1、 在变形固体力学中将与能量有关的一些原理、定理统称为能量原理。能量原理有两个特点： （一）计算各种杆系结构非常方便 （二）它是结构有限元分析方法的理论基础 一般称直接利用能量原理进行结构分析的方法称为能量法。为区别于能量法，将前面介绍的力法、位移法称为解析法。 这一章主要介绍两个基本的能量原理虚位移和虚力原理。u5-1 应变能和余能应变能和余能u5-2 变分法基本概念变分法基本概念u5-3 虚位移原理及应用虚位移原理及应用u5-4 虚力原理及应用虚力原理及应用u5-5 李兹法李兹法 1.应变能 弹性体在外力作用下产生变形，外力与沿力作用方向上位移的乘积表示外力功，这里说的外力和位移都是从零开始
2、缓慢增加（近似静载）且两者之间成比例。根据功能转化原理，外力所作的功将转换为弹性体内储存的能，称为弹性应变能或弹性变形能。 在材料力学中已经讲到了杆件弹性应变能的计算，所得计算公式只使用于线弹性体。 （1）拉伸和压缩dxdTT 外力作的功全部转化为弹性体的应变能。EAdxTEATdxTTddVdW2212121Td 此式又可以写为：dxEAdxdxddxEAdTddVdW2212121 故：lldxEAdxEATV020221 对于两端受轴向力T，长度为l的等截面拉（压）杆，显然=/l，是整个杆的伸长（或缩短）量，故有lEAEAlTV2222（5-1）（5-2） （2）扭转 微段扭转应变能为。
3、GJdxMGJdxMMdMdVtttt2212121Md 此式又可以写为：dxGJdxdxddxGJddMdVt2212121dxd 故：lltdxGJdxGJMV020221 对于两端受扭矩Mt，长度为l的等截面拉（压）杆，显然=/l，是整个杆的扭转角，故有lGJGJlMVt2222（5-3）（5-4） （3）弯曲 梁在横力弯曲时，梁内的应变能包括两个部分：弯曲应变能和剪切应变能。弯曲应变能和弯曲变形对应，剪切应变能和剪切变形对应。材料力学中只讲到了弯曲应变能，而对剪切应变能没有讨论。这种情况只是在梁的长度与梁截面尺寸中最大边长之比小于1/10，才成立。这种梁又叫欧拉梁。MddxMM 先考虑
4、弯曲应变能，微段的弯曲应变能为：dxEIMdxEIMMMddV2212121 或 lldxvEIdxEIMV02022121dxvEIdxvvEIMddV2212121 故（5-5） 再考虑剪切应变能，由于剪应力沿横截面高度分布不均匀，故截面上距中性轴y处的微面积dA上剪应力的功：dv2dv2dxdAdyyxdAdxIbNSGdAdxGdxdAdW22212121 式中 微段剪切应变能：sAAAdxGNdxdAbSIGNdAdxIbNSGdV222222211221AsdAbSIA222 对于矩形横截面，As=5/6A;对于圆形横截面，As=9/10A;对于薄壁工字梁横截面，AsA （A为腹板
5、面积）。微段上剪力所作的功为：（5-6）微面积上的力微面积的位移221NdvdV 从而有： 式中，v2剪切挠度。比较以上两个dV表达式可知：22vGAdxdvGANss 故：dxvGAdxdxdvvGANdvdVss22222212121lslsdxvGAdxGANV022022121（5-7） 由于在工程中常用的梁的跨长往往大于横截面高度的10倍，此时梁的剪切应变能比弯曲应变能小很多，因而常常可将这一部分应变能忽略不计。 如果杆件同时受到拉伸（或压缩）、扭转和弯曲力的联合作用产生组合变形，但在线弹性情况下拉（压）、扭转及弯曲变形之间的相互影响可以忽略，则杆件的应变能为各种应变能之和，即：ls
6、lltldxGANdxEIMdxGJMdxEATV0202020221212121 故： lsllldxvGAdxvEIdxGJdxEAV02202020221212121（5-8a）（5-8b） （4） 弹性支座和弹性固定端 弹性支座或弹性固定端，当其在外力作用下发生变形时，亦具有应变能。2212121ARARRRvV 或： 设R为弹性支座受到的力，v为支座产生的线位移，A为弹性支座的柔性系数，则外力作的功，即应变能为：AvAvvRvV2212121（5-9）2212121MAMAMMV 或： 设M为弹性固定端受到的弯矩，为固定端产生的转角。A为弹性固定端的柔性系数，则外力矩M作的功，即应变
