1、第八章第八章 两气候变量场相关模态的两气候变量场相关模态的分离分离奇异值分解奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）o 在气候变化研究中，存在大量在气候变化研究中，存在大量两个变量场之两个变量场之间的相关问题间的相关问题，即研究两个场之间相关系数，即研究两个场之间相关系数的空间结构和它们各自对相关场的贡献，提的空间结构和它们各自对相关场的贡献，提取两个气象场的耦合信号。取两个气象场的耦合信号。o 目前，分离两场相关模态的方法中应用最广目前，分离两场相关模态的方法中应用最广泛的是泛的是。o 其他方法？其他方法？方法概述方法概述o 设有两个变量场，一个变量场
2、由设有两个变量场，一个变量场由p个空间点构成，个空间点构成，样本量（时间长度）为样本量（时间长度）为n，称作，称作左场左场，记为，记为X；另；另一个变量场由一个变量场由q个空间点构成，样本量（时间长度）个空间点构成，样本量（时间长度）也为也为n，称作，称作右场右场，记为，记为Y。o 对对X、Y均均作标准化处理作标准化处理。pnppnnpxxxxxxxxxxxx21222211121121Xqnqqnnqyyyyyyyyyyyy21222211121121Y其交叉协方差矩阵为：其交叉协方差矩阵为：o 写成分量形式为：写成分量形式为：o 对其作奇异值分解，可得到对其作奇异值分解，可得到o 写成分量
3、形式：写成分量形式：o 这里有这里有m个向量个向量l，相互正交，每个向量包含，相互正交，每个向量包含p个元个元素，称为素，称为；有；有m个向量个向量r，也相互正交，也相互正交，每个向量包含每个向量包含q个元素，称为个元素，称为。TXYXYSn1 qjpitytxnsntjiij, 2 , 1;, 2 , 111TRLS000m1min,mk k kkmp qTSl ro 每个向量每个向量l与与r一一对应，并对应一个相应的一一对应，并对应一个相应的 。o 由奇异值分解原理可知，由奇异值分解原理可知，L是矩阵是矩阵SST的特的特征向量；征向量；R是矩阵是矩阵STS的特征向量，的特征向量，o SST
4、和和STS有相同的特征值，为有相同的特征值，为 12， 22， m2，其中，其中 1 2 m。111211112121222212221212,mmmmpppmqqqml llr rrlllr rrlllr rrLRo如何求出如何求出L、R和和 ？o 以矩阵以矩阵A为例，其特征值和特征向量的求解：为例，其特征值和特征向量的求解：n 计算计算| I-A|，其中，其中I为单位矩阵，其对角元素为为单位矩阵，其对角元素为1，其它元素均为其它元素均为0；n 求出求出| I-A|=0在给定数域上的全部特征值；在给定数域上的全部特征值；n 对于每个特征值对于每个特征值 ，求出相应的特征方程组的解。，求出相应
5、的特征方程组的解。o 分别由左、右场构造两组新变量场分别由左、右场构造两组新变量场11121111211212222122221212pnpnpppnmmmmpl llxxxlllxxxxxxlllTaaAL Xa11121111211212222122221212qnqnqqqnmmmmqr rryyyr rryyyyyyrrr TbbBR Ybo 由于由于L、R为正交化矩阵，故为正交化矩阵，故LLT=I，RRT=I，则有则有o 故故SVD也相当于将左、右场分别进行也相当于将左、右场分别进行EOF分解。分解。o 通常称（通常称（lk，rk）为一对）为一对（pattern）；）；ak、bk分别
6、为左、右场分别为左、右场，每一对变量型和相应的展开系数确定了一种每一对变量型和相应的展开系数确定了一种（mode）。）。1212mmaaXLAl lla1212mmbbYRBr rrb方差贡献方差贡献o 第第k对奇异向量对奇异向量为：为：o 前前k对奇异向量对奇异向量为：为：miikkSCF122miikiikCSCF1212模态相关系数模态相关系数o 一旦由一旦由SVD得到时间系数矩阵得到时间系数矩阵A、B，就可，就可以定义每对奇异向量的时间系数以定义每对奇异向量的时间系数A和和B之间之间的相关系数的相关系数o 称为称为，它反映每对奇异向量，它反映每对奇异向量之间相互关系的密切程度，之间相互
