(,!)()1(,)(,nkeknpppknkXPnnppnnpkknk 即即为参数的泊松分布为参数的泊松分布于以于以时趋时趋当当为参数的二项分布为参数的二项分布以以 例例1 1 从一批含有从一批含有10件正品及件正品及3件次品的产品中一件次品的产品中一件、一件地取产品件、一件地取产品.设每次抽取时设每次抽取时, 所面对的各件所面对的各件产品被抽到的可能性相等产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下在下列三种情形下, 分分别求出直到取得正品为止所需次数别求出直到取得正品为止所需次数 X 的
31、分布律的分布律.(1)每次取出的产品经检定后又放回每次取出的产品经检定后又放回这批产品中去在取下一件产品这批产品中去在取下一件产品;(2)每每次取出的产品都不放回这批产品中次取出的产品都不放回这批产品中;(3)每次取出一件产品后总以一件正每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中品放回这批产品中.附加题附加题,13101 XP,13101332 XP,131013332 XP13101331 k故故 X 的分布律为的分布律为Xpk32113101310133 13101332 解解,(1) X 所取的可能值是所取的可能值是, 1, 2, 3,13101331 kkXP., (2) 若每次取出
32、的产品都不放回这批产品中时若每次取出的产品都不放回这批产品中时,13101 XP,12101332 XP,11101221333 XP,10101111221334 XPXp故故 X 的分布律为的分布律为432113101210133 1110122133 111122133 X 所取的可能值是所取的可能值是, 1, 2, 3. 4 (3) 每次取出一件产品后总以一件正品放回这批每次取出一件产品后总以一件正品放回这批 产品中产品中.,13101 XP,12111332 XP,13121321333 XP,13131311321334 XP故故 X 的分布律为的分布律为Xp43211310131
33、1133 1312132133 131132133 X 所取的可能值是所取的可能值是, 1, 2, 3. 4例例2 2 为了保证设备正常工作为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修需配备适量的维修工人工人 (工人配备多了就浪费工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生配备少了又要影响生产产),现有同类型设备现有同类型设备300台台,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况我们也只考虑这种情况) ,问至少需配备多少工人问至少需配备多少工人 ,才
34、能保证设备发生故障才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于但不能及时维修的概率小于0.01?解解.人人设需配备设需配备 N设备设备记同一时刻发生故障的记同一时刻发生故障的,X台数为台数为).,(,010300BX那末那末所需解决的问题所需解决的问题,N是确定最小的是确定最小的使得使得合理配备维修工人问题合理配备维修工人问题由泊松定理由泊松定理得得,!303 NkkkeNXP故有故有,99. 0!303 Nkkke即即 Nkkke03!31 13!3Nkkke,01. 0 . 8是是小的小的查表可求得满足此式最查表可求得满足此式最N个工人个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的才能保证设
35、备发生故障但不能及时维修的概率小于概率小于0.01.故至少需配备故至少需配备8.99. 0 NXP例例3 (人寿保险问题人寿保险问题)在保险公司里在保险公司里 有有2500个同年个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险龄同社会阶层的人参加了人寿保险,在每一年里在每一年里每个人死亡的概率为每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在每个参加保险的人在1月月1日付日付12元保险费元保险费,而在死亡时而在死亡时,家属可在公司里家属可在公司里领取领取200元元.问问 (1)保险公司亏本的概率是多少保险公司亏本的概率是多少? (2) 保险公司获利不少于一万元的概率是多少保险公司获利不少于一万元的概率是多
36、少? 保险公司在保险公司在1月月1日的收入是日的收入是 2500 12=30000元元解解 设设X表示这一年内的死亡人数表示这一年内的死亡人数,则则)002. 0 ,2500( BX保险公司这一年里付出保险公司这一年里付出200X元元.假定假定 200X 30000,即即X 15人时公司亏本人时公司亏本.于是于是,P公司亏本公司亏本=P X 15=1-PXxxX 分布函数分布函数 问：问： 在上在上 式中，式中，X, x 皆为变量皆为变量. 二者有什二者有什么区别？么区别？ x 起什么作用？起什么作用？ F(x) 是不是概率？是不是概率？X是随机变量是随机变量, x是参变量是参变量.F(x)