7、能为：AAMV2212121（5-10） 以上所讨论的都是线弹性体的应变能计算。现在讨论非线性弹性体的应变能计算方法。 对于图（a）所示的非线性弹性拉杆，设杆端位移与杆端外力P之间的关系曲线如图（b）所示，杆拉伸时的应力应变关系曲线如图（c）所示。PPiP1ddPlA（a）（b）（c） 当外力由0逐渐增大到P1时，杆端位移就由0逐渐增至1，此时外力所作的功为：10PdW 对于线弹性材料，忽略加载过程中的能量消耗，外力做的功就等于积蓄在杆内的应变能。因此：10PdWV（5-11） 当拉杆为线弹性时，式中P与成正比，P曲线此时为直线： 或EAlPPPWV1111212111112121AlEPWV
8、 这就是（5-2）。这说明线弹性应变能公式是非线性弹性应变能公式的特殊形式。 如果从拉杆中取出一单位元（边长为1），作用在单位元上、下表面上的力为： 其伸长为11P 于是外力在单位元上所作的功为。1l10dW 该外力功等于积蓄在单元内的应变能。由于单位元的体积为单位值，故其应变能亦称为比能，用u表示，于是 这就是材料力学中介绍过的拉（压）杆的比能计算公式。10dWu 当拉杆为线弹性时，式中与成正比，即E 若从拉杆中取出边长为dx、dy、dz单元体，则在加载过程中单元体内所积蓄的应变能为：EdWu22101（5-12） 对于扭转杆件，将式（5-11）中的P和分别改为扭矩Mt和扭角就得相应得扭转应
9、变能计算公式。将式（5-12）中的和分别改为剪应力和剪应变就得相应的扭转杆比能计算公式。ududxdydzdV 对拉杆内应变能dV在体积上积分，就得到整个拉杆的应变能：uddVV（5-13） 对于梁的弯曲，将式（5-11）中的P和作相应的代换，就得到梁的应变能计算公式。但横力弯曲梁，由于梁内各点的比能u随该点的坐标不同而改变，所以应该先由式（5-12）求出比能u，再按公式（5-13）计算整个梁内所积蓄的弯曲应变能V。求剪切应变也是如此。 例1：计算图56a所示的杆系在载荷P1作用下的应变能。两杆的长度均为l，横截面积均为A，均为相同的线弹性材料。l1lP1 解：设两杆在外载荷由0增至某一值P时
10、，各伸长 l，因而在加载点产生了垂向位移。此时两杆的轴向力为T，它与杆的伸长量l的关系式为：EATll伸长后的两杆长均为EATlll1垂向位移可表示为：lEATAETEATllAETEATllll222122222222222杆的伸长应变两杆的轴力与外载荷P之间的关系可由图求得。sin2PT EAlPlEAP33 TP1Tltgsin02PT材料是线弹性，但是载荷与位移之间的关系却是非线性弹性几何非线性如果计算载荷增至P1时两杆内所积蓄的应变能。通过外载荷所做的功得到： 例2：计算图57a所示结构在外载荷P1作用下所积蓄的应变能。两杆的长度均为l，横截面积均为A，应力应变曲线如图5-7b所示，
11、图中的s为材料的屈服极限。P1s1s1 2.余能 以上讨论的应变能是一个能量参数，它有具体的物理概念。下面介绍另一个能量参数余能。PiP1ddPlAdPd 当外力从0增加到P1时，可仿照外力功的表达式计算另一个积分。10PdP 这个积分从量纲上看，它和外力功是相同的，所以可以把它作为一种功来看待。从P-曲线上看，此积分是P-曲线与纵坐标轴间的面积。它与对应的外力功 之和正好等于P11矩形面积。所以习惯上把它称为余功，用W*表示，即10Pd10PdPW 由于材料是弹性的，所以，仿照功与应变能相等的关系，也可将与余功相等的能称为余能。 这是从外力余功来计算余能的表达式。10PdPWV 同样也可仿照
12、前面从单位体积应变能来计算应变能的方式，得到从单位体积余能u*来计算余能的表达式。duV10du 余能没有具体的物理概念，只不过是具有功和能的量纲。引进他们是为了讨论能量原理的需要。 在线弹性问题中，由于应力与应变之间以及载荷与位移之间都是线性关系。所以余能和应变能在数值上是相等的。简而言之，在线弹性体系中有：VV 1.引言 在工程中除了确定函数的极大（小）值外，常常还会遇到求一类特殊的量泛函的极大（小）值。 凡若某一变量的值是由一个或几个函数的选取而确定的，则这个变量叫泛函。oxyA（x0，y0）y=y（x）B（x1，y1） dxvEIxvVl 10221 dxyxyLxx1021 2.变分
13、的计算 计算泛函的变分同计算函数的微分相似：dxxuufuIba,)( 下面讨论下面的泛函式中，函数u(x)必须满足已给的初始条件： baubuuau, 被积函数f(u,u,x)是u,u=du/dx和x的已知函数。要在所有满足边界条件的函数中找出使得泛函取得极小值的函数u(x)xuufxuuuufxuufxuuff, 下面考察使I(u)取得极小值的函数u(x)被其邻近的函数u(x)取代后，函数 f(u,u,x)的变化。当自变量x取一定值时，f依赖于u和u，当它们变化时，f也变化。由变化后的曲线u(x)得出的函数f(u,u,x)相对于由曲线u(x)得出的函数f(u,u,x)的增量为： 按台劳级数
