1、11.2 1.2 热传导方程与定解条件热传导方程与定解条件),(zyxt热传导现象热传导现象：一、下面先从物理一、下面先从物理G G内的热传导问题出发来导出内的热传导问题出发来导出热传导方程。热传导方程。为此，我们用函数为此，我们用函数如果空间某物体如果空间某物体G G内各处的温度内各处的温度不同，则热量就从温度较高的点处向温度较不同，则热量就从温度较高的点处向温度较低的点流动。低的点流动。表示物体表示物体G G在位置在位置),(tzyxu处及时刻处及时刻的温度。的温度。2热的传播按热的传播按傅里叶（傅里叶（FourierFourier）实验定律）实验定律进行：进行：物体在无穷小时段物体在无穷
2、小时段内流过一个无穷小面积内流过一个无穷小面积dtdSdQdSnu,),(dSdtnuzyxkdQ),(zyxk),(zyxkndS的热量的热量与物体温度沿曲面与物体温度沿曲面法线方向法线方向的方向导数的方向导数成正比，而热流方向与温度升高的成正比，而热流方向与温度升高的其中其中称为物体在点称为物体在点处的热传导处的热传导系数，为正值系数，为正值. . 当物体为均匀且各向同性时，当物体为均匀且各向同性时，为常数，为常数，为曲面为曲面沿热流方向的法线沿热流方向的法线. . 方向相反，即方向相反，即3u,2tnu,211dtdSnukQtt 1t,u为了导出温度为了导出温度所满足的方程所满足的方程
3、, , 在物体在物体G G内任取内任取一闭曲面一闭曲面它所包围的区域记作它所包围的区域记作则从时刻则从时刻到时刻到时刻经过曲面经过曲面流入区域流入区域的热量为的热量为其中其中表示表示对曲面的外法向导数对曲面的外法向导数. .coscoscoszuyuxunu,),(dSdtnuzyxkdQ4),(21tt),(1tzyxu),(2tzyxu,),(),(),(),(122dvtzyxutzyxuzyxzyxcQc流入的热量使区域流入的热量使区域内部的温度发生变化内部的温度发生变化, ,在时间间隔在时间间隔中物理温度从中物理温度从变化到变化到所需要的热量为所需要的热量为其中其中为物体的比热为物体
4、的比热, ,为物体的密度为物体的密度. .如果所考察的物体内部没有热源如果所考察的物体内部没有热源, ,由于由于热量守恒热量守恒, ,12QQ dvtzyxutzyxuc),(),(12dtdSnuktt 215先对先对1Q,211dtdSnukQtt 进行变形进行变形.)coscoscos(211dtdSzuyuxukQtt 利用奥利用奥- -高高(Gauss)(Gauss)公式公式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(uzyx,t1Q;)()()(dtdvzukzyukyxukxQtt 211设函数设函数关于变量关于变量具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, ,关于变量关于变
5、量具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数, ,可化为可化为62QdvtzyxutzyxucQ),(),(122dvdttuctt)(21,)(21 ttdtdvtuc而而可化为可化为因此由因此由dvtzyxutzyxuc),(),(12dtdSnuktt 21 21)(ttdtdvtucdtdvzukzyukyxukxtt)()()( 21移项即得移项即得（利用牛顿（利用牛顿- -莱布尼兹公式）莱布尼兹公式）7.)()()(021 dtdvzukzyukyxukxtuctt2,1tt,ck,/2ack).(2222222zuyuxuatu由于由于与区域与区域都是任意取的都是任意取的, ,并且被积
6、函数并且被积函数是连续的是连续的, ,于是得于是得).()()(zukzyukyxukxtuc上式称为上式称为非均匀非均匀的各向同性体的的各向同性体的热传导方程热传导方程. .如果物体是如果物体是均匀均匀的的, ,此时此时为常数为常数, , 记记则得则得齐次热传导齐次热传导方程方程8),(21tt),(tzyxF.),(213dtdvtzyxFQtt 如果所考察的物体内部有热源如果所考察的物体内部有热源( (例如物体中通有例如物体中通有电流电流, ,或有化学反应等情况或有化学反应等情况),), 设热源密度设热源密度( (单位时单位时间内单位体积所产生的热量间内单位体积所产生的热量) )为为则在
7、时间间隔则在时间间隔中区域中区域内所产生的热量为内所产生的热量为同样由于热量要平衡同样由于热量要平衡, ,dvtzyxutzyxuc),(),(12dtdSnuktt 21.),(21dtdvtzyxFtt 9dtdvzukzyukyxukxtuctt)()()( 21.),(21dtdvtzyxFtt ).,()()()(tzyxFzukzyukyxukxtuc).,()(2222222tzyxfzuyuxuatu./ ),(),(ctzyxFtzyxf其中其中非齐次热传非齐次热传导方程导方程相对应的一维、二维热传导方程可相对应的一维、二维热传导方程可类似写出。类似写出。10二、定解条件二、