37、是是r.v X取值不大于取值不大于 x 的概率的概率.xxXPxF),()( 由定义，对任意实数由定义，对任意实数 x1x2，随机点落随机点落在区间（在区间（ x1 , x2 的概率为：的概率为：P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机变量X的分布函的分布函数，数， 它的统计特性就可以得到全面的描述它的统计特性就可以得到全面的描述. xxXPxF),()(说明说明(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况的概率情况.(2) 分布函数是一个普通的函数，正是
38、通过它，我分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究们可以用数学分析的工具来研究 随机变量随机变量.Oxy1230.3 0.2 0.5kXpXr.v X 1,( )xF xP Xx()0P 12,( )xF xP Xx10.3P X 23,( )xF xP Xx12P XP X0.5 3,( )xF xP Xx( )1P S 0 , 1,0.3, 12, ( )0.5, 23, 1 , 3xxF xxx1230.30.51( )F x0( )1F x()lim( )0 xFF x , ()lim( )1xFF x ( )F x(0)lim( )( )txF xF tF
39、 x( ) , F xP Xxx r.v Xx Xxx XxSP XxP Xxxx12 xx12 XxXx11 ()F xP Xx22()P XxF x( )F x);,(, 1)(0)1( xxF);(),()()2(2121xxxFxF 证明证明21xx 由由,21xXPxXP 得得).()(21xFxF 故故1xX ,2xX ,)(11xXPxF 又又,)(22xXPxF 分布函数的性质分布函数的性质(单调不减性单调不减性), 0)(lim)()3( xFFx; 1)(lim)( xFFx,)(xXPxF 0lim)(lim xXPxFxxxoxo证明证明,越越来来越越小小时时当当 x,
40、的的值值也也越越来来越越小小xXP 有有时时因因而而当当, x.),(X,xx,(X,xXPx,内内必然落在必然落在时时当当而而的值也不会减小的值也不会减小增大时增大时当当同样同样 . 1lim)(lim xXPxFxx所以所以).(),()(lim)4(000 xxFxFxx即任一分布函数处处即任一分布函数处处右连续右连续. ., 1,0, 0, 0)(221211xxxxxpxxpxxFxo)(xF 1x 2x 1p 2p 1 反过来反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是如果一个函数具有上述性质，则一定是某个某个r.v X 的分布函数的分布函数. 也就是说，性质也就是说，性质(1)-(
41、4)是鉴是鉴别一个函数是否是某别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件的分布函数的充分必要条件. xxkkpxXPxF)(分布函数分布函数分布律分布律kkxXPp 注注（）（）离散型随机变量的分布函数是离散型随机变量的分布函数是阶梯函数阶梯函数离散型随机变量分布律与分布函数的关系离散型随机变量分布律与分布函数的关系. )()( xxxxkkkkxXPpxXPxF（）连续随机变量的分布函数是连续的 P aXbP XbP Xa ()P aXbab aXbXbXa( )( )F bF a0 limtP XcP ctXc 0, tXcctXc XaXb ( )P Xcc0lim ( )()tF
42、 cF ct ( )F x0 xx00P Xx( )(0)F cF c).(1) 2(aFaXP XmR 2 的分布函数的分布函数.XX0 x ,Xx( )0F xP Xx02,x20,PXxkxk2 0221PXk 1/ 4k ( )F xP Xx00P XPXx24x2,x XxS( )( )1F xP S2 0 , 0,( ),02,4/ 1 , 2xxF xxxX)(xFyO1231x0,2xx( )Fx,02,2( )0,ttf t ( )( )xF xf t dt( ) (0,2)F ttt00 02 , xP Xx( )F x00P Xx.,00, 00,)(,的值求常数为常数其
43、中函数为其分布在整个实轴上取值已知随机变量例BAxxBeAxFXx.,)(.)(11001 BABAFAF于于是是有有由由分分布布函函数数的的右右连连续续性性由由分分布布函函数数的的性性质质知知解解思考思考不同的随机变量不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相它们的分布函数一定也不相同吗同吗?答答 ., 1;, 1., 1;, 121出反面出反面出正面出正面出反面出反面出正面出正面XX不一定不一定.例如抛均匀硬币例如抛均匀硬币, 令令 . 1, 1; 11,21; 1, 0)(xxxxF函数函数但它们却有相同的分布但它们却有相同的分布同的随机变量同的随机变量是两个不是两个不则不同则不同在样本空间上的对应法在样本空间上的对应法与与,21XX小结小结2. 随机变量的分类随机变量的分类:离散型离散型,非离散型（以非离散型（以连续性为主）连续性为主）.1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的律性的, 因此为了方便有力地研究随机现象因此为了方便有力地研究随机现象, 就需就需将随机事件数量化将随机事件数量化,把一些非数量表示的随机事件把一些非数量表示的随机事件用数字表示时用数字表示时, 就建立起了随机变量的概念就建立起了随机变量的概念. 因此因此随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数.