14、展开函数： 22222222! 21,uufuuuufuufuufuufxuufxuuuuf（5-14）（5-15） 将台劳展开式(5-15)代入到(5-14)中得到： 式中： 22222222! 21uufuuuufuufuufuuffuufuuff 称为一阶变分 222222222! 21uufuuuufuuff 称为二阶变分 更高阶变分可以表示为：ffnn1 从这可以看出变分与微分是相似的。fddfdnn1 总之，泛函I取极大值的必要条件是一阶变分为零。若二阶变分恒为正值，此极值为极小值；若二阶变分恒为负值，此极值为极大值。 虚位移原理是能量原理中的一个基本定理，应用该定理可以引申出一些
15、能量定理用来计算结构的位移和变形。 1. 虚位移原理 设结构在外力作用下处于平衡状态，如果从平衡位置算起给结构一个可能发生的微小位移满足结构位移边界条件和变形连续条件的微小位移，称之为虚位移，则外力对虚位移作的功（虚功）必等于结构因虚变形而获得的虚应变能，这就是虚位移原理。 设作用在结构上的外力为P1、P2、 ，外力作用点沿外力方向上的虚位移为1、 2、 。由于发生虚位移过程中外力不变，故外力的虚功为：iiPPPW2211 又设结构中任一点的真实应力为,而由虚位移引起的结构任一点的虚应变为,则结构的虚应变能为： dVT 式中，结构的体积。于是虚位移原理可表示为（5-16）（5-17）VW 或
16、dPTiii 必须指出在虚位移原理表述中没有涉及结构材料的性质，也没有涉及在外力作用下实际变形的过程和大小，因此虚位移原理不限定用于弹性问题，也不限定用于线性。（5-18） 虚位移原理是结构在外力作用下处于平衡状态的必要和充分条件。依图5-12中两端自由支持的梁来说明。 梁在分布载荷q(x)作用下变形是微小的，梁的材料符合虎克定律。先证明必要条件：若梁处于平衡状态，必有：VWv(x)v(x)图 5-12 现在从平衡位置算起，即从梁的真实挠曲线v(x)算起，给梁一个虚位移v(x)，它在整个梁的长度上保持连续，并满足梁的边界条件v(0)= v(l)=0,显然，虚位移v(x)可以看作是v(x)的变分
17、； v(x)= v(x)- v(x)，其中v(x)是v(x)的邻近挠曲线。那么外力q(x)在虚位移上作的虚功为： 梁在小变形情况下且材料符合虎克定律。有梁任一截面处的弯矩为： xvEIxM dxxvqWl0（a） 由梁的虚位移引起的虚曲率为： xv 1 式中为梁的中性层曲率半径。 梁中dx微段两端横截面的转角为： dxxv 在发生v(x)过程中M(x)不变，所以梁的虚应变能为： dxxvxvEIdxxMVll 001（b） 根据变分法可知，虚应变能V就是V的一阶变分： 对于其他结构相同。在外力作用下梁发生小变形且材料符合虎克定律时，梁处于平衡状态的平衡微分方程为： xqxEIvIV 根据梁的静
18、力边界条件： dxxvxvEIdxxvEIVll 00221 000 lvEIvEI， 由于v(x)在整个梁的长度上是连续的，故必定成立。对上式中的积分项进行两次分部积分，并有： xvxvxvxv , 得： 0)(00 llIVxvxvEIdxxvxqxEIv llllllIVdxxvxvEIxvxvEIxvxvEIdxxvxvEIxvxvEIdxxvxEIv000000（c） 由于v(0)= v(l)=0,所以上式中右边第一项为零。再将上式代入到式(c)得： 上式等号左右边分别为式(a)和式(b)，所以: lldxxvxvEIdxxvxq00VW 再证明充分条件：对于所给虚位移v(x)，如果
19、W= V,则梁在q(x)作用下必处于平衡状态，即必有平衡方程式EIvIV(x)=q(x)及静力边界条件EIv(0)=EIv(l)=0.当W= V时由式(a)和 (b)给出： 对上式等号右边中的前一个积分项进行两次分部几分，并注意到： 00 ldxxvxqxvxvEI xvxvxvxv , 得： lIVllldxxvxEIvxvxvEIxvxvEIdxxvxvEI0000（d） 由于v(0)= v(l)=0,所以上式中右边第二项为零。再将上式代入到式(d)得： 因v(x)在整个梁的长度上是连续的，且是任意的， v(x)也是如此，故要使得上式成立必有： llIVxvxvEIdxxvxqxEIv00