8、定解条件初始条件：初始条件： 表示初始时刻物体内温度的分布情况表示初始时刻物体内温度的分布情况),(| ),(0zyxtzyxut),(zyx),(1tzyxf),(| ),(1tzyxftzyxuS其中其中为已知函数。为已知函数。1 1、第一类边界条件第一类边界条件（狄利克雷（狄利克雷DirichletDirichlet）设所考察的物体设所考察的物体G G的边界曲面为的边界曲面为S S，已知物体，已知物体表面温度函数为表面温度函数为即即.),(Szyx112 2、第二类边界条件第二类边界条件（诺伊曼（诺伊曼Neumann）,|Snukq, q),(|2tzyxfnuS 特别地，如果物体表面上
9、各点的特别地，如果物体表面上各点的热流量为热流量为0 0, ,绝热性边界条绝热性边界条件件已知物体表面上各点的热流量已知物体表面上各点的热流量kqtzyxf/),(20t. 0| Snu也就是说在也就是说在单位时间内流过单位面积的热量是已知的，单位时间内流过单位面积的热量是已知的，其中其中由由傅里叶实验定律傅里叶实验定律可知可知是定义在边界曲面是定义在边界曲面S S，且，且上的已知函数上的已知函数. .则相应的边界条件为则相应的边界条件为123 3、第三类边界条件第三类边界条件（鲁宾（鲁宾Robin）, 1u. u,)(1dSdtuuhdQ考察将物体置于另一介质中的情形考察将物体置于另一介质中
10、的情形. .设和物体接触的介质温度为设和物体接触的介质温度为物体表面的物体表面的温度为温度为h若物体表面温度与介质温度不相同若物体表面温度与介质温度不相同, ,则在物体表面处与周围介质产生热交换则在物体表面处与周围介质产生热交换. . 利用利用热传导中的牛顿实验定律热传导中的牛顿实验定律: :物体从一介质物体从一介质到另一个介质的热量与两介质间的温度差成正比到另一个介质的热量与两介质间的温度差成正比, ,其中的比例常数其中的比例常数成为两介质间的热交换系数成为两介质间的热交换系数. .即可得流过物体表面即可得流过物体表面S S的热量为的热量为13,1S1S1S,dSdtnukdQ,)(1dSd
11、tuuhdSdtnuk.1huhunuk由于热量在物体表面不能积累由于热量在物体表面不能积累, ,现在物体内部作现在物体内部作一无限贴近物体表面一无限贴近物体表面S S的闭曲面的闭曲面则在曲面则在曲面上的热流量应等于表面上的热流量应等于表面S S上的热流量上的热流量. .流过曲面流过曲面的热量为的热量为则有关系式则有关系式),(3tzyxf),(| )(3tzyxfunuS,kh0,),(tSzyx其中其中是定义在是定义在上的已知函数上的已知函数. .141.3 拉普拉斯方程与定解条件拉普拉斯方程与定解条件0222222zuyuxu0u. 02 u1.1.三维拉普拉斯三维拉普拉斯(Laplac
12、e)(Laplace)方程方程(1)(1)凡具有二阶连续偏导数并满足方程凡具有二阶连续偏导数并满足方程(1)(1)的连的连续函数为续函数为调和函数调和函数. .( (调和方程调和方程) )方程方程(1)(1)通常表示成通常表示成或或拉普拉斯方程描述的是稳定状态下物理量的拉普拉斯方程描述的是稳定状态下物理量的分布规律分布规律. .15).,(222222zyxfzuyuxu),(zyxfu).,(2zyxfu2.2.泊松方程泊松方程( (非齐次的拉普拉斯方程非齐次的拉普拉斯方程) )(2)(2)方程方程(2)(2)通常表示成通常表示成或或3. 3. 拉普拉斯方程的边值问题拉普拉斯方程的边值问题第
13、一边值问题第一边值问题( (狄氏问题狄氏问题) )16),(zyxu, f.|fu在空间某一区域在空间某一区域的边界的边界上给定了连续函数上给定了连续函数要求函数要求函数在闭区域在闭区域上连续且在上连续且在内内调和调和, ,在边界在边界上与给定的函数上与给定的函数f重合重合, ,即即第二边值问题第二边值问题( (诺伊曼问题诺伊曼问题) ),(zyxu, f在空间某一区域在空间某一区域的边界的边界上给定了连续函数上给定了连续函数要求函数要求函数在闭区域在闭区域上连续且在上连续且在内内调和调和, ,在边界在边界上法向导数上法向导数nu存在存在, ,且有且有,|fnu其中其中n n是外法线方向是外法
14、线方向. .171.4 基本概念与基本知识基本概念与基本知识, 0yyxxuu1.1.古典解古典解: :如果一个函数具有某偏微分方程中所如果一个函数具有某偏微分方程中所需要的各阶连续偏导数需要的各阶连续偏导数, ,且满足该方程且满足该方程. .2.2.自由项自由项: :偏微分方程中不含有未知函数及其偏微分方程中不含有未知函数及其各阶偏导数的项各阶偏导数的项. .例如例如: :.822xuuyx齐次偏微分方齐次偏微分方程程(自由项为自由项为0)非齐次偏微分方非齐次偏微分方程程(自由项不为自由项不为0)3.3.定解问题及其适定性（存在性、唯一性、稳定解问题及其适定性（存在性、唯一性、稳定性）定性）