7、关系的密切程度，反映的是典型变反映的是典型变量场总体相关状况量场总体相关状况。 12211,nkktkknnkkttat btratbta b异性相关系数异性相关系数o 左场左场X与右奇异向量的时间系数与右奇异向量的时间系数B之间的相关之间的相关系数为：系数为：o 右场右场Y与左奇异向量的时间系数与左奇异向量的时间系数A之间的相关之间的相关系数为：系数为： 1222111,1nktk kknnnkktttX t btrXtbtbtnlX b 1222111,1nktk kknnnkktttY t atrYtatatnrY a异性相关系数异性相关系数o 上两式计算的相关系数分布型分别表示右上两式
8、计算的相关系数分布型分别表示右（左）场的时间系数所反映的左（右）场时（左）场的时间系数所反映的左（右）场时间变化程度大小的分布，间变化程度大小的分布，显著相关区则是两显著相关区则是两变量相互作用的关键区变量相互作用的关键区，通常将上述相关系，通常将上述相关系数称为数称为。同性相关系数同性相关系数o 左左(右右)场时间系数与左场时间系数与左(右右)场的相关系数称为场的相关系数称为，其分布，其分布反映时间系数序列表示自反映时间系数序列表示自身气象场时间变化程度大小的地理分布身气象场时间变化程度大小的地理分布，在一，在一定程度上代表了左、右场的遥相关型。定程度上代表了左、右场的遥相关型。 12221
9、11,1nktk kknnnkktttX t atrXtatatnlX a 1222111,1nktk kknnnkktttY t btrYtbtbtnrY b显著性检验显著性检验o 采用采用Monte Carlo技术检验技术检验SVD的显著性。的显著性。o 利用模态方差贡献进行检验，首先计算模态方利用模态方差贡献进行检验，首先计算模态方差贡献：差贡献：o 根据左场空间点数根据左场空间点数p、右场空间点数、右场空间点数q及其样本及其样本量量n，利用随机数发生器生成随机序列的两个，利用随机数发生器生成随机序列的两个资料矩阵，进行资料矩阵，进行100次次模拟模拟SVD计算。每次模计算。每次模拟后均
10、用奇异值拟后均用奇异值 k计算方差贡献：计算方差贡献：miikkSCF122o 将将Ukr排序，排序，Uk1 Uk2Uk100（k=1,2,m）o 如果如果SCFkUk95，则认为第，则认为第k对对SVD模态在模态在95%置信度水平上是显著的。置信度水平上是显著的。o 注：也可只对其中一个场进行随机生成。注：也可只对其中一个场进行随机生成。100, 2 , 1, 2 , 11rmkUmirirkrk结果分析结果分析o 从奇异向量的方差贡献及累积方差贡献了解从奇异向量的方差贡献及累积方差贡献了解某一对显著某一对显著SVD模态及前几对显著模态及前几对显著SVD模模态所占的态所占的方差比例方差比例。
11、o 由奇异向量时间系数之间的相关系数了解由奇异向量时间系数之间的相关系数了解两两变量场的显著空间分布型总体的相关程度变量场的显著空间分布型总体的相关程度。o 分析分析异性相关系数场异性相关系数场，寻找一个场对另一个，寻找一个场对另一个场相互影响的关键区。场相互影响的关键区。结果分析结果分析IIo 由于成对奇异向量是由两变量的交叉协方差由于成对奇异向量是由两变量的交叉协方差阵求出的，其中一个场的奇异向量对应的时阵求出的，其中一个场的奇异向量对应的时间系数包容了另一个场的信息，因此成对奇间系数包容了另一个场的信息，因此成对奇异向量的时间系数与该场的异向量的时间系数与该场的同性相关分布代同性相关分布
12、代表了两场耦合相关的空间结构表了两场耦合相关的空间结构。SVD应用中的一些问题应用中的一些问题o 资料的选取：原始资料、距平资料和标准化资料的选取：原始资料、距平资料和标准化距平？距平？o SVD与与EOF的异同？的异同？参考文献：参考文献：o Singular Value Decomposition of Wintertime Sea Surface Temperature and 500-mb Height Anomalies Wallace John M., Catherine Smith, and Christopher S. Bretherton. Journal of Climate, 1992, 5, 561-576.第八章第八章 完完