20、 00lIVdxxvxqxEIv 00 lxvxvEI 即： xqxEIvIV 00 lvEIvEI梁的平衡方程式梁的边界条件 例1 用虚位移原理导出图5-13所示梁的转角。qEIlxy图 5-13 2. 位能驻值原理 由上所述，当结构在外力P1、P2、作用下处于平衡状态时，外力对虚位移1、1、 所作的功为：iiiPW 现在引进Pii这个量(i是真实位移),它不是外力功，我们把这个量叫做力函数，并记做U，即：iiiPU由于虚位移可看作是真实位移的变分，且发生虚位移过程中外力不变，所以力函数的改变量（一阶变分）可写成：UV 于是虚位移原理的表达式V=W就可写成：WPPUiiiiii 又因为结构因
21、虚变形而获得的虚应变能V可看作结构应变能的一阶变分，所以上式又可写成：0UV（5-19）再令：0称为结构的总位能。它等于结构应变能与力函数之差，其中（-U）又叫做力位能。因总位能为应变能与力位能之和。总位能取得极值的必要条件是： 由变分法知道，上式是泛函有极值的必要条件，就是说，在所有满足结构的位移边界条件和变形协调条件的位移中，真实的位移即满足结构平衡方程的位移使总位能取得驻值，此即位能驻值原理。进一步分析可以证明，对于一个处于平衡状态的结构，总位能的驻值是最小值，因而位能驻值原理又称为最小位能原理。UV （5-20）（5-21）例2 计算图4-7所示的不可动节点复杂刚架。ll/2l/2l2
22、I2IPI1234解题关键：首先计算三根杆件的应变能，再计算力函数。前提是要确定三根杆件的位移函数。根据第二章（2-23）式jijijjijijiijijiijijlxlxvlxlxlxlxxvlxlxxv)()23()2()231(3322332233223322223223242)(lxlxv223212)(lxlxv 3. 应变能原理 对于在一组外力P1、P2、作用下处于平衡状态的结构，若在这些外力作用点沿外力方向产生的位移1、2、则结构的应变能V可表示成1、2、的函数，于是结构应变能的一阶变分即虚应变能V可写成：2211VVV 而外力虚功为：2211PPW因此，由虚位移原理表达式V=
23、W，可得 ：0222111PVPV由于i(i=1,2,)是任意的，故上式成立必有 ：,.0, 02211PVPV或写成 ：.iiPV式中(i=1,2,)（5-22）式(5-20)称为应变能原理或卡式第一定理，它可叙述为 ： 如果结构的应变能V表示成广义位移i的函数，则V对于任一广义位移i的一阶偏导数等于相应的广义力Pi。 应该指出，卡式第一定理既适用于线性弹性体，又适用于非线性弹性体，它可用来求解两类问题，即已知位移求相应的力或已知力求相应的位移。在已知力求相应位移的问题中，其用法实际上与位能驻值原理相同。例3 计算图5-6所示的非线性杆系。llP 解题关键：计算结构的应变能（为广义位移的函数
24、），利用卡式第一定理计算P例4 下图所示的连续梁，由于某种原因使得支座3向上移动，试求相应的支反力。xy123 解：去掉中间支座2,代之以支反力R2,由挠曲线通用方程式，得： 边界条件为：EIlxREIxNxvl66323000,vlx0,2 vEIvlx 将边界条件代入到梁的挠曲线方程中，得到： 求解上式得：026682062022200200RNlEIlREIlNEIlNllEIRllEINl2220032341 将各个初参数代入到挠曲线方程得：33244llxlxlxvl 对上式微分两次，代入到梁的弯曲应变能公式 ，得：323232022323438383223212321lEIlEIl
25、EIdxxllEIdxlxEIVlll 根据卡式定理：3223lEIVR例5 应用卡式定理求解下图所示的弹性支座双跨梁在弹性支座处的挠度。xy123llPK2 解：本结构为对称结构，取一半进行求解，设节点2处的挠度为。其挠曲线方程可利用（2-23）式。 于是梁的挠曲线方程可以写为：jjiivv, 0 将上式代入到梁的弯曲应变能计算公式，得到：332223lxlxv23023221612621lEIdxlxlEIVl 弹性支座内部积蓄的应变能为：212221222323KlEIPKlEIVP222224221KKV 总的应变能为：2232146KlEIVVV 由卡式定理： 虚力原理是与虚位移原理