15、. .184.4.叠加原理叠加原理),( 22221222ifFuyuExuDyuCyxuBxuAi),(21iuiifFA,考察二阶线性偏微分方程考察二阶线性偏微分方程yx,iiiiiiifFuyuExuDxuCyxuBxuA222222 其中其中都是某区域上都是某区域上的已知函数的已知函数. .叠加原理叠加原理设设是方程是方程(1)(1)中第中第i i个方程的解个方程的解, ,(1)(1)19iiifcFuyuExuDxuCyxuBxuA1222222 0if. 02 22222FuyuExuDxuCyxuBxuA), 2 , 1(iui1iiiucu), 2 , 1(ici如果级数如果级
16、数(2)(2)收敛收敛, ,其中其中为任意常数为任意常数, ,并且它还能够逐项并且它还能够逐项微分两次微分两次, ,则级数则级数(2)(2)是是下方程的解下方程的解特别地特别地, ,当方程当方程(1)(1)中的自由项中的自由项时时, ,则得相应的则得相应的齐次方程为齐次方程为若若是方程是方程(3)(3)的解的解, ,则级数则级数(2)(2)也是方程也是方程(3)(3)(3)(3)的解的解. .205.5.傅里叶傅里叶(Fourier)(Fourier)级数级数( )( ) ( )0,).bnmaxx q xn（m21/2( )( ) .bnnaxq x dx 0,( )( ) ( )1,.bn
17、mamnxx q x dxmn21三角函数系三角函数系1cossincos2sin2cossin,2xxxxnxnx,sincos0,mxnxdx0,sinsin,.mnmxnxdxmn0,coscos,.mnmxnxdxmnsincos0.nxdxnxdx在在上正交。上正交。1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,cos,sin,xxxxnxnx组成一标准正交系。组成一标准正交系。因此因此22补充：补充：三角函数三角函数积化和差积化和差公式公式)cos()cos(21sinsin)cos()cos(21coscos)sin()sin(21cossin)sin()sin(21sinco
18、s2301( )(cos(kx)b sin(),2kkkaf xakx其中其中01( ),1( )cos(kx),1( )sin().kkaf x dxaf xdxbf xkx dx(4)(4)欧氏空间欧氏空间n连续周期函数空间连续周期函数空间正交基正交基12,ne ee1,cos ,sin ,cos,sin,xxnxnx1 12 2n nx ce cece 01( )(cossin)2nnnaf xanx bnx线性表示线性表示內积內积1,nkkkx yx y,( ) ( )f gf x g x dx投影投影,kkkkx ece e,cos,sin,bcos,cossin,sinkkfkxf
19、kxakxkxkxkx0,121,1fa25可得可得f的的复级数复级数表示表示利用公式利用公式cos,sin,22ixixixixeeeexx1( ),( ).2ikxikxkkkf xc ecf x edx011(cos(kx)b sin() ()().22kkkaakxf xf x (5)(5)26设周期为设周期为l 2)(xfnnba ,的函数的函数可展开成傅里叶级数可展开成傅里叶级数, ,则则, )sincos(2)(10nnnlxnblxnaaxf), 2 , 1 , 0( cos)(1ndxlxnxflalln)., 3 , 2 , 1( sin)(1ndxlxnxflblln(6
20、)(6)其中傅里叶系数其中傅里叶系数满足满足(7)(7)27)(xf)(xf当当为为奇函数奇函数时时当当为为偶函数偶函数时时 ,sin)(1nnlxnbxf,cos2)(10nnlxnaaxf)., 2 , 1 , 0( cos)(20ndxlxnxflaln)., 3 , 2 , 1( sin)(20ndxlxnxflbln(8)(8)(9)(9)286.6.两个自变量的二阶微分方程的分类两个自变量的二阶微分方程的分类一般的二阶线性偏微分方程具有如下的形状一般的二阶线性偏微分方程具有如下的形状yx,fcbbaaa,21221211),(00yx),(00yx,221221211fcuubub
21、uauauayxyyxyxx(10)(10)其中其中等都是自变量等都是自变量在区域在区域上的实函数，并假定他们是连续可微的。上的实函数，并假定他们是连续可微的。若在区域若在区域上每点上每点, 02211212aaa则称方程则称方程(8)(8)在每点在每点为为双曲型双曲型的；那么也的；那么也称方程称方程(8)(8)在区域内是在区域内是双曲型双曲型的。的。29),(00yx),(00yx若在区域若在区域上每点上每点, 02211212aaa则称方程则称方程(8)(8)在每点在每点为为椭圆型椭圆型的；那么也的；那么也称方程称方程(8)(8)在区域内是在区域内是椭圆型椭圆型的。的。),(00yx),(00yx若在区域若在区域上每点上每点, 02211212aaa则称方程则称方程(8)(8)在每点在每点为为抛物型抛物型的；那么也的；那么也称方程称方程(8)(8)在区域内是在区域内是抛物型抛物型的。的。30例如：例如：xxttuau20yyxxuuxxtuau20)(102a0)(002a0110双曲型双曲型抛物型抛物型椭圆型椭圆型