26、对偶的基本能量原理。应用该原理也可引申出一些能量定理用来计算结构的约束反力： 1. 虚力原理 设结构在外力作用下处于平衡状态，如果给外力一个满足静力平衡条件和静力边界条件的虚变化，即虚力，则虚力对外力所引起的位移所作的功（称为虚余功）必等于结构的虚余能，这就是虚力原理。 虚力原理的表达式。 设作用在结构上的外力P1、P2、，外力作用点沿外力方向的结构真实位移1、2、。与外力相应的虚力为P1、P1、。于是虚余功为： 又设外力引起的结构任一点的真实应变，虚力引起的虚应力为 ，则结构的虚余能为：iiiPPPW2211 dVT（5-23）（5-24） dVTiiiPPPW2211 于是虚力原理可以表示
27、为： 必须指出，和虚位移原理一样，虚力原理既不限定用于弹性问题，也不限定用于线性问题。 VW dPTiii 或： 虚力原理是结构变形协调的必要和充分条件。仍用图5-12所示的两端自由支持梁来说明。先证明必要条件；若梁的变形是协调的，则必有W*= V*设虚力为q，由q引起的虚内力（弯矩、剪力）为M、 N，则虚余功为：（5-25）qdxvWl0 式中，v是外力q引起的真实位移，虚余能为：MdxEIMMdxVll001 式中，M外力q引起的真实弯矩。事实上，虚余能V*就是梁的余能的一阶变分，即：MdxEIMdxEIMVll00221 由于梁的变形是协调的，所以有：EIMdxvd2200lvv（a）（
28、b）（c）在线弹性条件下 因此，成立。对积分00022llNvMdxEIMdxvd进行两次分部积分，并注意到下式：00lMMqdxNdNdxMdlMdxdxvd022（d）（e） 于是得： 将上式代入到(d)式，得：lllllllllllqdxvNvMdxdvNvdNvMdxdvNdxdxdvMdxdvMddxdvMdxdvMdxdxvd0000000000022llMdxEIMqdxv00 VW 再证明充分条件：对于满足平衡条件和静力边界条件（式e）的虚力为q，若W*= V*，由式(a)、式（b），可得： 进行两次分部积分，并注意到式(e)，可得：00ldxMEIMqv 对积分00lqdxv
29、llllllllldxdxvdMMvNvdxdxdvdxMdNvdxdxdvNNvdxdxNdvqdxv02200000000 将上面的积分代入到式（f）得：00022llNvMdxEIMdxvd 由于q是任意的，所以M和N也是任意的，所以上式成立必须有：0,022lvvEIMdxvd此即梁的变性协调条件和位移边界条件。例6 用虚力原理推导出下图所示的单跨梁两端的转角。xy12lEIijMiMj 解：由外力矩Mi、Mj引起的梁任一截面上的真实内力（弯矩）为jiMlxMlxxM1)( 虚余功为 由虚力Mi、Mj引起的虚内力（弯矩）为jiMlxMlxxM1)(jjiiMMWijiijiljijil
30、MMMEIlMMMEIldxMlxMlxMlxMlxEIMdxEIMV262611100 由虚力原理W*= V*，得：02626ijijijiiMMMEIlMMMEIl 虚余能为 由于虚力M*、 N*是任意的，故上式成立必须有：026026jijjiiMMEIlMMEIl 故有：jijjiiMMEIlMMEIl2626iiiRV 2. 余位能驻值原理 先仿照总位能，定义总余位能 *如下：iiiiiiRRW式中，Ri结构支座反力；i支座反力处沿支座方向上的位移，- Ri i反力余位能。若Ri有微小变化 Ri ，i不变，则虚余功为 根据虚力原理W*= V*，有：iiiRV（5-26）0, 0iii
31、RV 又因虚余能V*即为余能（V*）的一阶变分，故上式可写成：式（5-27）称为余位能驻值原理。它可叙述为：在所有满足静力平衡条件和静力边界条件的支座反力中，真实的支座反力，即满足结构变形协调条件和位移边界条件的支座反力，使总余能取得驻值。可以证明对稳定平衡来说，真实的支座反力，使总余能取得极小值。（5-27）0V 对于不能发生位移的支座，*=V*,即为总余位能就等于余能，故有：（5-28）例7 用余位能驻值原理求解下图所示的闭合刚架。1243l/2l/2lI1I2I2I1PP1443I1I2PI112I22P3M1M2M2M3M3M4M1M4 解：由于结构的对称性MMMMM4321 对于杆1
32、-4和杆2-3，有 以多余约束力（节点处的弯矩）M作为基本未知量。可写出各杆的（局部坐标系）弯矩表示式。 20,2lxxPMxM 对于杆1-2和杆3-4，有 MxM 将式（a）和式（b）代入到梁的弯曲应变能计算式（5-5），并利用刚架两对边应变能相等条件，可得刚架的应变能为：212220122022121434142312484212221212222MEIlPlMPlMEIldxEIMdxPxMEIVVVVVVVll 在线性体系中，余能与应变能在数值上相等，因而刚架的余能为：21222484MEIlPlMPlMEIlVV由于刚架无发生位移的支座，故总余位能*=V*。由余位能驻值原理 *=0，
33、有0MMVMM由于M是任意的，故有0MV 将（c）式代入到上式得：024212EIlMPlMEIl解得：PlIIIIM212118 对于静定结构，结构的余能可表示成外力P1，P2，的函数，于是余能V*的一阶变分即结构的虚余能V*可写成：2211PPVPPVV 3. 应力能原理 根据虚力原理：2211PPPViii 注意，对于超静定结构，余能V*只能表示成外力P1，P2，和多余约束反力X1，X2，的函数，不能只是表示为外力的函数 由虚力原理W*=V*，可得：0222111PPVPPV 虚余功为：2211PPPWiii 由于Pi是任意的，固有：iiPVPVPV,2211 式中i=1,2,3,：（5
34、-29） 式（5-35）称为应变能原理或恩格赛尔定理。它可叙述为：若静定结构的余能V*表示成广义外力P1、P2、的函数，则V*对任一广义外力Pi的一阶偏导数等于相应的广义位移i 。该定理既适用于线性弹性结构又适用于非线性弹性结构。 对于线弹性结构，因V*=V，故有：iiPV 式中i=1,2,3,： 上式称为卡式第二定理，亦就是材料力学中的卡式定理。该定理为计算静定线性弹性结构的位移提供了一个非常简便的方法。（5-30） 根据应力能原理可得出用来求解超静定结构多于约束力的能量定理. 考虑图5-15a所示的超静定梁，去掉该超静定梁的多余约束，并用多余约束力X1、X2、Xr代替，得到如图5-15b所
35、示的静定基本结构，其中X2处为弹性支座，称为内约束。梁的位移和支座位移协调。其余的约束为外约束，其位移为零。xyP1PnP2xyP1PnP2XnX2X1X22 设结构的余能为V*，其中梁的余能为V1*，弹性支座的余能为V2*，则有V*= V1*+ V2*。若将V1*表示成外力P1、P2、Pn及多余约束力X1、X2、Xr的函数， V2*表示X2的函数，则应用式(5-36)，对于外约束处，有：0iXV 式中i=1,3,4，r： 对于内约束处有：02222212XVXVXV 因此，最终得到：0iXV 式中i=1,2,3,r： 上式称为最小余能原理。它表明在稳定平衡的超静定结构中，真实的多余约束反力使
36、结构的余能取极小值。该定理对于线性弹性结构和非线性弹性结构都是有效的。 对于线性弹性结构，因V*= V ,故有0iXV 式中i=1,2,3,r：（5-31）（5-32） 上式称为卡式最小功原理。它表明：若将r次超静定线性弹性结构的应变能V表示成广义外力和r个广义多余约束力的函数，则V对于每一个广义多于约束力的一阶偏导数都等于零。应注意，若结构中有弹性支座或弹性固定端，则结构应变能V中应包括弹性支座或弹性固定端的应变能。 上述卡式最小功原理对于分析超静定线弹性结构十分有用，特别是对于曲杆、圆环等超静定线弹性结构。这是因为结构的应变能用广义外力和广义多余约束力来表示比较容易。若需要确定超静定线弹性
37、结构的位移，可首先应用卡式最小功定理求出广义多余约束力，然后应用卡式第二定理确定位移。例8 用卡式最小功定理计算下图所示的等截面二铰拱。已知拱轴方程为y=(4f/l2)x(l-x),拱截面面积为A=38410(-3)m2，惯性矩I=184310(-6)m4，E=192 106kN/m2q=8kN/mq=8kN/ml=18mf=3.6mxyX1yxxyR=ql/2X1TNMq 解 二铰拱是一次超静定结构。在计算时通常采用图(5-16b)所示的基本结构。图中X1为多余约束力。由于此二铰拱变形对称（几何和载荷对称），故两个支座的垂直支反力R相等，且由于静力平衡条件求得R=ql/2。二铰拱任一截面处的
38、弯矩、轴力和剪力(图5-16c)分别为： 由于此二铰拱的失跨比f/l=3.6/18=1/51/4，即拱比较扁平，故可近似地取ds=dx，cos=1,sin=0。于是式(a)可近似写成 ：sincos2cossin2221113XqxqlNXqxqlTyXqxqlxMqxqlNXTyXqxqlxM222113 对于常用的二铰拱，剪力对变形的影响较小，可忽略不计，于是二铰拱的应变能V为由弯矩引起的应变能与由轴力引起的应变能之和，即：lldxEATdxEIMV02022121 将式(b)代入上式，再根据卡式最小功定理，得：021010101011lllldxEAXdxyyXxlqxEIdxXTEAT
39、dxXMEIMXV 解得： 将y=4fx(l-x)/l2代入上式，积分后得：kNX94.8910184310192181018431019215186 . 381018431019215186 . 38666626631llldxEAdxEIydxxlqxEIyX0020112 由式(a)或式(b)可算出二铰拱任一截面处得弯矩、轴力和剪力。 如果忽略轴力引起的应变能，则式(c)将变成： 将已知数据代入上式，便得X1=90kN。可见忽略轴力影响所得结果与记及轴力影响所得结果相差甚小。分析证明，当曲杆的曲率半径大于杆截面高度的15倍时就可以忽略轴力影响，从而计算曲杆应变能时只需记及弯曲应变能。fq
40、lEIlfEIqflX8158152221例9 用卡式最小功定理计算下图所示的加劲式吊车梁。其中横梁(梁式杆)A-B和竖杆C-D由钢筋混凝土做成，斜杆A-D、D-B为16锰圆钢，各杆刚度如下：对于梁式杆A-B:EI=1.989104kNm2，EA=2.484 106kN对于二力杆A-D,D-B:EA=2.464 105kN对于二力杆C-D：EA=4.95 105kN/m2B1m3m3m1.5mPACDBPX1ACDDTTX1ABCTTRA=0.75PRB=0.25PX1Pyx 解 此组合结构是一次超静定。切断C-D杆并代以多于约束力X1，便得基本结构（图5-17b）。由原结构可算出AD=DB=
41、10m。由静力平衡算出支反力RA=0.75P,RB=0.25P。由节点D的静力平衡(图5-17c)计算出轴力:11210cos2XXT 由图5-17d算出梁式杆A-B的轴力T1和任一截面处的弯矩M如下： 63,35 . 175. 05 . 035 . 1,5 . 175. 05 . 05 . 10,75. 05 . 023103210sin1111111xxXxPxPXMxxPxPXMxxPXMXXTT 组合结构的应变能为：dxEAXdxEATdxEATdxEIMVCDADAB102110026021602212121 由卡式最小功定理，得：dxEAXdxXTEATdxXTEATdxXMEIM
42、XVCDADAB10110016011160112 因为PXEIdxXMEIMdxXMEIMdxXMEIMdxXMEIM09375. 35 . 41163135 . 115 . 101601ABABEAXdxXTEAT1601115 .13ADADEAXdxXTEAT1100181139.152CDCDEAXdxEAX1101 所以有081139.155 .1309375. 35 . 411111CDCDABEAXEAXEAXPXEI 解得：kNEAEAEAEIEIPXCDCDAB746.38181139.155 .135 . 409375. 31 最后算出各杆得轴力为：kNXTkNXTTTk
43、NXTTCDDBADAB746.38263.61210119.58231111由梁式杆AB得弯矩算式可算出任一截面处的弯矩例10 求图5-18a所示的阶梯形变截面梁中点处的挠度。q123ll1ql2l31L-xN12X1M12X22xX1N23X2 解 该梁是二次超静定。设在梁中点处切断，并代以多余约束力X1和X2，便得基本结构（图5-18b）。lxXxlXxlqM0,221212 梁的弯曲应变能为： 由图5-18c可写出梁1-2段和2-3段在任一截面处的弯矩表达式为。lxXxXM0,2123dxEIMdxIEMVVVll02230212231221221 首先应用卡式最小功定理求出多余约束力
44、X1和X2，然后利用卡式第二定理求出梁中点的挠度v2。 由卡式最小功定理，得02312382122213221340123230112121XlXlEIXlXlqlEIdxXMEIMdxXMIEMXVll0212821221221230223230212122lXXlEIlXXlqlEIdxXMEIMdxXMIEMXVll 简化后得到：1263642221221221qlXqlXqlXlXqlXlX72122631231422322130123231232qlqllqllEIXlXlEIdxXMEIMXVvl 由卡式第二定理，得梁中点处的挠度为：例11 求图5-18a所示的阶梯形变截面梁中点处
45、的挠度。qPP2rrrITxyR=2qrX1NMM1MTNR=2qrM1X1xy20sin2coscos2sin111qrXTMrrqrrXM rxrXTrxqrxPMxqrrXM32212112022022121rdEATrdEIMVrrrrdxEATdxEIMV323221210, 011MVXV 能量原理的重要应用之一是对不能精确求解的结构或求解比较困难的结构进行近似分析。这一节主要介绍应用比较普遍的基于位能驻值原理的近似解法李兹法。 我们以梁的弯曲问题简要阐明李兹法。按照位能驻值原理=0就是要丛所有满足结构位移边界条件和变形协调条件的位移中寻求使总位能取得极值的真实挠曲线v(x)，即满
46、足平衡方程EIvIV=q(x)的v(x)。 现把梁的挠曲线v(x)写成如下形式：式中，n(x)(n=1,2,)是满足梁端位移边界条件的连续可微函数，之所以要求函数连续可微是为了不破坏梁变形的连续性，即位移和转角的连续性。我们把函数n(x)称为基函数或形状函数；an(x) (n=1,2,)是待定系数。 若把式(5-33)表示的v(x)代入梁的总位能的表示式中，则就变成含有变量a1 ,a2 ,的多元函数。这样一来，位能驻值原理=0就可写成： nnnxaxaxaxv2211（5-33）由于a1 , a2 , 。是任意的，故有 02211aaaa（5-34）0ia（5-35） 式中i=1,2,3,由方
47、程组(5-35)就可解出a1,a2,再将它们代入式(5-34)便得到使得总位能取得极值的挠曲线v(x)。 由于式(5-34)表示的级数不可能取无穷多项，只能取有限项，所以得到的解v(x)将是近似解，但是，如果基函数n(x)选得合适，则级数只取少数几项也能得到较精确的近似解。 以上所述解法称为李兹法。不难看出，李兹法是把变分问题（泛函的极值问题）转变为求包含有限个变量a1,a2,的函数极值问题的一种近似解法 应用李兹法的关键问题是选取函数n(x)。表5-1给出了梁在某些边界条件下的基函数。 李兹法不仅适用于梁的弯曲问题，而且广泛地应用于其他结构，如板的弯曲问题以及杆和板的稳定性问题。这方面的内容
48、的关键问题是选取函数n(x)。表5-1给出了梁在某些边界条件下的基函数。例11 用李兹法求图5-19所示的简支梁的近似挠曲线，并求该梁的最大挠度和最大弯矩的近似值。q2lx1y 解 由于全梁受均布载荷作用，挠曲线对称于梁中点，故取挠曲线函数： lxalxaxv3sinsin31及0 x00lvv它显然满足简支梁两端位移边界条件：lx 时0, 00lvv梁的应变能为：dxvEIVl 022 对式(a)求2次导数后代入上式积分，得：23213402222122028143sin9sin22aalEIdxlxallxalEIdxvEIVll 外力q的力函数为：31022103123sinsinaaq
49、ldxlxalxaqdxqvUll 于是，该梁的总位能为：31232134312814aaqlaalEIUV 由式(5-35)得：03281202233421341qlalEIaqlalEIa 求解得：EIqlaEIqla54354124344 将a1、a3：值代入到式(a)得梁的近似挠曲线为： lxEIqllxEIqlxv3sin2434sin45454 梁的最大挠度vmax出现在梁跨中点x=l/2处，其值为： 而精确解为：EIqlEIqlEIqlvvl454542max013017. 024344EIqlvvl42max013021. 0 两者误差为0.03： 由近似挠曲线表示式(b)可得
50、梁跨中点处最大弯矩为： 而精确解为：2232max12423. 042726qlqlvEIMl 2max125. 0qlM 两者误差为0.6： 所得到的弯矩比挠度误差大，这是很正常的，主要是因为近似函数的导数，其精确程度一般来说会更差一些。应该指出，所取的基函数仅有两个待定系数。而所得到的挠度和弯矩都相当精确。这是因为基函数不仅满足了梁端位移边界条件，而且还满足了梁端静力边界条件。lxx , 00, 0 vEIvEI例12 用李兹法求图5-20所示的两端刚性固定梁的跨中点挠度和弯矩。q2x1yl/2l/4l/4 解 由于全梁的挠度对称于跨中点，于是取基函数： lxaxv2cos12100lvv
